Stochastik Gewinnabschätzung

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lenny921 Auf diesen Beitrag antworten »
Stochastik Gewinnabschätzung
Meine Frage:
Hallo,
folgende Aufgabe:

Ein Rad mit 12 gleichgroßen Sektoren hat 10 mal die Zwei und 2 mal die Eins
P(zwei)=5/6
P(eins)=1/6


Spiel: das Rad wird 2 mal gedreht. Der Einsatz beträgt pro Spiel 13 Euro.
Kommt eine Zwei, gewinnt der Kandidat 9 Euro, kommt eine eins, ist das Spiel sofort beendet und der Kandidat verliert alles. Der Kandidat gewinnt also entweder 18 Euro (2 mal die Zwei) oder nichts.

Die Chancen für den Kandidat sind also:
5/6*5/6 * 18 Euro = 12,50 Euro im Durchschnitt.

Der Betreiber gewinnt im Durchschnitt also 0,50 Euro pro Spiel.

Nun zur eigentlichen Frage:

Pro Tag spielen 1800 Spieler. Der Einsatz pro Spiel ist 13 Euro, damit gewinnt der Betreiber im Durchschnitt 900 Euro.

Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Betreiber an einem Tag mal mit nur 400 Euro Gewinn herausgeht?



Meine Ideen:
Ich habe zuerst ausgerechnet, wie hoch der durchschnittliche Gewinn der Spieler an diesem Tag sein muss, damit der Betreiber am Ende nur 400 Euro hat.

Die Spieler müssten an diesem Tag durchschnittlich 12,78 Euro gewinnen, also 28 Cent mehr wie erwartet.

Zuerst habe ich es über Tschebyschew versucht, allerdings auf der rechten Seite nur Werte größer 1 herausbekommen.

Dann habe ich im Internet gelesen, dass man Tschebyschew nur anwenden kann, wenn C größer ist als die Standarabweichung Sigma, dies ist in dem Beispiel nicht so.

Das erklärt, warum bei Tscheycshew nur Unsinn rauskommt.

Eine weitere Sache ist mir noch aufgefallen:

Einmal habe ich die Varianz wie folgt ausgerechnet:

V(x)=(0-12,5)^2*1/6 + (18-12,5)^2 * 5/6 = 51,25
==> Sigma = 7,1

Die zweite Methode:

Sigma = Wurzel von (n*p*(1-p) = Wurzel von (2*5/6*1/6)=0,53

Wieso kommt man da auf unterschiedlichen Werte für V(x) und Sigma???

habe ich da Rechenfehler oder Denkfehler gemacht??

Und zweitens, wenn man Tschebyschew nicht anwenden kann, wie kann man die Aufgabe dann lösen?

Ich bitte euch um Hilfe, alle Anregungen sind willkommen !!!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stochastik Gewinnabschätzung
Zitat:
Original von lenny921
Einmal habe ich die Varianz wie folgt ausgerechnet:

V(x)=(0-12,5)^2*1/6 + (18-12,5)^2 * 5/6 = 51,25
==> Sigma = 7,1

Die zweite Methode:

Sigma = Wurzel von (n*p*(1-p) = Wurzel von (2*5/6*1/6)=0,53

Wieso kommt man da auf unterschiedlichen Werte für V(x) und Sigma???

Du berechnest die Varianz/Standardabweichung von 2 verschiedenen Zufallsgrößen. Das erste ist die Zufallsgröße Gewinn pro Spiel, genauer Auszahlung pro Spiel. Das zweite ist die Zufallsgröße Zahl der Gewinne bei n Spielen. Weshalb sollten diese unterschiedlichen Zufallsgrößen gleiche Varianzen/Standardabweichungen haben?

Außerdem sind beide Rechnungen falsch. Du hast für p 5/6 eingesetzt, also die Wahrscheinlichkeit für eine 2 bei einmaligem Drehen. Du musst aber die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn einsetzen, also die Wahrscheinlichkeit für zweimal die 2 bei zweimaligem Drehen.

Damit der Betreiber maximal 400 € Gewinn macht, muss der Spieler mindestens eine bestimmte Zahl von Spielen gewinnen. Diese Zahl kannst du bestimmen. Die Zahl der Gewinne bei n Spielen ist binomialverteilt. Die Binomialverteilung kannst du bei deinem Problem durch die Normalverteilung annähern. Dann bestimmst du mit der angepassten Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler mindestens die erforderliche Zahl von Spielen gewinnt.
lenny921 Auf diesen Beitrag antworten »

ah danke, ich dachte mir schon, dass ich mit den beiden Standardabweichungen was Verschiedenes berechne, ich wusste nur nicht genau, was.

Das mit der Binominalverteilung bzw Normalverteilung ist ein guter Hinweis, ich werde mir das genauer überlegen bzw. etwas dazu rechnen und mich dann wieder melden.
lenny921 Auf diesen Beitrag antworten »

leider brauche ich noch einen Tipp


soweit bin ich nun:

Die Anzahl der gewonnenen bzw. verlorenen Spiele ist binominalverteilt.

Da n=1800 zu groß ist, um das in den Tabellen nachzuschauen, wird auf die Normalverteilung umgewandelt.

E(x) gew. Spiele = n*p= 1800*(5/6*5/6) = 1249

Sigma = Wurzel (1800*0,694*0,306)= 19,5

Das heißt, bei 1800 Spielen werden im Mittel 1249 gewonnen. Es müssten also mehr als 1249 gewonnen werden, damit der Betreiber nur 400 Euro Gewinn macht.

Mein Problem ist, dass ich diese Zahl k ja nicht kenne.

z= (k-E(x))/Sigma

d. h.

P(x>k) = 1- Rho(k-E(x))/Sigma

Wenn ich das k kennen würde, könnte ich die Wahrscheinlichkeit in der Tabelle nachschauen, aber ich kenne das k ja nicht und aus der Information, dass der Betreiber nur noch 400 Euro verdienen darf, kann ich ja nicht ohne Weiteres auf das k schließen.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lenny921
E(x) gew. Spiele = n*p= 1800*(5/6*5/6) = 1249

Das sollte man exakt rechnen. Exakt ergibt sich 1250.

Zitat:
Mein Problem ist, dass ich diese Zahl k ja nicht kenne.

Die kannst du doch leicht ausrechnen. Es sei g der Gewinn des Betreibers bei einem einzelnen Spiel und G sein Gewinn bei n Spielen. k sei die Zahl der Gewinne des Spielers, also n - k die Zahl seiner Verluste.

Es ist

falls der Spieler gewinnt

und

falls der Spieler verliert.

Damit kannst du G(n, k) hinschreiben und dann die Ungleichung



lösen.
lenny921 Auf diesen Beitrag antworten »

hm also G wäre Gewinn Betreiber, k Anzahl der Spieler, die gewinnen

G = k*-5 + (n-k)*13 <= 400

Da n=1800 ist ergibt sich: -5K +1800*13-13k <= 400

= -18k+23400<=400
= -18k<=400-23400
k>=1278

Das sieht so aus, also würde das Sinn machen Big Laugh , hätte nicht gedacht, dass man das so rechnen kann.


z wäre dann (1278-1250)/19,5 = 0,92

Rho(z)= laut Tabelle 0,8212

da es sich um mindestens handelt, ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit

P(x>=1278) 1- 0,8212 = 17,9 % Big Laugh

Das macht einen plausiblen Eindruck in diesem Zusammenhang.

Ich danke Dir, Huggy !
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lenny921
z wäre dann (1278-1250)/19,5 = 0,92

Da steckt ein dicker Rechenfehler drin.

Außerdem sollte man zuerst umschreiben in und dann für die Näherung durch die Normalverteilung benutzen. Es empfiehlt sich auch, die sogenannte Stetigkeitskorrektur zu benutzen. Statt mit 1277 geht man dann mit 1277.5 zur Normalverteilung über. Das erhöht die Genauigkeit der Näherung oft merklich, so auch bei dieser Aufgabe.
lenny921 Auf diesen Beitrag antworten »

oh shit...

dann wäre z also:

z = (1277,5-1250)/19,5 = 1,41 => Rho(z)= 0,07927


(Ich dachte, für großes n bräuchte man die Stetigkeitskorrektur nicht)


Ich bin zwar jetzt etwas durcheinander wegen den ganzen 1- P(..), aber ich denke,
die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann 7,9 % ?

ganz verstehe ich das jetzt nicht mehr, weil ja meiner Meinung nach bei mindestens k=1277 die z gefundene Wahrscheinlichkeit noch mit 1- P() umgerechnet werden müsste.

Wenn mein z=1,41 jetzt ein P von 7,9% ergibt, dann macht das 1-P() keinen Sinn mehr, so groß kann die Wahrscheinlichkeit niemals sein. verwirrt
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Die 7.9 % sind richtig. Wenn du es ohne Stetigkeitskorrektur rechnest, merkst du, das der Unterschied durchaus merklich ist. Es kommt nicht nur auf die Größe von n an. Es kommt auch darauf, wieviel der Summand am Rand der Summe zur Gesamtsumme beiträgt.

Bei der Sache mit dem 1 - P( ) hast du etwas falsch verstanden. Das führt doch zu deinem Ergebnis. Ich schreibe es mal ausführlich hin. Gesucht ist



mit n = 1800 und p =25/36. Nun nähern wir die Binomialverteilung durch die Normalverteilung an. Das gibt ohne/mit Stetigkeitskorrektur:

ohne Stetigkeitskorrektur
mit Stetigkeitskorrektur

mit und . Und jetzt kann man noch zur Standardnormalverteilung übergehen, wie du es auch gemacht hast, z. B. mit Stetigkeitskorrektur:



Das ergibt insgesamt:



Man erhält ohne Stetigkeitskorrektur 8.4 % und mit Stetigkeitskorrektur 7.9 %.
lenny921 Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich habe in den Tabellen was falsch rausgelesen.

Für Z=1,41 ergibt sich für P(x<=1277) = 0,92073

das noch 1-0,92073 gerechnet ergibt für P(x>=1278) = 0,079 = 7,9 % Big Laugh
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