Pi Algorithmus

11.06.2013, 16:33

fragendermathe

Pi Algorithmus

Meine Frage:
Gibt es eine Iteration bzw einen Algorithmus, mit dem man eine Näherung für die Zahl Pi finden kann?

Meine Ideen:
Vielleicht

11.06.2013, 16:38

Leopold

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Diese Frage beschäftigt die Menschheit, seit es die Mathematik gibt. Und natürlich kennt man heute viele Verfahren zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , eher geometrisch motivierte (Archimedes' Berechnung des Kreisumfangs), eher welche aus der Analysis, darunter solche, die wunderschöne Formelgestalt haben, aber für die praktische Berechnung ungeeignet sind (Leibniz, Euler, Wallis), und dann wieder andere, die keine so schönen Formeln besitzen, dafür aber mit weniger Iterationen auskommen.

11.06.2013, 16:42

fragendermathe

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Gibt es vielleicht eine Iteration, die du mir zeigen könntest? Vielleicht nicht so anspruchsvoll?

11.06.2013, 16:58

Leopold

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Es seien $\begin{eqnarray*} u_n, U_n \end{eqnarray*}$ die halben Umfänge eines dem Einheitskreis ein- bzw. umbeschriebenen regelmäßigen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Ecks. Mit $\begin{eqnarray*} h_n \end{eqnarray*}$ werde die Länge der Lotstrecke vom Mittelpunkt des Kreises auf eine Seite des einbeschriebenen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Ecks bezeichnet. Dann bestehen die Beziehungen

$\begin{eqnarray*} h_{2n} = \sqrt{\ \frac{1}{2} \cdot \left( 1 + h_n \right)\ } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_{2n} = \frac{u_n}{h_{2n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_{n} = \frac{u_n}{h_n} \end{eqnarray*}$

Die Intervalle $\begin{eqnarray*} [u_n,U_n] \end{eqnarray*}$ bilden eine Intervallschachtelung von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ .

Du kannst zum Beispiel mit $\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$ starten, brauchst also $\begin{eqnarray*} u_4 \end{eqnarray*}$ , den halben Umfang des dem Einheitskreis einbeschriebenen Quadrats, und $\begin{eqnarray*} h_4 \end{eqnarray*}$ (was beim Quadrat ja mit einer halben Seitenlänge übereinstimmt). Im wesentlichen führt dieses Vorgehen auf das sogenannte Vieta-Produkt.

Eng verwandt damit ist das Gregory-Verfahren. Schau auch hier.

Und im Anhang findest du eine Berechnung mit Excel.

11.06.2013, 18:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
darunter solche, die wunderschöne Formelgestalt haben, aber für die praktische Berechnung ungeeignet sind (Leibniz, Euler, Wallis), und dann wieder andere, die keine so schönen Formeln besitzen, dafür aber mit weniger Iterationen auskommen.

Wobei auch beides zugleich geht: Der relativ "jungen" Formel (noch keine 20 Jahre bekannt)

$\begin{eqnarray*} \pi = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k+1}-\frac{2}{8k+4}-\frac{1}{8k+5}-\frac{1}{8k+6} \right) \end{eqnarray*}$

ist eine gewisse Eleganz nicht abzusprechen. Zudem eine hübsche Aufgabe für den Analysis-Grundkurs, diese Darstellung nachzuweisen.

P.S.: Irgendein Boardmitglied hat die auch als Signatur, wer war das bloß? verwirrt

11.06.2013, 19:07

RavenOnJ

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Die Reihe von Ramanujan für den Kehrwert von $\begin{align*} \pi \end{align*}$ konvergiert extrem schnell:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt{2}}{9801} \cdot \sum_{n=0}^\infty\,\frac{(4n)!}{(n!)^4} \cdot \frac{1103 + 26390\,n}{396^{4n}} \end{eqnarray*}$

Edit: Die Partialsumme bis n=1 gibt Pi schon bis auf 15 Stellen genau an. Mit jeder weiteren Iteration kommen etwa 7 exakte Stellen dazu.

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