Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume

Neue Frage »

Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
Hallo,
wie gehe ich beim Beweis des Banach'schen Fixpunktsatzes für allgemein vollständige metrische Räume vor?

Also das besagt ja der Satz:

Sei eine nichtleere abgeschlossene Teilmenge eines vollständigen metrischen Raumes und eine kontrahierende Selbstabbildung, dann besitzt genau einen Fixpunkt, also genau einen Punkt mit . Für jeden Startwert konvergiert die durch

rekursiv definierte Folge gegen .


Also ich hab mir folgendes überlegt.
Wikipedia sagt ja zur Kontraktion:

" sei ein metrischer Raum. Eine Abbildung heißt Kontraktion, wenn es eine Zahl gibt, mit der für alle gilt: . Man nennt die Abbildung dann auch kontrahierend oder auch kontraktiv auf ."

So würde ich auch rangehen und sagen, dass irgendein Punkt aus ist. Mit der Kontraktionskonstanten erhält man wegen induktiv
. Nun folgt:
.
Aber hier weis ich jetzt nicht weiter. Ich muss irgendwie den Grenzwert bestimmen, weiß aber nicht wie ...

Hoffe jemand kann mir helfen ..
LG
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
Wenn du nun weißt, dass eine Cauchy-Folge ist, kannst du annehmen, dass es ein gibt, so dass in (denn der Raum ist vollständig).
Jetzt musst du zeigen, dass , d.h. .
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
Huhu Che,
Ich hatte mir da so Gedanken gemacht ...



wegen vorraussetzung

Das \xi der Grenzwert ist erhält man durch die Angabe, dass M als Teilraum eines vollst. metr. Raumes selbst vollst. ist. (wie du schon sagst)

Reicht das als Beweis??

Liebe Grüße
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
Wieso gilt denn da die erste Gleichung?
Kannst du voraussetzen, dass stetig ist?
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
Ja, die Existenz des Grenzwertes ist ein Fixpunkt von und das folgt doch aus der Stetigkeit von M.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
Die Existenz ist ein Fixpunkt und eine Menge ist stetig?
Unsinn...
 
 
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
Stimmt .. wie kann eine Menge stetig sein .. höchstens die Menge stetiger Funktionen ..
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
Es gibt zwar tatsächlich den Begriff der gleichgradigen Stetigkeit für Familien bzw. Mengen stetiger Funktionen – das ist aber etwas ganz anderes.
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
Danke für die Info!
Dann muss ich hier wieder ansetzen ...
Zitat:
Original von Che Netzer
Wieso gilt denn da die erste Gleichung?
Kannst du voraussetzen, dass stetig ist?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
Oder aber du beachtest folgenden Hinweis:
Zitat:
Original von Che Netzer
Jetzt musst du zeigen, dass , d.h. .
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
Entschuldigung, das ich nicht darauf geantwortet habe .. ich werde das jetzt nachholen.
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
Wie zeige ich das?


Und nach (metrische Räume) falls gilt



So?

Aber eigendlich gitl ja
das nur falls
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
Du kannst mit der Dreiecksungleichung eines der Folgenglieder einschieben.
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume


So steht es in Wikipedia, aber ich weiß nicht warum ...
Könntest du mir vielleicht die Dreiecksungleichung zeigen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
Dort wird anscheinend die Stetigkeit von benutzt.
Die kann man auch zeigen, aber anscheinend habt ihr das noch nicht.

Du wirst doch aber wohl noch wissen/nachschlagen können, wie die Dreiecksungleichung (für eine Metrik) lautet...
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
Ja die weiß ich

Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
Das ist die Dreiecksungleichung für Normen.
Ich hatte extra in Klammern "für eine Metrik" geschrieben.
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume


entschuldigung
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
Das keine Dreiecksungleichung Augenzwinkern
Stattdessen ist das eine spezielle Metrik auf .
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
Ahhhh Entschuldigung ! Big Laugh
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
Ja.
Wende das auf und an, um ein "einzuschieben".
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
Ich glaub das mit dem einschieben ist mir schon wieder zu kompliziert hihi
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
Klappt doch.
Jetzt zeige, dass beide Summanden auf der rechten Seite für gegen Null gehen. Fang dazu am besten mit dem ersten an, der ist einfacher zu handhaben.
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
Huhu,



ich weis nicht ..
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
Das kann nicht sein; wenn du rechts gegen Unendlich laufen lässt, kann links kein mehr auftauchen.
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
Zitat:
Original von Theend9219
Huhu,



..



so?

LG
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
Da hast du das gleiche Problem...
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
Zitat:
Original von Theend9219
Zitat:
Original von Theend9219




..



upps ...

LG
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Banach'sche Fixpunktsatz allg. vollst.metr. Räume
Zitat:
Original von Che Netzer
Da hast du das gleiche Problem...
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »