e hoch Matrix (komme immer auf andere Lösung)

08.06.2013, 13:33

DannyDre

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e hoch Matrix (komme immer auf andere Lösung)

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} Sei A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 &\end{pmatrix} . \end{eqnarray*}$
Bestimme $\begin{eqnarray*} e^{A} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich mach lieber den Ansatz ohne der Summenreihe, das finde ich viel zu kompliziert. Ich gehe lieber den Weg über das hier:
$\begin{eqnarray*} e^A = S A S^{-1} \end{eqnarray*}$

(S besteht ja aus den Eigenvektoren, die nebeneinander geschrieben werden
A ist die Diagonalmatrix, die aus 0er überall besteht und in der Diagonale von links oben nach rechts unten die Eigenwerte enthält.)

Eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} e^A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} e^{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & e\end{pmatrix} }\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = ... = \begin{pmatrix} 0 & 1 - e \\ 1 & e\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
In der Lösung kommt (wenigstens ähnliche KOmponenten, aber alles durcheinander) raus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} e & e-1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was mache ich falsch, wo ist mein Denkfehler? unglücklich

unglücklich

08.06.2013, 13:48

Che Netzer

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RE: e hoch Matrix (komme immer auf andere Lösung :( )
Die Matrix ist nicht diagonalisierbar.
Der Ansatz über die Reihe ist hier gar nicht so schlimm.

08.06.2013, 14:01

DannyDre

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Ach kann man das so sagen:

Wenn die Matrix diagonalisierbar ist, dann kann man sich den Weg aussuchen (2 Möglichkeiten)

Wenn die Matrix NICHT diagonalisierbar ist, dann MUSS man Reihen Weg machen?!

08.06.2013, 14:16

Che Netzer

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Man könnte dann auch die Jordan-Normalform verwenden, wenn man weiß, wie man Funktionen auf diese anwendet.

Ich muss mich aber korrigieren: Natürlich ist die Matrix diagonalisierbar Ups

Ups

Deine Rechnung sieht aber sehr konfus aus.

Und auch trotz Diagonalisierbarkeit würde ich die Reihendarstellung verwenden.

08.06.2013, 14:17

DannyDre

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Ich versteh das mit der Reihe nicht..... Welche Sachen sind dann genau falsch bei meiner Rechnung?

08.06.2013, 14:20

Che Netzer

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Um diese Reihendarstellung zu verwenden, solltest du als erstes die Potenzen der Matrix bestimmen. Was ist denn $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ ?

Der Fehler beginnt bei
$\begin{eqnarray*} e^A = S A S^{-1} \end{eqnarray*}$
Was hat das $\begin{eqnarray*} \mathrm e^A \end{eqnarray*}$ hier schon zu suchen?

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08.06.2013, 14:23

DannyDre

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Wieso muss man A² bestimmen? Big Laugh

Big Laugh

Aber $\begin{eqnarray*} A = A^2 = A^n = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} , n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ !

08.06.2013, 14:28

RavenOnJ

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Zitat:

Original von DannyDre
Wieso muss man A² bestimmen? Big Laugh

Big Laugh

Aber $\begin{eqnarray*} A = A^2 = A^n = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} , n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ !

Dann ist ja alles bestens und die Aufgabe sehr einfach Big Laugh

Big Laugh

.

08.06.2013, 14:30

Che Netzer

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Weil sich jetzt
$\begin{eqnarray*} \mathrm e^A=\sum_{n=0}^\infty\frac{A^n}{n!} \end{eqnarray*}$
zu
$\begin{eqnarray*} \mathrm e^A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\sum_{n=1}^\infty\frac1{n!}\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
vereinfacht.
Rechts hast du dann komponentenweise die Exponentialfunktion bis auf das erste Glied.

08.06.2013, 14:33

DannyDre

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Ihc kann das mir der Reihe nicht, wie geht es richtig mit der Diagonalisierungsmethode?

Eigenwerte sind ja: $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$
Eigenvektoren sind ja: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

08.06.2013, 14:36

DannyDre

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und
$\begin{eqnarray*} S = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

08.06.2013, 14:44

Che Netzer

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Und welche Gleichung verbindet $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ?

08.06.2013, 14:47

DannyDre

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$\begin{eqnarray*} A = SDS^{-1} \end{eqnarray*}$

08.06.2013, 14:50

Che Netzer

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Rechne das mal nach.

08.06.2013, 14:52

DannyDre

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Ich hab mich in der Angabe verschrieben (Die Rechnung dazu zeigt ja dass ich mit dem $\begin{eqnarray*} e^ ... \end{eqnarray*}$ gerechnet hab ^^

$\begin{eqnarray*} e^A = S e^D S^ {-1} \end{eqnarray*}$

08.06.2013, 14:56

Che Netzer

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Zitat:

Original von DannyDre
Ich hab mich in der Angabe verschrieben

In welcher Angabe?

Zitat:

Die Rechnung dazu zeigt ja dass ich mit dem $\begin{eqnarray*} e^ ... \end{eqnarray*}$ gerechnet hab

Was soll das denn heißen?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} e^A = S e^D S^ {-1} \end{eqnarray*}$

Und was sind nun $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S^{-1} \end{eqnarray*}$ ? Wie sieht $\begin{eqnarray*} \mathrm e^D \end{eqnarray*}$ aus?

08.06.2013, 15:00

DannyDre

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Was S und D und s^-1 ist habe ich 2 Beiträge vorher gepostet

08.06.2013, 15:01

Che Netzer

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Woraufhin ich meinte, dass du $\begin{eqnarray*} A = SDS^{-1} \end{eqnarray*}$ nachrechnen solltest.

08.06.2013, 15:04

DannyDre

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$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es kann aber nicht sein, weil die Eigenwerte und Eigenvektoren richtig berechnet wurden und dann eben nebeneinander geschrieben wurden...

08.06.2013, 15:11

DannyDre

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ausführlich:

08.06.2013, 15:20

Che Netzer

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Nun sieht es ja schon ganz anders aus; jetzt ist tatsächlich $\begin{eqnarray*} A=SDS^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Damit ist auch $\begin{eqnarray*} \mathrm e^A=S\mathrm e^DS^{-1} \end{eqnarray*}$ .
Und was ist $\begin{eqnarray*} \mathrm e^D \end{eqnarray*}$ ?

08.06.2013, 15:22

DannyDre

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$\begin{eqnarray*} e^D = \begin{pmatrix} e & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich wusste nicht, dass man NUR DIE DIAGONALE mit dem $\begin{eqnarray*} ^e \end{eqnarray*}$ machen darf Big Laugh

Big Laugh

Ich hab immer alles genommen unglücklich

unglücklich

EDIT: Ohh da stand ja ne 0, jetzt stimmts Big Laugh

Big Laugh

08.06.2013, 15:25

Che Netzer

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Sind denn die Diagonaleinträge gleich?

Und wenn man die Exponentialfunktion einfach auf alle Einträge anwenden könnte, bräuchte man die Diagonalisierung nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.06.2013, 15:31

DannyDre

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Zitat:

Original von DannyDre
$\begin{eqnarray*} e^D = \begin{pmatrix} e & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich wusste nicht, dass man NUR DIE DIAGONALE mit dem $\begin{eqnarray*} ^e \end{eqnarray*}$ machen darf Big Laugh

Big Laugh

Ich hab immer alles genommen unglücklich

unglücklich

EDIT: Ohh da stand ja ne 0, jetzt stimmts Big Laugh

Big Laugh

08.06.2013, 15:32

Che Netzer

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Nun brauchst du nur noch $\begin{eqnarray*} S\mathrm e^DS^{-1} \end{eqnarray*}$ auszurechnen.
Mit der Reihendarstellung solltest du dich aber auch nochmal beschäftigen.

08.06.2013, 16:28

DannyDre

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 + e & e \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hab ich raus unglücklich

unglücklich

unglücklich

08.06.2013, 16:31

Che Netzer

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Bei der Multiplikation bzw. nach Diagonalisierung?
Oder mit der Reihe?

08.06.2013, 17:03

DannyDre

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Zitat:

Original von Che Netzer
Nun brauchst du nur noch $\begin{eqnarray*} S\mathrm e^DS^{-1} \end{eqnarray*}$ auszurechnen.
Mit der Reihendarstellung solltest du dich aber auch nochmal beschäftigen.

hier meine sachen eingesetzt

08.06.2013, 17:07

Che Netzer

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Da lief wohl irgendetwas schief...

08.06.2013, 18:00

DannyDre

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hab ich mich wohl verrechnet oder wo anders einsetzen?

08.06.2013, 18:05

Che Netzer

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Du hast dich verrechnet.

08.06.2013, 18:08

DannyDre

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Ah ich hab mich wirklich verrechnet, jetzt hab ichs endlich raus :P

Also Fazit: Die Methode geht schon, (nicht die Reihenmethode).... Man muss beim $\begin{eqnarray*} e^D \end{eqnarray*}$ nur aufpassen, nur die $\begin{eqnarray*} Diagonale \end{eqnarray*}$ zu benutzen, nicht alles Big Laugh

Big Laugh

08.06.2013, 18:17

Che Netzer

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Ja. Und man sollte richtig diagonalisieren und sich nicht verrechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der direkte Weg über die Reihendarstellung ist hier aber wie gesagt auch empfehlenswert.
Als Einstieg könntest du z.B. zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \mathrm e^D \end{eqnarray*}$ für Diagonalmatrizen $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ tatsächlich die Diagonalmatrix mit den exponenzierten (?) Diagonaleinträgen ist.

08.06.2013, 18:19

DannyDre

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Wie ist dann das Lösungsverfahren, wenn eine Matrix A nicht diagonalisierbar ist?

z.B. $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier MUSS man ja den Reihenansatz machen ne?

Weil mit "meiner" Methode erhalte ich zwar Eigenwerte und Eigenvektoren, aber kann $\begin{eqnarray*} S^{-1} \end{eqnarray*}$ nicht bilden!

doppelter Eigenwert: $\begin{eqnarray*} \lambda_{1/2} = 0 \end{eqnarray*}$
Eigenvektor: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zusatzfrage: Wie müsste hier eigentlich S aussehen, wenn man (nur) einen doppelten Eigenwert hat. Ist er definiert und gibts das überhaupt? Oder würden dann einfach die 2 gleichen Eigenvektoren nebeneinander stehen:
$\begin{eqnarray*} S = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} ?? \end{eqnarray*}$

08.06.2013, 18:25

Che Netzer

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Dieses $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist nun tatsächlich nicht diagonalisierbar, d.h. du findest dieses $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ nicht.

Aber die Reihe ist hier wirklich denkbar einfach. Versuch es mal damit.

08.06.2013, 18:28

DannyDre

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ja, zu DER aufgabe gibt es ein Video, alles was höher als A² ist, ist 0 Big Laugh

Big Laugh

Hmmm... dann muss ich doch wenigstens ein paar Aufgaben mit dem Reihen Verfahren mal machen, sonst kommt eine NICHT DIAGONALISIERBARE MATRIX dran und ich kann nix -.-

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