Fouriertransformation

06.06.2013, 20:07

Pauline21

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Fouriertransformation

Meine Frage:
Guten Abend beisammen. Wie der Titel verrät handelt es sich um Fouriertransformation. Für $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ seien $\begin{eqnarray*} f_a (x)= \frac{1}{\pi} \frac{a}{x^2 + a^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_a (x)=e^{-a|x|}. \end{eqnarray*}$

a) Bestimmen Sie die Fouriertransformation von $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_a \end{eqnarray*}$

b) Zeigen Sie mit Hilfe der Fouriertransformation $\begin{eqnarray*} f_a * f_b = f_{a+b} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a,b>0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Zu a) kann ich sagen, dass anstatt des Summenszeichens bei der Fourierreihe, jetzt bei der Fouriertransformation ein Integralzeichen ist.

Die Fourier-Transformierte $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}(f) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist definiert durch

$\begin{eqnarray*} \mathcal{F}(f)(t) = \frac{1}{\left(2\pi\right)^{\frac{n}{2}}} \int_{\mathbb R^n} f(x)\,e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x \end{eqnarray*}$

Die Transformation lautet dann:

$\begin{eqnarray*} \hat f(t) = \mathcal{F}(f)(t) = \int_{\mathbb R^n} f(x)\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x) = \mathcal{F}^{-1}(\hat f)(x) = \frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\mathbb R^n} \hat f(t)\, e^{\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} t\,. \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nur nicht was der Unterschied zwischen dem ersten und der Transformation ist und wie ich meine Funktionen dort einsetze.

Liebe Grüße
Paula

06.06.2013, 22:38

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Pauline21
Zu a) kann ich sagen, dass anstatt des Summenszeichens bei der Fourierreihe, jetzt bei der Fouriertransformation ein Integralzeichen ist.

Das würde ich nicht direkt sagen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \hat f(t) = \mathcal{F}(f)(t) = \int_{\mathbb R^n} f(x)\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x) = \mathcal{F}^{-1}(\hat f)(x) = \frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\mathbb R^n} \hat f(t)\, e^{\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} t\,. \end{eqnarray*}$

Wieso hast du denn nun den Vorfaktor verschoben?
Und was ist in diesem Falle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Ich verstehe nur nicht was der Unterschied zwischen dem ersten und der Transformation ist und wie ich meine Funktionen dort einsetze.

Die erste ist die Fourier-Transformation. Die zweite die Rücktransformation.
Da bestehen gewisse Zusammenhänge wie $\begin{eqnarray*} \mathcal F^3=\mathcal F^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Die Funktion setzt du aber ganz normal in das Integral ein.

06.06.2013, 22:54

Pauline21

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Che Netzer
$\begin{eqnarray*} \hat f(t) = \mathcal{F}(f)(t) = \int_{\mathbb R^n} f(x)\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x) = \mathcal{F}^{-1}(\hat f)(x) = \frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\mathbb R^n} \hat f(t)\, e^{\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} t\,. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wieso hast du denn nun den Vorfaktor verschoben?
Und was ist in diesem Falle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ?
Die Funktion setzt du aber ganz normal in das Integral ein.

Wieso ich den Vorfaktor verschoben habe? Steht doch so fest? Was das n ist weiß ich auch nicht.

Die Funktion jetzt in das Integral einsetzen? In welches? In das:

$\begin{eqnarray*} \hat f(t) = \mathcal{F}(f)(t) = \int_{\mathbb R^n} f(x)\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x \end{eqnarray*}$

06.06.2013, 23:00

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Pauline21
Wieso ich den Vorfaktor verschoben habe? Steht doch so fest?

Du hast jetzt zwei verschiedene Definitionen der Fourier-Transformation angegeben. Welche davon benutzt ihr?

Zitat:

Was das n ist weiß ich auch nicht.

Dann überleg mal, wie das in dieser Aufgabe aussieht.

Zitat:

Die Funktion jetzt in das Integral einsetzen? In welches? In das:

$\begin{eqnarray*} \hat f(t) = \mathcal{F}(f)(t) = \int_{\mathbb R^n} f(x)\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x \end{eqnarray*}$

Ja. Zumindest wenn dort tatsächlich kein Vorfaktor hingehört.

06.06.2013, 23:13

Pauline21

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RE: Fouriertransformation
Meine Übung wurde auf die Vorlesung verschoben somit konnte ich nicht die Vorlesung verfolgen aber ich habe jetzt von einer Komilitonin gesagt bekommen es ist mit Vorfaktor vorgekommen also:

$\begin{eqnarray*} \hat f(t) = \mathcal{F}(f)(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb R^n} f(x)\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb R^n} \frac{1}{\pi} \frac{a}{x^2+a^2}\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x \end{eqnarray*}$

Dann kann man vereinfachen zu:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{\pi} \int_{\mathbb R^n} \frac{a}{x^2+a^2}\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x \end{eqnarray*}$

Jetzt wird es problematisch also $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ somit ist das Intervall gegeben mit:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{a}{x^2+a^2}\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x \end{eqnarray*}$

a und t sind Konstanten und nach x wird integriert, aber wie führe ich die Integration durch.

06.06.2013, 23:19

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Pauline21
Jetzt wird es problematisch also $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ somit ist das Intervall gegeben mit:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{a}{x^2+a^2}\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x \end{eqnarray*}$

Wieso das?

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06.06.2013, 23:24

Pauline21

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Pauline21
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{a}{x^2+a^2}\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x \end{eqnarray*}$

Wieso das?

Ja ich nehme es zurück das war Quatsch. Das Intervall ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{a}{x^2+a^2}\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x \end{eqnarray*}$ [/quote]

06.06.2013, 23:40

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Ja. Und kannst du das berechnen?

07.06.2013, 00:00

Pauline21

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RE: Fouriertransformation
Das a) könnte man eventuell noch herausziehen? Aber sonst habe ich nicht viele Ideen.

07.06.2013, 09:01

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Dann fang besser mit der anderen Funktion an Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.06.2013, 09:17

Pauline21

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RE: Fouriertransformation
Ja wenn ich jetzt nicht voll dabei wäre das Integral zu bestimmen, würde ich mit dem anderen weitermachen, aber jetzt bin ich nun dabei und will es herausbekommen, früher oder später müsste ich es eh machen.

Ich könnte $\begin{eqnarray*} a \cdot (x^2+a^2)^{-1} \cdot e^{-itx} \end{eqnarray*}$ umschreiben. Partielle Integration wird schwierig. Wie wäre es wenn ich $\begin{eqnarray*} z=a \cdot (x^2+a^2)^{-1} \end{eqnarray*}$
substituiere? Dann könnte ich einmal partiell integrieren, hm ne unglücklich

unglücklich

also das Integral sieht ziemlich scheußlich aus, wenn ich mir die Lösung im Computerprogramm anschaue geschockt

geschockt

07.06.2013, 09:26

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Nein, nein, fang mal mit der anderen Funktion an und lass dich überraschen.

07.06.2013, 10:02

Pauline21

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RE: Fouriertransformation
Okay, da hat wohl jemand ein breiten Blick Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \hat f(t) = \mathcal{F}(f)(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb R^n} f(x)\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a|x|}\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x \end{eqnarray*}$

Dann kann man dann zu dieser Form bringen:

$\begin{eqnarray*} ...= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\mathrm{i} t \cdot x -a|x|} \,\mathrm{d} x = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{x \cdot (-\mathrm{i} t -a)} \,\mathrm{d} x \end{eqnarray*}$

Den Betrag kann man ja weglassen, da er multipliziert mit etwas negativen ja negativ wird, also der Wert. Nun das riecht nach Substitution also substituiere ich:

$\begin{eqnarray*} z=x \cdot (-\mathrm{i} t -a) <br /> \Rightarrow \frac{dz}{dx}=-\mathrm{i} t -a <br /> \Rightarrow dz=(-\mathrm{i} t -a) dx \end{eqnarray*}$

Dann folgt für das Integral:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{-\mathrm{i} t -a} \int e^z dz = \frac{e^z}{-\mathrm{i} t -a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{resubst. } \Rightarrow \frac{e^{-\mathrm{i} tx -ax}}{-\mathrm{i} t -a} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das jetzt habe muss ich es noch wo einsetzen verwirrt

verwirrt

07.06.2013, 11:47

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Pauline21
Den Betrag kann man ja weglassen, da er multipliziert mit etwas negativen ja negativ wird, also der Wert.

Nein, das klingt nicht sinnvoll. Spalte das Integral lieber auf, also $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty=\int_0^\infty+\int_{-\infty}^0 \end{eqnarray*}$ .

07.06.2013, 11:54

Pauline21

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Che Netzer
Nein, das klingt nicht sinnvoll. Spalte das Integral lieber auf, also $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty=\int_0^\infty+\int_{-\infty}^0 \end{eqnarray*}$ .

Aber es ist doch $\begin{eqnarray*} -a \cdot |x| \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} -a \cdot |-x|=-a \cdot |x| \end{eqnarray*}$

Meine Stammfunktion ist doch aber richtig und ändert sich nicht?

07.06.2013, 12:07

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Es ist aber nicht $\begin{eqnarray*} -a\lvert x\rvert=-ax \end{eqnarray*}$ geschockt

geschockt

07.06.2013, 12:10

Pauline21

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RE: Fouriertransformation
Ja geschockt

geschockt

ich weiß nicht, ich versuche selbständig mich damit zu beschäftigen und logisch zu denken naja... was hat das dann für einen Einfluss für meine Integration, was ändert sich?

07.06.2013, 12:12

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Was soll sich unter welchen Umständen ändern?
Hast du das Integral denn schon aufgeteilt? So, dass du den Betrag jeweils umschreiben kannst?

07.06.2013, 12:27

Pauline21

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Che Netzer
Hast du das Integral denn schon aufgeteilt? So, dass du den Betrag jeweils umschreiben kannst?

Wie soll ich denn den Betrag umschreiben?

$\begin{eqnarray*} \hat f(t) = \mathcal{F}(f)(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb R^n} f(x)\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a|x|}\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Che Netzer
Spalte das Integral lieber auf, also $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty=\int_0^\infty+\int_{-\infty}^0 \end{eqnarray*}$ .

Dann spalte ich es auf,

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a|x|}\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{0} e^{-a|x|}\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x + \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} e^{-a|x|}\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x \end{eqnarray*}$

07.06.2013, 12:29

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Pauline21
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a|x|}\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{0} e^{-a|x|}\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x + \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} e^{-a|x|}\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x \end{eqnarray*}$

Und jetzt kannst du in den einzelnen Integralen auch jeweils etwas anderes für $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert \end{eqnarray*}$ schreiben.

07.06.2013, 12:39

Pauline21

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Che Netzer
Und jetzt kannst du in den einzelnen Integralen auch jeweils etwas anderes für $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert \end{eqnarray*}$ schreiben.

Ich kann jetzt wie eben die Potenzgesetze anwenden, aber ich wüsste jetzt nicht wie ich für $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert \end{eqnarray*}$ jeweils was anderes schreiben kann.

07.06.2013, 12:40

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Dann solltest du das Rechnen mit Beträgen üben!
Wie ist der Betrag denn definiert?

07.06.2013, 12:54

Pauline21

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RE: Fouriertransformation
Der Betrag ist definiert mit

$\begin{eqnarray*} |x|=\begin{cases}<br /> x, & \text{falls }x \ge 0\\<br /> -x, & \text{falls }x < 0<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

Der Betrag ist also stets positiv.

07.06.2013, 13:11

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Ja.
Es gilt also immer entweder $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert=x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert=-x \end{eqnarray*}$ .
Nun betrachte mal die Integrationsgrenzen.

07.06.2013, 13:17

Pauline21

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Che Netzer
Es gilt also immer entweder $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert=x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert=-x \end{eqnarray*}$ .
Nun betrachte mal die Integrationsgrenzen.

Ja einmal ist die Integrationsgrenze $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ aber das hätten wir doch auch wenn wir das Integral nicht aufgeteilt hätten. Mein Problem ist ich weiß nicht wie ich $\begin{eqnarray*} |x| \end{eqnarray*}$ bei der Integration behandeln soll da ja gilt: $\begin{eqnarray*} x \ne |x| \end{eqnarray*}$

07.06.2013, 13:19

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Im ersten Intervall ist $\begin{eqnarray*} x\in(-\infty,0) \end{eqnarray*}$ , im zweiten $\begin{eqnarray*} x\in(0,\infty) \end{eqnarray*}$ .

07.06.2013, 13:29

Pauline21

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RE: Fouriertransformation
Ja schon klar Freude

Freude

aber die Grenzen werden ja erst nach der Integration eingesetzt. Ich habe aber Probleme bei der Integration mit $\begin{eqnarray*} |x| \end{eqnarray*}$ wie soll das gehen?

07.06.2013, 13:33

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Innerhalb des Integrals über $\begin{eqnarray*} (-\infty,0) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ negativ. Da wirst du doch wohl noch den Integranden umschreiben können.

07.06.2013, 13:47

Pauline21

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Che Netzer
Da wirst du doch wohl noch den Integranden umschreiben können.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{0} e^{-a|x|}\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x + \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} e^{-a|x|}\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x \end{eqnarray*}$

Ich weiß ehrlich nicht wie ich das anstellen soll geschockt

geschockt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{0} e^{-\mathrm{i} t \cdot x-a|x|} \,\mathrm{d} x + \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} e^{-a|x|}\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x \end{eqnarray*}$

Also so oder wie:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{0} e^{-x \cdot (\mathrm{i} t \cdot +a)} \,\mathrm{d} x + \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} e^{-a|x|}\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x \end{eqnarray*}$

07.06.2013, 13:50

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Nein, da benutzt du $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert=x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in(-\infty,0) \end{eqnarray*}$ ...

07.06.2013, 13:51

Pauline21

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RE: Fouriertransformation
Dann weiß ich es nicht unglücklich

unglücklich

07.06.2013, 13:55

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
In dem Fall rate ich dir, dich nochmals gründlich mit dem Rechnen mit Beträgen und der Integration auseinanderzusetzen, bevor du hier eine Fourier-Transformation ausrechnen möchtest.

07.06.2013, 14:03

Pauline21

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Che Netzer
In dem Fall rate ich dir, dich nochmals gründlich mit dem Rechnen mit Beträgen und der Integration auseinanderzusetzen, ...

Ich glaube auf diesen Ratschlag hätte ich gut selber kommen können. Vllt kannst du mir einfach eine Quelle geben wo ähnliche Beispiele zu finden sind, es kann doch nicht so schwer sein, manchmal kommt man einfach nicht auf banale Sachen und wenn man es gesagt bekommt dann leuchtest es ein. Vielleicht bringt es manchmal etwas mehr es klipp und klar zu sagen was herauskommt anstatt hoffnungslos versuchen durch irgendwelche Anmerkungen dies zu erzwingen - was ja anscheinend nicht sehr erfolgsgekrönt ist. Es sind ja keine Staatsgeheimnisse die hier verraten werden...

07.06.2013, 15:06

Steffen Bühler

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RE: Fouriertransformation
Zankt Euch nicht, Kinder. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Pauline, bedenke, dass

|x| = -x für x<0

|x| = x für x>0

Viele Grüße
Steffen

07.06.2013, 15:32

Pauline21

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RE: Fouriertransformation
Steffen auch das ist mir bewusst. Ich schätze und respektiere Eure Arbeit wirklich sehr. Ihr leistet alle wirklich sehr viel und davor muss jeder seinen Hut ziehen. Auch ich tue es Gott

Gott

. Wenn ich es wüsste und es mir klar sein würde was ich daraus schließen kann, dann würde ich doch nicht darum fragen. Ich versuche es doch, aber wenn ein Punkt erreicht ist, an dem ich nicht weiterkomme verstehe ich ehrlich nicht wieso man nicht sagt was Sache ist. Es gibt Personen die wollen nur die Lösung und andere die sich wirklich ehrlich diese Lösung erarbeiten möchten. Das macht doch kein Sinn es zu verbergen und zu sagen ja dann musst du die komplette Mathematik der Integration wiederholen. Nach dem Motto suche die Nadel im Heuhaufen unglücklich

unglücklich

Es gibt talentierte Personen und weniger talentierte. Ich gönne es wirklich denjenigen, die Ihr Talent gewissenhaft und bescheiden pflegen. Manchmal vergisst man Sachen, das ist doch wohl menschlich und die Vergesslichkeit ist wohl von Mensch zu Mensch anders. Es gibt aber auch Menschen die weniger talentiert sind und auch auf Hilfe anderer angewiesen sind aus mehrerlei Gründen. Sie sind vom Schicksal getroffen worden und kämpfen trotzdem weiter; lieber stehend sterben, als knieend leben, lieber tausend Qualen leiden, als einmal aufzugeben. Daher sollte man sich doch helfen wo nur man kann, vor allem wenn es doch keine große Sache ist.

P.S. Albert Einstein hat einmal gesagt: "Die Welt wird nicht bedroht von den Menschen, die böse sind, sondern von denen, die das Böse zulassen."

07.06.2013, 16:01

Steffen Bühler

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RE: Fouriertransformation
Ein Integral von minus unendlich bis Null betrifft nur negative x-Werte.
Ein Integral von Null bis plus unendlich betrifft nur positive x-Werte.
So wirst Du den Betrag los.

07.06.2013, 16:14

Pauline21

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Ein Integral von minus unendlich bis Null betrifft nur negative x-Werte.
Ein Integral von Null bis plus unendlich betrifft nur positive x-Werte.

Ja das verstehe ich.

Zitat:

Original von Steffen Bühler
So wirst Du den Betrag los.

Aber weshalb werde ich den Betrag los?

07.06.2013, 16:20

Steffen Bühler

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RE: Fouriertransformation
Ich fasse mal zusammen:

|x| = -x für x<0
|x| = x für x>0

Ein Integral von minus unendlich bis Null betrifft nur negative x-Werte.
Ein Integral von Null bis plus unendlich betrifft nur positive x-Werte.

Dieses Integral geht zum Beispiel von minus unendlich bis Null:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{0} e^{-a|x|}\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x \end{eqnarray*}$

Also betrifft es nur negative x-Werte.

Also gilt |x| = -x

Jetzt?

07.06.2013, 16:43

Pauline21

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Dieses Integral geht zum Beispiel von minus unendlich bis Null:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{0} e^{-a|x|}\, e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x \end{eqnarray*}$

Also betrifft es nur negative x-Werte.

Also gilt |x| = -x

Jetzt?

Ja also wenn wir die Integrationsgrenzen einsetzen nach dem Integrieren wird das $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ wegen dem Betrag. Aber wie integriere ich es verwirrt

verwirrt

Ich kann doch nicht vor der Integration das nicht vereinfachen geschockt

geschockt

07.06.2013, 16:56

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fouriertransformation
Nein, lass die Integrationsgrenzen mal so wie sie sind und ändere nur den Integranden. Nimm die Betragsstriche weg und...

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