Satz des Pythagoras, Teilbarkeit

12.06.2013, 20:08

meister_quitte

Satz des Pythagoras, Teilbarkeit

Aufgabe: Beweisen Sie, aus $\begin{eqnarray*} a^2+b^2=c^2 \end{eqnarray*}$ folgt 12|ab und 60|abc

Hallo Freunde der Mathematik,

ich habe mir bereits folgenden Ansatz überlegt:
$\begin{eqnarray*} ab=12*p\wedge abc=60*q \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sqrt{u^2-v^2}*\sqrt{2uv}=12*p\iff \sqrt{2u^{3}v-2uv^3}=12*p\wedge \sqrt{u^2-v^2}*\sqrt{2uv}*\sqrt{u^2+v^2}=60*q\iff \sqrt{2u^{5}v-2uv^5}=60*q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2u^{3}v-2uv^3=144*p\iff 2(u^{3}v-uv^3)=144*p\wedge 2u^{5}v-2uv^5=3600*q\iff 2(u^{5}v-uv^5)=3600*q \end{eqnarray*}$

Weil 3600, 144, $\begin{eqnarray*} 2(u^{5}v-uv^5), 2(u^{3}v-uv^3) \end{eqnarray*}$ gerade sind erfüllt dies die Behauptung.

Ist das so richtig?

Liebe Grüße

Christoph

12.06.2013, 20:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von meister_quitte
Weil 3600, 144, $\begin{eqnarray*} 2(u^{5}v-uv^5), 2(u^{3}v-uv^3) \end{eqnarray*}$ gerade sind erfüllt dies die Behauptung.

Inwiefern soll das denn die Behauptung beweisen? unglücklich

Ich würde die Behauptung eher über Einzelbetrachtungen der möglichen quadratischen Reste

$\begin{eqnarray*} 0,1\bmod 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,1,4\bmod 8 \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} 0,1,4\bmod 5 \end{eqnarray*}$

erledigen.

12.06.2013, 20:29

meister_quitte

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Hallo HAL,

wie kommst du auf diese Kongruenzen?

Liebe Grüße

Christoph

12.06.2013, 20:41

HAL 9000

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Für detailliertere Nachfragen, warum und wie das so klappt, stehe ich zur Verfügung - diese unsäglichen Fragen "Wie kommst du auf" beantworte ich aber nicht, weil ich es nicht kann.

12.06.2013, 20:55

alterHund

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RE: Satz des Pythagoras, Teilbarkeit
Deine erst Ansatzzeile stimmt, aber warum nimmst Du dann die Wurzeln der a,b,c ?

13.06.2013, 11:05

Mystic

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RE: Satz des Pythagoras, Teilbarkeit

Zitat:

Original von alterHund
Deine erst Ansatzzeile stimmt,[...]

Falsch, schon die erste Ansatzzeile (sowie auch der Rest) ist kompletter Unsinn, denn sie geht ja schon von der zu beweisenden Behauptung aus... unglücklich

Und ja, es geht so wie schon von HAL vorgeschlagen, d.h., man muss sich überlegen wie Quadrate mod m für m=3,5,8 aussehen können und welche Kombinationen daher nur möglich sind, wenn a²+b²=c² gelten soll....

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