Skalarprodukt - Überprüfung |
| 07.06.2013, 17:15 | Enrique Valentino | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Skalarprodukt - Überprüfung Hallo Leute, ich hoffe, dass ihr mir bei einer Aufgabe weiterhelfen könnt. Ich muss zeigen, dass es sich bei folgendem NICHT um ein Skalarprodukt handelt. p=p2x^2+p1x+p0 ; q=q2x^2+q1x+q0 <.,.>:R<=2[x] x R<=2[x] -> R wobei <p,q> = p2q2-p2q1-p1q2+p1q1+p0q0 Meine Ideen: Der erste Schritt bei solch einer Aufgabe ist eigentlich wie gewohnt die Eigenschaften des Skalarproduktes durchzugehen und einen Widerspruch finden. Die Eigenschaften eines euklidischen Skalarproduktes sind ( wie ihr sicherlich wisst) 1) <u+v,w>=<u,w>+<v,w> 2) <au,v>=a<u,v> , wobei a element R beliebig 3) <u,v>=<v,u> 4) <v,v> ist >= 0 und gleich 0 wenn v=0 Ich habe alle diese Eigenschaften mehrfach immer und immer wieder geprüft mit beliebigen Polynomen des besagten Raumes, doch alle Eigenschaften scheinen aufzugehen. Ich hoffe ihr könnt mir einen Ansatz geben den ich vllt vergessen habe, oder mir einen Tipp geben was ich vllt übersehen habe; Vielen Dank |
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| 07.06.2013, 19:32 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Skalarprodukt - Überprüfung Zunächst einmal kannst du auch gerne unseren Formeleditor benutzen. Und wie hast du denn die letzte Eigenschaft (die positive Definitheit) nachgewiesen? |
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| 08.06.2013, 10:25 | EnriqueValentino | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hey, die positive Definitheit hab ich nachgewiesen, in dem ich ein beliebiges Polynom aus dem besagten Raum wählte. Dieses Polynom übernahm dann die Rolle von q. Bspw. sei p=x^2+3x+1 ein beliebiges Polynom aus dem R<=2[x] (entschldige die Notation, doch ich bin noch nicht ganz vertraut mit dem Editor) so ist p2=1 , p1=3 , p0=1; und nach den Skalarbedingungen <p,q> = p2q2-p2q1-p1q2+p1q1+p0q0 hab ich dann folgendes gemacht : <p,p> = p2(p2)-p2(p1)-p1(p2)+p1(p1)+p0(p0) mit dem zufällig gewählem Polynom erhalte ich ein konkreten Fall <p,p> = (1*1)-(1*3)-(3*1)+(3*3)+(1*1) = 1-3-3+9+1 = 5 >0 Danke |
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| 08.06.2013, 10:36 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du sollst das doch nicht für irgendein konkretes Polynom nachweisen, sondern für jedes beliebige! 
Es ist zu zeigen, dass es kein von Null verschiedenes Polynom zweiten Grades mit gibt. Ein "Beweis durch Beispiel" ist vollkommen sinnfrei und beweist rein gar nichts. Ich könnte genauso gut behaupten, alle Menschen der Welt hätten rote Haare und im "Beweis" dazu einen konkreten auswählen, für den das zutrifft. |
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| 08.06.2013, 17:14 | EnriqueValentino | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da hast du nicht Unrecht . Doch bei meiner letzen Hausaufgabe hab ich am Ende das nicht an einem konkretem Gegenbeispiel gezeigt und hab direkt Punkte abgezogen bekommen . Ok doch wenn ich jetzt zeige das es bis auf das nullpolynom kein weiteres Element aus dem Raum gibt , welches <p,p> <= 0 ist dann bestätige ich doch nur das es ein skalarprodukt ist, denn so ist das euklidische skalarprodukt definiert . Doch meine Aufgabe ist zu beweisen , dass es sich hierbei um kein skalarprodukt handelt . Ich kann aber nicht die Verletzung der Definition finden . Ich muss nur ein Gegenbeispiel zeigen , wo eines der Kriterien verletzt wird . |
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| 08.06.2013, 17:30 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gegenbeispiele sind auch in Ordnung. Um eine Aussage zu widerlegen, kann man ein Gegenbeispiel anbringen. Um eine Aussage zu beweisen, muss man einen Beweis führen. Ein Beispiel kann aber keine Aussage beweisen – es sei denn, es ist eine Existenzaussage. Umgekehrt widerlegt man Aussagen selten mit Beweisen. Höchstens, wenn man zeigt, dass sie in einer ganzen Klasse von Fällen nicht gilt.
Genau. |
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