Unter allen einem gegebenen Kreis einbeschriebenen Dreiecken hat welches den größten Inhalt?

06.06.2013, 08:15

neeees

Unter allen einem gegebenen Kreis einbeschriebenen Dreiecken hat welches den größten Inhalt?

Meine Frage:
Zudem: Was ergibt sich, wenn man Vierecke bzw. n-Ecke betrachtet?

Meine Ideen:
Wir haben uns in der Gruppe gedacht, dass der Dreieck mit dem größten Flächeninhalt ein gleichseitiges Dreieck sein muss. Aber wie können wir das, bzw. für Vierecke / n-Ecke, beweisen?
Vielen Dank

07.06.2013, 10:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von neeees
Wir haben uns in der Gruppe gedacht, dass der Dreieck mit dem größten Flächeninhalt ein gleichseitiges Dreieck sein muss. Aber wie können wir das, bzw. für Vierecke / n-Ecke, beweisen?

Am besten indirekt:

Wir gehen von einem dem Kreis einbeschriebenen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Eck mit maximalen Flächeninhalt aus. Angenommen, nicht alle Seitenlängen sind einander gleich, dann gibt es drei aufeinander folgende Eckpunkte $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |AB| \neq |BC| \end{eqnarray*}$ .

Nun kann man zeigen, dass man den Punkt $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ durch einen geeignet gewählten Punkt $\begin{eqnarray*} B' \end{eqnarray*}$ so ersetzen kann, dass das nummehr veränderte $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Eck einen größeren Flächeninhalt hat als das ursprüngliche - Widerspruch. Die Wahl dieses Punktes $\begin{eqnarray*} B' \end{eqnarray*}$ ist übrigens ziemlich offensichtlich, wenn man sich mal eine Skizze macht. Augenzwinkern

P.S.: Interessanterweise benötigt man keinerlei Trigonometrie für den Nachweis, den könnte man sogar schon in der Mittelstufe anbringen.

07.06.2013, 12:43

riwe

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sehr schön!

("offensichtlich" ist hübsch formuliert Augenzwinkern

)

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Unter allen einem gegebenen Kreis einbeschriebenen Dreiecken hat welches den größten Inhalt?

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