Dimension und Basis |
| 09.06.2013, 20:51 | Godran123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Dimension und Basis Sei der durch definierte Unterraum. 1. Was ist die Dimension des Unterraums? 2. Gebe eine Basis von V an. Meine Idee: 1. Um die Dimension bestimmen zu können muss ich einfach den Rang von vorgegebenen Vektoren berechnen mithilfe der Stufenform in Matrixdarstellung durch Gauß. Darf ich mir hier einfach sagen wie 4 Vektoren mit (x,y,z,t) ausdenken die die Bedingung x+y+z-t=0 erfüllen und dann diese in Stufenform bringen um den Rang zu betrachten? Oder wie mach ich das genau? 2. Eine Basis von vorgegebenen Vektoren kann man finden, indem man die vorgegebenen Vektoren auch mithilfe Gauß in Stufenform bringt und sich die Zeilen ,,herauspick" die ungleich Null sind. Aber mit welchen Vektoren? Ist das richtig so? Ansonsten würde ich euch bitten mir zu helfen da ich nicht weiter weiss. |
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| 09.06.2013, 20:52 | Godran123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Unterraum lautet: |
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| 09.06.2013, 21:51 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dein Unterraum ist der Kern einer linearen Abb. (die sogar angegeben ist). Nutz den Dimensionssatz, bestimme den rang der darstellenden Matrix. Für die Vorstellung hilft es oft sich hier ein paar Vektoren von V rauszuschreiben. |
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| 10.06.2013, 01:04 | Godran123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das geht mir etwas zu schnell. xD Also, ich habe mir jetzt 4 Vektoren aus V zur Hilfe herausgeschrieben. Was muss ich nun machen? |
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| 10.06.2013, 09:59 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine Bemerkung vorab zur zweiten Aufgabenstellung: Der Imperativ Singular von "geben" ist "gib". Ist dir klar, Kern welcher linearen Abbildung dein Unterraum ist? Gib diese mal formal richtig an. |
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| 10.06.2013, 20:17 | Godran123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Kern ist doch die Lösungsmenge der Gleichung Ax=0. Jetzt habe ich aber jedoch keine Vektoren vorgegebenen die ich in eine Matrix überführen kann. Wie komm ich auf den Kern? |
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| 10.06.2013, 20:45 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
x+y+z-t=0 ist doch eine Gleichung der Form Ax=0, oder? Dir scheint auch nicht klar zu sein, dass V nicht 4-dimensional ist. |
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| 10.06.2013, 20:56 | Godran123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wieso nicht IR^4? Ja das stimmt, dass x+y+z-t=0 eine Gleichung der Form Ax=0 ist. Aber ich dachte das der Vektor (x,y,z,t) die Eigenschaft x+y+z-t=0 haben soll, anstatt dieses LGS zu lösen. Wie löse ich hier eigentlich das LGS? Ich habe ja keine Vektoren gegeben die ich in Matrixform darstellen kann. |
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| 10.06.2013, 21:05 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist die Antwort auf welche Frage? Schau dir mal an. |
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| 10.06.2013, 21:14 | Godran123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hier steht doch, dass die Teilmenge des IR^4 alle Vektoren (x,y,z,t) beinhaltet die, die Eigenschaft x+y+z-t=0 erfüllt. Die Vektoren die du gewählt hast würden doch nicht die Bedingung x+y+z-t=0 erfüllen oder wieso wählst du diese? |
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| 10.06.2013, 21:24 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sorry für den Zahlendreher:
Ich habe hier nirgends irgendwelche Vektoren gewählt. Ich hab eine Matrixgleichung hingeschrieben. |
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| 10.06.2013, 21:29 | Godran123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt bin ich etwas verwirrt. Also ist umgeschrieben in eine Matrix, deine genannte Matrix? Ich habe das eher so verstanden, dass (x,y,z,t) ein allgemeiner Vektor ist, der die Bedingung x+y+z-t=0 erfüllt. Zum Beispiel (1,1,1,-3). Das was du geschrieben hast ist mir neu. |
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| 10.06.2013, 21:39 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe den Unterraum nicht als Matrix umgeschrieben, noch jemals sowas behauptet noch ginge das. Eine Matrix (außer der Nullmatrix) ist kein Vektorraum. Was ich geschrieben hab ist nochmal in anderen Worten: V ist die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystem Ax=0 (und damit Kern einer linearen Abb.). Was ich umgeschrieben habe ist die definierende Bedingung des Unterraums. Und (1,1,1-3) liegt nicht in V, (1,1,1,3) liegt in V. |
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| 10.06.2013, 21:43 | Godran123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
(1,1,1,3) meinte ich. Wie komm ich den an das gesuchte Gleichungssystem? |
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| 10.06.2013, 21:46 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Durch scharfes Hinschauen unter Beachtung der Def. der Matrizenmultiplikation. |
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| 10.06.2013, 21:55 | Godran123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich weiss zwar wie die Matrixmultiplikation funktioniert, doch wir selbst haben sie noch gar definiert. |
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| 10.06.2013, 22:01 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du schriebst:
Dem entnahm ich, dass LGS bekannt sind. Damit muss auch Matrizenmult. oder zumindest die Multiplikation von Matrizen und Vektoren bekannt sein. Ansonsten musst du halt auf die Methoden aus eurem Skript zurückgreifen, da ich keine Ahnung was ihr schon alles gemacht habt. |
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| 10.06.2013, 22:08 | Godran123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
LGS und die Multiplikation mit Skalaren bzgl. einem Vektor sind bekannt bereits. Welches Gleichungssystem meinst du denn ? |
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| 10.06.2013, 22:19 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das was ich vor gefühlt 20 posts die sich offenbar nur im Kreis gedreht haben geschrieben hab. |
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| 10.06.2013, 22:22 | Godran123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du meinst dieses LGS? Wenn ja, es wäre super mir Lehrling zu erklären,wie du den darauf kommst.^^ |
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| 10.06.2013, 22:32 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Diese Frage hast du bereits gestellt, ich habe bereits geantwortet: Durch scharfes Hinschauen. Rechne doch einfach nach, dass meine Behauptung stimmt. |
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| 12.06.2013, 20:31 | Godran123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hey, ich glaube ich hab es nun hinbekommen. Ich habe mit einfach paar Beispielvektoren (5) herausgepickt und diese auf Stufenform gebracht um den Rang abzulesen, denn es gilt Rang=Dimension. Deshalb komme ich zum entschluss, dass die Dimension 3 ist. Richtig? Man kann das eigentlich auch damit begründen, dass die Koordinate t der negative Wert von x+y+z ist. Man erkennt, dass sich die 4. Koordinate immer auflöst und somit muss der Rang 3 sein. Sprich drei Vektoren spannen ein Vektorraum auf. Ist das richtig???? |
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| 12.06.2013, 20:47 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Damit hast du gezeigt, dass deine 5 Beispielvektoren einen 3-dimensionalen Vektorraum erzeugen. Damit hast du auch gezeigt, dass V einen 3-dimensionalen Vektorraum enthält, sprich . Die Gleichheit hast du nicht gezeigt. Dazu müsstest du z.B. noch ein 3-elementiges Erzeugendensystem von V finden.
Das ist eine schöne anschauliche Begründung, aber kein Beweis. Schade das von dem ganzen was ich hier schrieb scheinbar gar nichts angekommen ist. |
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| 12.06.2013, 21:03 | Godran123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich gbe mein bestes es wirklich zu verstehen zu können, aber ich kann einfach nichts damit anfangen wenn ich nichts verstehe. Ich bin mir immer noch nicht bewusst wie du auf die genannte Matrix kommst. Ich habe wirklich eine Stunde damit verbracht und bin letztendlich gescheitert und habe bisschen nachgedacht wie man es noch zeigen könnte. |
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