Kombinatorik im 3x3-Gatter

11.06.2013, 22:03	Deduktion	Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinatorik im 3x3-Gatter Hallo, liebe Matheboardnutzer, Mal eine ganz kurze Frage: Ich suche die Anzahl der verschiedenen Kombinationen von Elementen, die jeweils 2 Attribute haben in einem 3x3-Gatter. Es gebe insgesamt 9 verschiedene Elemente, die jeweils nur einmal benutzt werden dürfen und auch müssen! Jedes Element habe 2 verschiedene Attribute. Jedes Attribut habe 3 verschiedene mögliche Zustände. Nehmen wir an, abc, bzw. xyz seien die Attribute der Elemente, dann gibt es folgende Elememente ax ay az bx by bz cx cy cz Beim Ausfüllen des Gatters gilt allerdings eine Regel: Jedes Attribut darf in jeder Zeile und in jeder Spalte nur ein mal vorkommen. [ay][cz][bx] [bz][ax][cy] [cx][by][az] Was ich mir bereits gedacht habe: [ 3] [ 2] [ 1] [ 2] [ 2] [ 1] [ 1] [ 1] [ 1] So sieht das Gatter für die Anordnung EINES Attributes aus. Im ersten Feld der ersten Reihe gibt es noch alle 3 verschiedenen Zustände d. Attributes zur Auswahl, da jedes aber in jeder Reihe und spalte nur einmal vorkommen darf, kommen für das zweite Feld der ersten Zeile/Spalte nur noch 2 verschiedene Zustände in Frage. Hat man von diesen einen gewählt, so ist das letzte Feld zwingend mit dem verbleibenden Attribut zu befüllen. Ich habe dann die Anzahl d. Möglichkeiten für EIN Attribut verdoppelt, um zur Lösung zu gelangen, als mir auffiel, dass ja auch Attribut 2 GLEICHZEITIG weitere Möglichkeiten entfernt ... sieht das Gatter für beide Attribute also so aus? [ 6] [ 4] [ 1] [ 4] [ 4] [ 1] [ 1] [ 1] [ 1] 6 im ersten Feld, da 3 Zustände * 2 Attribute 4 im zweiten Feld, 2 Zustände * 2 Attribute 1 im letzten Feld, Ausfüllen; zwingend; einzige verbleibende Möglichkeit FRAGE: Sind meine bisherigen Überlegungen korrekt? Wie viele Kombinationen gibt es also insgesamt? Wie viele Kombinationen gibt es, wenn man nur Kombinationen zählt, die nicht durch drehen in bereits gezählte Kombinationen überführt werden können? Ich freue mich auf eure Antworten, Lukas =)
12.06.2013, 17:06	Deduktion	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Anschaulichkeit halber... ... kann man sich ein Attribut als Farbe, ein anderes als Form denken (z.B. Dreieck, Kreis, Quadrat). Einige Beispiele möglicher Kombinationen finden sich hier: http://www.iq-spiele.de/pdf/Lernspiele_L...ufgaben_1_2.PDF
14.06.2013, 00:26	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kombinatorik im 3x3-Gatter Man kann sich zuerst die Belegungsmöglichkeiten der Kästchen mit einem Attribut (z.B. Farbe) anschauen. Dazu reicht es aus, nur die 2x2-Matrix in der oberen linken Ecke mit Eigenschaften zu füllen, weil sich die Belegung der übrigen Kästchen dann automatisch ergibt. Unter einer bestimmten Bedingung* gibt es für die Attribute a,b,c nur zwei Möglichkeiten, sich oben links anzuordnen: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} a & b \\ c & a \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} b & a \\ a & c \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Man ordnet a,b und c jeweils keine bestimmte Farben zu, sie müssen nur verschieden sein. Somit ist entweder die Diagonale von links oben nach rechts unten oder die andere Diagonale mit derselben Farbe* belegt. Weil es 3! Möglichkeiten gibt, a,b und c drei verschiedene Farben zuzuweisen, errechnet sich die Anzahl erlaubter Belegungen mit dem Attribut Farbe so: $\begin{eqnarray} 2\cdot 3! = 12 \end{eqnarray}$ Wenn man nun mit dem zweiten Attribut (z.B. Form) kombiniert, bleibt es bei zwei Möglichkeiten: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} ay & bx \\ cx & az \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} bx & ay \\ az & cx \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Auch hier werden alle Möglichkeiten erfasst, wenn man x,y,z beliebige aber verschiedene Formen zuweist. Wenn also die Diagonale von links oben nach rechts unten mit derselben Farbe belegt ist, dann muss die andere Diagonale mit derselben Form belegt sein. Die Gesamtzahl aller erlaubten Kombinationen ist also $\begin{eqnarray} 2\cdot 3!\cdot 3! = 72 \end{eqnarray}$

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