martingal überprüfen

05.06.2013, 15:10

gasttt

martingal überprüfen

Hi,

gegeben sei ein stetiges beschränktes Martingal $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Zusätzlich weiß ich, dass

$\begin{eqnarray*} M^2 \end{eqnarray*}$

ebenfalls ein Martingal ist. Formell bedeutet dies (t<=s):

$\begin{eqnarray*} E(M_t|F_s)=M_s \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} E(M_t^2|F_s)=M_s^2 \end{eqnarray*}$

Kann ich daraus folgern, dass M konstant sein muss? Und wenn ja, wie?

06.06.2013, 01:10

Zündholz

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: martingal überprüfen
Das wird im Allgemeinen nicht gelten.
Allerdings hat das Martingal fast sicher konstante Pfade. Les dir dazu am besten was
über den quadratischen Variationsprozess durch.

Schöne Grüße

31.10.2013, 16:46

ChronoTrigger

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich beschäftige mich gerade mit einer sehr ähnlichen Aufgabe, daher hole ich diesen Thread nochmal hoch. Die Aufgabenstellung lautet:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} M = \{M_t \, : \, t \geq 0 \} \end{eqnarray*}$ ein stochastischer Prozess auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathcal{F}, P, (\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}) \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie:
Sind $\begin{eqnarray*} \{M_t \, : \, t \geq 0 \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{ M_t^2 \, : \, t \geq 0 \} \end{eqnarray*}$ Martingale, so ist M konstant (P- fast sicher).

Die Antwort von Zündholz verunsichert mich nun ein wenig. Lässt sich diese Aussage überhaupt beweisen?

05.11.2013, 20:04

ChronoTrigger

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin bei dieser Aufgabe bisher leider immer noch nicht weitergekommen.

Das einzige, was ich wirklich weiß, ist, dass $\begin{eqnarray*} E[M_t | \mathcal{F}_s] = M_s] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E[M_t^2 | \mathcal{F}_s] = M_s^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} s \leq t \end{eqnarray*}$ gelten (neben Messbarkeit und Integrierbarkeit).

Auch die Jensen-Ungleichung für bedingte Erwartungen mit der konvexen Funktion $\begin{eqnarray*} f : [0, \infty) \to \mathbb R, x \to f(x):=x^2 \end{eqnarray*}$ hat mich nicht weitergebracht, weil ich damit nur $\begin{eqnarray*} M_s^2 = (E[M_t | \mathcal{F}_s])^2 \leq E[M_t^2 | \mathcal{F}_s] = M_s^2 \end{eqnarray*}$ erhalte.

Hat vielleicht jemand noch einen Tipp für mich?

Neue Frage »

Antworten »

martingal überprüfen

Verwandte Themen