Basis des Vektorraumes Abb(R;R) |
| 06.06.2013, 23:46 | nexo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Basis des Vektorraumes Abb(R;R) Hallo! Mir ist in einer Aufgabe folgendes gegeben: Zu c in R sei die Abbildung X c : R -> R durch x -> 1 falls x = c 0 falls x /= c defi niert. Untersuchen Sie, ob {X c | c in R} mit eine Basis des Vektorraumes Abb(R;R) ist. Meine Ideen: Also ich habe mir überlegt dass der Raum der Abb. von R nach R unendlich dimensional ist und es damit keine Basis mit endlicher Abbildungsanzahl geben kann. Das bedeutet, dass ich eine Abbildung finden müsste die sich nicht aus der vorgegeben herleiten lässt. Ich bin mir allerdings ziemlich unsicher wie ich mit Abbildungen als elemente eines Vektorraums umzugehen habe, mit herkömmlichen n dimensionalen vektoren wäre ja alles klar, aber so? Da bräuchte ich mal einen kleinen Denkanstoß 
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| 07.06.2013, 06:31 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Basis des Vektorraumes Abb(R;R) hallo, also zunächst einmal hast du recht, der gegebene raum ist wirklich unendlich dimensional. Und jetzt musst du dir überlegen, ob man jedes element von abb(R,R), also jede einzelne funktion f von R nach R als (unendliche) linearkombination von den gegebenen funktionen X_c schreiben kann. Mein tip: natürlich geht das... gruss ollie3 |
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| 07.06.2013, 07:06 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Basis des Vektorraumes Abb(R;R)
Es gibt keine "unendlichen" Linearkombinationen. |
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| 07.06.2013, 23:49 | nexo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ah, da c frei wählbar ist, verstehe.. ja okay, also in der vorstellung ist es mir jetzt klar, dass es funktioniert und wie das dann aussieht. geht also nurnoch darum zu zeigen, dass die abbildungen linear unabhängig sind und dass deren lineare Hülle der raum der abb von R nach R ist. wie macht man das denn für unendliche anzahl von vektoren? ich meine man müsste ja soetwas wie a1*v1+a2*v2+...+an*vn=0 ausrechnen und zeigen dass dann die skalare a1...an gleichzeitig null sind für die lin unabhängigkeit. und für die lineare Hülle hab ich da grade noch garkeine idee parat :/ |
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| 08.06.2013, 00:20 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Überleg mal noch einmal scharf, ob die lineare Hülle tatsächlich der ganze Vektorraum ist. |
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| 09.06.2013, 11:27 | nexo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Naja, also sofern die Abbildung Xc tatsächlich eine Basis des Vektorraums ist, dann wäre die lin Hülle der abbildung doch gleich dem Vektorraum oder nicht? ob das dann wirklich der fall ist, ist ja dann zu prüfen. Aber ich denke mal schon, da man ja im prinzip für das wertepaar (x, f(x)) einer beliebigen funktion einfach einsetzen kann (c, 1*f(x)), also den punkt (c,1) an der stelle nach oben oder unten verschieben kann, bis er eben auf dem graphen der funktion liegt. Und das müsste meiner meinung für jedes x=c funktionieren, oder hab ich da irgendwo einen Denkfehler? |
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| 09.06.2013, 23:05 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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