Partielle Ableitungen, Stetigkeit

Neue Frage »

10.06.2013, 14:33	juliea	Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle Ableitungen, Stetigkeit Meine Frage: Man betrachte die Funktion $\begin{eqnarray} F : \mathbb R^{2}-> \mathbb R,<br /> F(x,y) = xy\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{4}+y^{4} } \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (x,y)\neq(0,0) \end{eqnarray}$ und F(0,0) = 0. Zeigen Sie: 1) F ist überall stetig 2) F ist zweimal partiell differenzierbar. Berechnen Sie die ersten partiellen Ableitungen überall und die zweiten partiellen Ableitungen $\begin{eqnarray} d_{2}d_{1}F \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d_{2}d_{2}F \end{eqnarray}$ in dem Punkt (x,y) = (0,0). Meine Ideen: zu 1) Muss ich dazu nicht nur zeigen, dass F überall differenzierbar ist, also jeweils einmal nach x und y ableiten? 2) Um zu zeigen, dass F überall zweimal partiell differenzierbar ist, muss ich doch wieder nur je zweimal nach x und y ableiten? Und was bedeutet "berechnen Sie die ersten partiellen Ableitungen überall"? Habe ich das mit dem ersten Schritt nicht schon getan? Und wie soll ich die Ableitung in dem Punkt (0,0) berechnen= :/ Danke schon mal im Voraus...
10.06.2013, 19:22	Dummy-Cool	Auf diesen Beitrag antworten »
zu a) Du weißt ja noch nicht, ob die Differentiale existieren. Das muss du erst zeigen. Die Fkt ist außerhalb des Nullpunktes stetig(wieso??) Also reicht es zu zeigen, dass sie im Nullpunkt stetig ist.. Hierfür würde ich das Sandwich-Lemma benutzen. zu b) Wieder das gleiche Problem wie oben. Du muss erst zeigen, dass die partiellen Ableitungen existieren. Die Funktion ist sicherlich außerhalb des Nullpunktes differenzierbar(wieso??), also reicht es wieder zu zeigen, dass sie im Nullpunkt diff'bar ist. Also muss du den Differenzenquotienten betrachten und gucken, ob er konvergiert.
11.06.2013, 10:48	juliea	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, vielen Dank schon mal für die Antwort! 1) Das Sandwich-Lemma hatten wir leider noch nicht in der VL, deshalb darf ich es nicht benutzen. Würde es sonst gehen, wenn ich zeige, dass zB $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty }f(\frac{1}{n},0)= 0 = f(0,0) \end{eqnarray}$ ? Oder bringt das nur was, wenn ich zeigen will, dass die Funktion irgendwo nicht stetig ist? 2) $\begin{eqnarray} v=(v_{1},v_{2})\in \mathbb R ^{2}, p_{0}=(0,0)<br /> \frac{f(p_{0}+ tv)- f(p_{0} }{t} = \frac{f(tv)}{t} =<br /> t^{2}v_{1}v_{2}\frac{v_{1}^{4}-v_{2}^{4}}{v_{1}^{4}+v_{2}^{4}}. \end{eqnarray}$ Und für t gegen 0 ist das Null. Ist das so richtig? Und wie zeige ich, dass es zweimal differenzierbar ist? Muss ich dann die Ableitung bilden und das wieder mit dem Differenzenquotienten zeigen? Und wie berechne ich zB die ersten partiellen Ableitungen? Einfach jeweils nach x und y ableiten? Woher weiß ich genau, dass sie außerhalb des Nullpunktes stetig und differenzierbar ist?
11.06.2013, 13:28	Dummy-Cool	Auf diesen Beitrag antworten »
zu a) du hast dir nur EINE Nullfolge angeschaut. Du muss dir eine beliebige nehmen. Eigentlich behandelt man das Sandwich-Lemma schon im 1. Semester, vielleicht kennst du ihn unter einem anderen Namen, Einschnürungssatz?? Also die Idee ist die Ungleichung anzugucken und dann davon Limes, also $\begin{eqnarray} \| F(x \cdot y) \| \leq \| x \cdot y\| \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \|x\cdot y\| \end{eqnarray}$ b) Also du musst gucken, ob der Differenzenquotienten konvergiert im Nullpunkt, dh. du betrachtest $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{f(x,0) - f(0,0)}{x - 0} \end{eqnarray}$ Das gleiche machst du dann für y. Wenn sie konvergiert, dann bedeutet es für uns, dass die partiellen Ableitungen überall existieren. Du rechnest dann im nächsten Schritt einfach die partiellen Ableitungen, also nach x und nach y. Dann muss du wieder gucken, in welchem die Funktion evtl nicht diff'bar sein kann. Dort muss du wieder überprüfen, ob der Differenzenquotienten konvergiert. Also x^4,y^4, x, y sind differenzierbare Funktionen. Summen, Produkte, etc sind wieder diffbar Hoffe ich konnte, dir helfen
11.06.2013, 18:50	juliea	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, danke, das hat mir schon mal sehr geholfen!! Okay, zu 2) Ich habe jetzt den Differenzenquotienten gebildet am Nullpunkt für x und y, er konvergiert gegen Null, und dann noch einmal das Ganze für die erste Ableitung, geht auch gegen Null, also habe ich ja schon einmal bewiesen, dass die Funktion zweimal partiell differenzierbar ist. Jetzt muss ich ja die zweiten Partiellen Ableitungen im Punkt (0,0) bestimmen; muss ich dafür nicht einfach die zweiten Ableitungen bilden und 0,0 einsetzen? :/ Das erscheint mir irgendwie zu trivial zu sein... 1) Wir hatten das Sandwich-Lemma nicht, auch nicht unter anderem Namen, hab' extra noch mal das Skript durchgesehen... Gibt's noch eine andere Möglichkeit, die Stetigkeit nachzuweisen? Ich könnte jetzt nur beweisen, dass sie in einem bestimmten Punkt stetig ist, aber das bringt mir ja in dem Fall nichts...
11.06.2013, 20:34	juliea	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschrieben - ich meinte, ich kann beweisen, dass die Funktion in einem Punkt nicht stetig ist, aber wie zeige ich, dass sie im Nullpunkt stetig ist?
Anzeige

12.06.2013, 09:18	juliea	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, das mit der Stetigkeit habe ich nun hinbekommen. Bleibt nur noch eine Frage: Ich soll ja die zweiten Ableitungen im Punkt (0,0) berechnen. Soll ich dazu die ersten Ableitungen wieder je nach x und y ableiten, so dass ich am Ende vier Werte habe? Oder leite ich nur die erste, die ich nach x abgeleitet habe, wieder nach x ab und das gleiche mit y?
12.06.2013, 09:42	juliea	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was bedeutet es - tut mir leid, dass ich so viele Fragen stelle - wenn die zweiten Ableitungen im Punkt (0,0) alle verschieden sind? Bzw. bedeutet das überhaupt irgendwas? Ich soll nämlich noch sagen, ob die beiden partiellen Ableitungen $\begin{eqnarray} (x,y) -> d1d2F\|_{(x,y)} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (x,y) -> d2d1F\|_{(x,y)} \end{eqnarray}$ überall stetig sind.A
12.06.2013, 18:55	Dummy-Cool	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn du die partiellen Ableitungen nach x und y gebildet hast, bekommst du eine Funktion, die offensichtlich außerhalb des Nullpunktes differenzierbar ist. Demnach muss du wieder den Differenzenquotienten bilden. Da muss du dir 4 Stück angucken, nämlich $\begin{eqnarray} D_{y}D_{x}f(0,0) = \lim_{x \to 0} \frac{D_{x}f(x,0)-D_{x}f(0,0)}{x-0} \end{eqnarray}$ und halt analog $\begin{eqnarray} D_{y}D_{y}f(0,0) \end{eqnarray}$ etc., insgesamt 4. So wenn du den Grenzwert gebildet hast, dann kommt $\begin{eqnarray} D_{x}D_{y}f(0,0)=-1 ~ und ~ D_{y}D_{x}f(0,0)=1 \end{eqnarray}$ heraus.

Neue Frage »

Antworten »

Partielle Ableitungen, Stetigkeit

Verwandte Themen