Frage zum Durchschnitt und Vektorraum |
| 05.06.2013, 17:49 | HeinrichKleist1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Frage zum Durchschnitt und Vektorraum Gegeben sei eine Teilmenge über einem Körper K. Es soll überprüft werden ob diese Teilmenge ein K-Vektorraum ist. Die Teilmenge ist definiert durch einen Durchschnitt. Wenn nun die einzelnen Teile des Durchschnitts ein Vektorraum sind so ist auch ihr Durchschnitt einer. Scheitert es bereits bei einem Teil des Durchschnitts, so kann auch nicht der Durchschnitt ein VR sein. |
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| 05.06.2013, 18:23 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Geht es auch ein bißchen konkreter ? Liegen die K-Vektorräume als Untervektorräume in einem K-Vektorraum ? Wenn nicht, kann ihr Durchschnitt leer sein, ist also kein K-Vektorraum. |
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| 05.06.2013, 18:31 | HeinrichKleist1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist gefragt ob die folgende Teilmenge des IR^3, ein Vektorraum über IR ist: Meine Idee war es jetzt einfach den Linken Teil zu Überprüfen und dann den rechten. Sind beides Vektorräume so ist auch ihr Durchschnitt ein VR. Bereits beim Linken Teil fällt auf das sie kein VR ist, da es Probleme mit der Skalarmultiplikation gibt und die Gleichungsbedingung der Elemente nicht erfüllt. |
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| 05.06.2013, 18:37 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist konkret genug. Beide Mengen sind Untervektorräume des , nämlich Ebenen durch den Nullpunkt, also ist ihr Durchschnitt ein reeller Vektorraum, nämlich eine Gerade durch den Nullpunkt. |
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| 05.06.2013, 18:41 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das heißt wenn die eine Menge ein Untervektorraum des IR^3 ist und die andere auch so ist ihr Durchschnitt ein VR? Das würde mich auch sehr interessieren!!! |
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| 05.06.2013, 18:47 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man beweist mit dem UVR-Kriterium, dass jeder Durchschnitt von UVRen eines VR ein UVR des VR ist. (Nichtleer und abgeschlossen bezüglich Addition und skalarer Multiplikation). |
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| 05.06.2013, 18:47 | HeinrichKleist1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
gibt es ein gesetzt oder regel dazu? |
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| 05.06.2013, 18:48 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, UVR-Kriterium. |
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| 05.06.2013, 19:38 | HeinrichKleist1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hey ich möchte aber die Teilmenge nicht auf Unterraumaxiome überprüfen sondern auf Vektorraumaxiome, da gefragt ist ob die gegebene Teilmenge ein Vektorraum ist. Das UR Kriterium besagt ja nur, dass der Durchschnitt wieder ein Unterraum ist aber was ist mit dem Vektorraum ? |
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| 05.06.2013, 20:02 | Nofeykx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Selbstverständlich ist jeder Untervektorraum auch wieder ein Vektorraum. Da das ganze aber bereits Teilmenge eines Vektorraums ist, braucht man nicht alle Axiome des Vektorraums nachrechnen, da die anderen Axiome sich von dem ambienten Raum vererben. Es genügt, wenn man die Unterraumkriterien überprüft. |
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| 05.06.2013, 20:08 | HeinrichKleist1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das habe ich jetzt noch nicht ganz verstanden, weshalb nur UR Axiome zugelassen sind. Ist es falsch erst die eine Teilmenge und dann die andere Teilmenge auf Vektorraumaxiome zu überprüfen? Denn bereits bei der linken Teilmenge merkt man das sie nicht verträglich mit Skalarmultiplikation ist. |
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| 05.06.2013, 20:11 | Nofeykx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das kannst du auch machen, es spart dir aber sehr viel Arbeit.
Da musst du dich verrechnet haben. Sie ist es ganz sicher. Poste doch mal deine Rechnung. |
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| 05.06.2013, 20:26 | HeinrichKleist1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es geht mir um folgende Skalarmultiplikation: @*u+@*w, wobei u und w die Teilmengen bzw. Vektoren sind und @ der Skalare Körper, in diesem Fall IR. Das Problem taucht auf bei der ersten Teilmenge (Links vom Durchschnitt): Beispiel: |
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| 05.06.2013, 20:35 | Nofeykx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast dich verrechnet. 1.1*(-2)+1.1*(4) ist nicht 9.68 |
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| 05.06.2013, 21:41 | HeinrichKleist1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wow, erst jetzt erkenne ich das ich falsch liege. Vielen dank! Es sollten 2,2 sein. Jetzt ist sie auch verträglich mit der Skalarmultiplikation. 
Mich würde mal interessieren, ob man irgendwie die Vektorraumaxiome kürzerfassen kann eventuell irgendwie eine Kombination herstellen, damit man z.b. nicht alle 3 Skalarmultiplikationtests z.b. machen muss. Gibt es sowas? Halt eine Rechnung die gleich mehrere Axiome aufeinmal enthält. |
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| 05.06.2013, 21:48 | Nofeykx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist das jetzt dein Ernst? Wir haben dir doch schon mehrfach gesagt jetzt, dass es bei Teilmengen von Vektorräumen genügt, die Unterraumkriterien nachzurechnen. (Das sind nur 3 und davon eines extrem einfach). Das hast du ausgeschlagen und jetzt fragst du, ob es einfacher geht, als alles nachzurechnen.. Ich fühle mich verarscht, denn offenbar liest du meine Beiträge nicht richtig. |
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| 05.06.2013, 21:52 | HeinrichKleist1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hatte es so verstanden, dass man nur bei einem Durchschnitt von Teilmengen die Unterraumaxiome überprüfen kann, und nicht bei allen möglichen Teilmengen. Das heißt also bei jeder möglichen Vektorraumüberprüfung reicht es die drei Axiome des Unterraums zu überprüfen? Sry, wollte dich nicht wütend machen. |
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| 05.06.2013, 21:57 | Nofeykx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann war das wohl ein Missverständnis. Ja, wenn du einen Vektorraum hast und eine beliebige Teilmengen dieses Vektorraum betrachtest, brauchst du nur die Unterraumkriterien zu überprüfen, um nachzuweisen, dass es sich um einen Vektorraum handelt. |
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| 05.06.2013, 22:06 | HeinrichKleist1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen dank, dann ist das wirklich sehr gebräuchlich, da ich bisher immer alle Vektorraumaxiome genutzt hatte zur Überprüfung. Jetzt würde mich trotzdem immer noch interessieren wieso es die Vektorraumaxiome gibt wenn beide dasselbe beweisen. |
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| 05.06.2013, 22:10 | Nofeykx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du brauchst für die Unterraumkriterien wie bereits gesagt, dass die Menge, die du betrachtest, bereits Teilmenge eines Vektorraums(von dem man schon weiß dass es ein Vektorraum ist) ist. In diesem speziellen Fall sind ja zB alle betrachteten Elemente deiner Menge bereits enthalten im gesamten R^3, von dem du weißt, dass es ein Vektorraum ist. Hast du einen solchen übergeordneten Vektorraum nicht, brauchst du alle Axiome. |
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| 05.06.2013, 23:53 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der beliebige Schnitt von Untervektorräumen ist wieder UVR. Das können auch überabzählbar viele sein! |
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| 06.06.2013, 00:00 | Nofeykx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das muss man aber erstmal zeigen. Und wenn so eine Aufgabe kommt, gehe ich davon aus, dass dies noch nicht geschehen ist. |
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| 06.06.2013, 17:55 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, die 0 wird im Schnitt sein, weil sie bereits in jedem Unterraum ist. Außerdem ist x+ay in jedem Unterraum, indem x und y ist, falls a aus dem entsprechenden Körper kommt. Also ist x+ay insbesondere im Schnitt falls x,y im Schnitt sind. |
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