matrix einer linearen abbildung mit polynome

05.06.2013, 10:08	caro111	Auf diesen Beitrag antworten »
matrix einer linearen abbildung mit polynome Meine Frage: f: R^4-->P3 f((y1,...y4)T) = p ges ist f zur Einheitsbasis des R^4 und C C sind die lagrange polynome psi1, psi2, psi3,psi4 psi1 (x)= -1/24(x^3-3x^2+2x) psi2 (x)= 1/4(x^3-x^2-4x+4) psi3 (x)= -1/3(x^3-4x) psi4 (x)= 1/8(x^3+2x^2-2x) Meine Ideen: ich weiß, wie ich eine matrix einer linearen abbildung mit vektoren mach. aber das mit dem polynom versteh ich nicht ganz wie ich da ansetze. die bilder der einheitsvektoren sind ja f(e1)=psi1 f(e2)=ps2 usw oder? denn f((y1,y2,..y4)T)= summe(psi_i*y_i)
05.06.2013, 18:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mathbb R^4=<\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}>, P3=<1,x,x^2,x^3> \end{eqnarray}$ Jetzt musst du nur noch wissen, dass in den Spalten der Matrix, die die lineare Abbildung f darstellt, die Bilder der Basisvektoren von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ als Koeffizientenvektoren der Basis von P3 stehen. So wie du das machst geht es auch, dann ist die Matrix die Einheitsmatrix, das ist aber langweilig.
12.06.2013, 08:35	caro111	Auf diesen Beitrag antworten »
das problem ist dass die basis vom P3 die lagrange polynome sein müssen... und nicht (x^3, x^2, x, 1). und leider kenn ich den ausdruck koeffizientenvektor nicht. ich weiß aber dass die spalten der matrix zur abbildung die skalare sind mit denen man eben die bilder der basisvektoren aus V sprich hier R^4 als linearkombi der basisvektoren aus W (wenn f:V-->W) sprich in diesem fall P3 darstellen kann.
12.06.2013, 10:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} f(e_i)=\psi_i, i=1,...,4 \end{eqnarray}$ ist die Darstellungsmatrix bezüglich $\begin{eqnarray} \mathbb R^4=<e_1,...,e_4>, P3=<\psi_1,...,\psi_4> \end{eqnarray}$ die Einheitsmatrix. (In den Spalten der Darstellungsmatrix stehen die Bilder der Basivektoren.)
12.06.2013, 10:30	caro111	Auf diesen Beitrag antworten »
gut dann hab ich mir das eh richtig gedacht , danke! und die matrix von f zur einheitsmatrix und zur basis b sieht dann so aus, dass die spalten der matrix jeweils die skalare der jeweiligen lagrange polynome sind, oder? sprich wenn mein psi1 (x) = 3x^3+2x^2+x+1 ist, dann ist die erste spalte meiner matrix: (3,2,1,1)T denk ich da richtig?
12.06.2013, 10:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt denkst du wieder ganz falsch . Die erste Spalte ist (1,0,0,0)T .
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12.06.2013, 10:42	caro111	Auf diesen Beitrag antworten »
das beispiel hier beschrieben gliedert sich eig in a und b. aufgabe a) matrix von f zu der einheitsbasis und zu basis c (die aus den lagrange polynomen besteht) da hast du mir jetzt meine lösung bestätigt dass hier die einheitsmatrix rauskommt. die erste spalte wäre da logischer weise (1,0,0,0)T. aufgabe b) matrix von f zur einheitsbasis und zur basis b mit b= ((x^3, x^2, x, 1)). hier wäre dann die erste spalte (3,2,1,1)T wenn das lagrange polynom psi1 (x) = 3x^3+2x^2+x+1 wär.

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