Operatoren (lineare)

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Malicious Auf diesen Beitrag antworten »
Operatoren (lineare)
Meine Frage:
Beschreibe X^p den Raum der Polynome mit Grad kleiner gleich p ? N über einer Variablen.
(i) Zeigen Sie, dass der Ableitungsoperator d/dx , der Integrationsoperator (integralsymbol) und die Shift-
Operatoren S^+ , S^? lineare Operatoren sind, d.h.

d/dx ? L(X^p+1 , X^p ), (Integralsymbol) ? L(X^p , X^p+1),

S^+ ? L(X^p , X^p+1) und S^? ? L(X^p+1 , X^p ).

(ii) Bestimmen Sie für die vier Operatoren die Matrixdarstellung
A (d/dx) , A (Integrationssymbol) , AS^+ und AS^? .
Wählen Sie dazu die Basis der Monome.

(iii) Prüfen Sie, ob die beiden Operatoren S^? ? (Intergrationssymbol) und d/dx ? S^+ invers zueinander sind, d.h. ob

( d/dx ? S^+ ) ? (S^? ? (Integrationssymbol))? (d/dx ? S^+ ) = id ? L(X^p , X^p ) gilt.





Meine Ideen:
meine Ideen sind... ich hab leider keine und hoffe ihr könnt mir weiter helfen ....
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Operatoren (lineare)
Als erstes solltest du das mal sauber aufschreiben.
Benutze z.B. unseren Formeleditor.

Kläre dabei am besten gleich die genauen Definitionen der Operatoren.
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Operatoren (lineare)
oh sorry mir ist grad aufgefallen, dass einige Symbole durch Fragezeichen ersetzt wurden... also hier noch mal eine Nachbesserung ....

Beschreibe X^p den Raum der Polynome mit Grad kleiner gleich p Element N über einer Variablen.

(i) Zeigen Sie, dass der Ableitungsoperator d/dx , der Integrationsoperator (integralsymbol) und die Shift-
Operatoren S^+ , S^- lineare Operatoren sind, d.h.

d/dx Element L(X^p+1 , X^p ), (Integralsymbol) Element L(X^p , X^p+1),

S^+ Element L(X^p , X^p+1) und S^- Element L(X^p+1 , X^p ).

(ii) Bestimmen Sie für die vier Operatoren die Matrixdarstellung
A (d/dx) , A (Integrationssymbol) , AS^+ und AS^- .
Wählen Sie dazu die Basis der Monome.

(iii) Prüfen Sie, ob die beiden Operatoren S^- kringel (Intergrationssymbol) und d/dx kringel S^+ invers zueinander sind, d.h. ob

( d/dx kringel S^+ ) kringel (S^- Kringel (Integrationssymbol)) kringel (d/dx Kringel S^+ ) = id Element L(X^p , X^p ) gilt.

p.s. das "L" steht für lineare Abbildung

so jetzt sieht das doch schon besser aus oder ....
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Operatoren (lineare)
Zitat:
Original von Malicious

so jetzt sieht das doch schon besser aus oder ....


na ja, wenn du meinst .... verwirrt

1.) du solltest das Ganze in Latex schreiben. Für Ungeübte gibt es einen Formeleditor.
2.) drei Aufgaben in einen Thread zu packen ist kein guter Stil,
3.) und dann noch ohne eigenen Ideen, ganz schlechter Stil.

Irgendwas musst du schon selber bringen. Die Aufgabe ist schließlich nicht aus dem All bei euch aufgeschlagen. Es gibt da sowas wie Vorlesungen, da werden gewisse Grundlagen vermittelt, sodass man eigene Ideen zur Lösung entwickeln kann. Ich würde sagen, du machst es dir etwas zu einfach hier. Und bei sowas

d/dx kringel S^+ ) kringel (S^- Kringel (Integrationssymbol)) kringel (d/dx Kringel S^+ )

schalte ich gleich ab - aus Prinzip.
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

Beschreibe x^{p} den Raum der Polynome mit Grad kleiner gleich p \in \mathbb N über einer Variablen.

(i) Zeigen Sie, dass der Ableitungsoperator \frac{d}{dx} , der Integrationsoperator \int und die Shift-Operatoren S^{+} und S^{-} lineare Operatoren sind, d.h.
\frac{d}{dx} \in L(X^{p+1} , X^{p}) , \int \in L(X^{p} , X^{p+1}),

S^{+} \in L(X^{p} , X^{p+1}) und S^{-} \in L(X^{p+1} , X^{p} ).

(ii) Bestimmen Sie für die vier Operatoren die Matrixdarstellung A_{\frac{d}{dx} }, A \int , A_{ S^{+}} und A_{S^{-}} .
Wählen Sie dazu die Basis der Monome.

(iii) Prüfen Sie, ob die beiden Operatoren S^{-} kringel \int und \frac{d}{dx} kringel S^{+} invers zueinander sind, d.h. ob

( \frac{d}{dx} kringel S^{+} ) kringel (S^{-} kringel \int) = (S^{-} kringel \int) kringel ( \frac{d}{dx} kringel S^{+} ) = id \in L(X^{p} , X^{p} ) gilt.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt fass den Formelkram mal in Latex-Tags ein. "kringel" ist übrigens \circ. Es gibt einen "Vorschau"-Button, mit dem du dir vor dem Absenden anschauen kannst, wie es nachher aussieht.

Und wenn du dich anmeldest, kannst du auch nachträglich deine Posts editieren - so wie ich jetzt.
 
 
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

ich kenne mich mit Latex nicht aus... und habe zuvor noch nie so eine Plattform genutzt, ich glaube das bleibt auch weiterhin so .... (Versuch ist nach Hinten los gegangen)

Ich will euch auch nicht weiter damit nerven!!
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt keinen Grund eingeschnappt zu sein. Es ist nur so, dass hier Leute freiwillig ihre kostbare Zeit opfern, um Leuten wie dir zu helfen. Da wollen sie nicht auch noch Steine in den Weg gelegt bekommen durch extrem schlecht leserliche Notation. Du hast doch im 2. Anlauf schon halbwegs passablen Latex-Code aufgeschrieben. Es fehlt eigentlich nur das Einschließen in Latex-Tags und gewisse Verbesserungen wie Ersetzen von "kringel" durch \circ. Wenn dir das allerdings der kleinen Mühe nicht wert ist, dann ist es dir wohl auch nicht so wichtig.

Statt S^{-} kringel \int könntest du schreiben S^{-} \circ \int



usw.. Das ist wohl nicht zuviel verlangt.

Zwei hilfreiche Seiten zu Latex (vor allem die erste):
Latex-Hilfe: http://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX
Latex-Symbole: http://amath.colorado.edu/documentation/LaTeX/Symbols.pdf
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

Beschreibe den Raum der Polynome mit Grad kleiner gleich p über einer Variablen.


(i) Zeigen Sie, dass der Ableitungsoperator der Integrationsoperator und die Shift-Operatoren und lineare Operatoren sind, d.h.
, ,

und .

(ii) Bestimmen Sie für die vier Operatoren die Matrixdarstellung , , und .
Wählen Sie dazu die Basis der Monome.

(iii) Prüfen Sie, ob die beiden Operatoren und invers zueinander sind, d.h. ob

( ) () = () ( ) = id ) gilt.

JAWOLL ich hab's geschafft :-)))) Sogar noch in diesem Jahr :-D

OK ich weiß jetzt wie man den Kram eingibt aber ich weiß immer noch nicht wie ich die Aufgaben lösen soll ... ich habe leider keine ANsätze ....

Seid Ihr noch da -.- ... HILFEEEE
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Geht doch! Ich schreib es noch etwas schöner:

Zitat:
Original von Malicious
Beschreibe den Raum der Polynome mit Grad kleiner gleich über einer Variablen.


(i) Zeigen Sie, dass der Ableitungsoperator der Integrationsoperator und die Shift-Operatoren und lineare Operatoren sind, d.h.

, ,

und .

(ii) Bestimmen Sie für die vier Operatoren die Matrixdarstellung , , und .
Wählen Sie dazu die Basis der Monome.

(iii) Prüfen Sie, ob die beiden Operatoren und invers zueinander sind, d.h. ob

gilt.



Du kannst ohne Probleme die Klammern innerhalb der Latex-Umgebung schreiben. Außerdem kannst du dir Schreibarbeit ersparen, wenn du statt latex einfach l (kleines L) schreibst.

Jetzt müsstest du nur noch erklären, wie die Shift-Operatoren definiert sind.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Viel interessanter fände ich die Definition des Integrationsoperators.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde sagen, alle diese Operatoren sollten vom Fragesteller erst mal definiert werden. Aber klar, der Integrationsoperator ist tückisch, da er aus dem Raum heraus führt. Vielleicht soll er für Polynome vom Grad p die Null ergeben.
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja OK also ich gebe euch was im Skript steht OK ...

DEF 1)

(i) Eine Abbildung f : X Y heißt linear, falls für alle x,y X (X ist ein metrischer raum) und , gilt.

Man schreibt auch f(x) = Ax mit A L(x,y)

hierbei bezeichnet L(x,y) die Menge aller "linearen Operatoren", d.h. linearen Abbildungen zwischen X und Y.

(ii) f : X Y heißt affine wenn f(x) - F(0) linear ist, sodass f(x) = Ax +b mit f(0) = b.
Häufig wird 'linear' geasgt und geschrieben 'affin'.

A( ) = Falls b=0 heißt f(x) = Ax auch homogen linear äquivalent affin und homogen.

SATZ 1) L(X,Y) ist BANACH

Seien x,y BAnachräume, d.h. normiert linear und vollständig

(i) Dann bildet L(X,Y) ein normierten RAum bezüglich der Norm :

||A|| = sup L(X,Y) ergibt die Summe A+B mit den werten (A+B)x = Ax+ BX für x X . Für wird A definiert durch werte =

Mit Definition ist L(X,Y) offensichtlich ein linearer Raum. Normeigenschaft von ||A|| ergeben sich wie folgt. DA ||Ax|| 0 und ||x|| > 0 für x 0 ist ||A|| nicht negativ. 0 = ||A|| verlangt ||Ax|| = 0 für alle x X. Da die Vektornorm in X definiert ist folgt daraus Ax = 0 für alle x = sup
= sup
=
=

sup

so das wars's mehr hab ich nicht... bin ausversehen auf die Lösch-taste gekommen -.- das tut echt weh .....

also wir haben nicht explizit gesagt was ein Integrationsoperator ist

zu =

und =

So JUNGS ich hoffe das Iht jetzt geung INPUT hab't icch warte ganz gespannt :-)))
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Erst mal: Es gibt keinen Grund für dich, irgendjemanden hier von oben herab zu behandeln ("JUNGS"). Du willst doch was von uns und wir nichts von dir, oder irre ich mich? Außerdem hast du außer der Schreiberei keinen echten INPUT geliefert, also keinen Lösungsansatz. Erwartest du den von uns??

Wir wissen, was ein Banachraum ist und lineare Operatoren sind uns auch nicht fremd. Von daher hättest du dir den Großteil der Arbeit sparen können.

Zitat:

=

und =

S^{+}= a_n_x^{n+1} + ... + a_0_x^{n}
S^{-} = a_n_x^{n-1} ... a_0_x^{n}

Diese Shift-Operatoren hast du 1.) unverständlich für den Latex-Interpreter und 2.) wohl falsch aufgeschrieben. Ich korrigiere sie mal so, wie ich mir die jetzt zusammenreime: Sei das Polynom


Dann sind die Shift-Operatoren erklärt durch





Ihr betrachtet offenbar nicht den Raum der Polynome mit Grad , wie ich das nach deinem 1. Post vermutete hatte, sondern den Raum aller Polynome von endlichem Grad. bildet also ein Polynom vom Grad p auf ein Polynom vom Grad p+1 ab, ein Polynom vom Grad p auf eins vom Grad p-1.

Ich schreib auch mal den Integrationsoperator auf, so wie ich ihn mir denke:



und den Differentiationsoperator



Jetzt bist du am Zug.
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

HALLO ... sorry das mit " Jungs" ich hab das zwar lieb gemeint aber ist ja auch egal, nun noch mal hin zur Aufgabe ... ja richtig ich brauche Hilfe von euch...

Ok danke erstmal für deine Notation ... jetzt muss ich ja bei (i) zeigen, dass die 4 Operaoren linear sind, d.h. dann muss ich doch zeigen, dass die Aditivität gilt und Homogenität oder ??

WIe soll ich das machen? Also ich hab das so aufgeschrieben zunächst mal für gemacht...

1. Additivität:

=

=
=
=

=

jetzt Homogenität:

=

=

=

=

=


Ja für die anderen hätte ich das dann analog gemacht ... Ist das richtig so?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll denn bedeuten? verwirrt

Du hast anscheinend mit der Linearität etwas missverstanden. Der Vektorraum, um den es hier geht ist der Raum der endlichen Polynome (von der Ringstruktur dieses Raumes wird hier abgesehen). Du sollst zeigen, dass die Operatoren linear auf operieren, dass also beispielsweise gilt



mit .
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

@RavenOnJ:
Es geht hier durchaus um den Raum der Polynome vom Grad kleiner gleich :


Beim Integrationsoperator hätte mich noch interessiert, ob die Integrationskonstante beachtet wird.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
@RavenOnJ:
Es geht hier durchaus um den Raum der Polynome vom Grad kleiner gleich :


Du meinst also, es wird überhaupt nur der Raum betrachtet? Woraus ersiehst du das? Ich verstehe den Fragesteller da inzwischen anders.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

So steht es jedenfalls in seinen Formulierungen der Aufgabe.
Natürlich wird nicht nur für festes betrachtet, sondern auch .

Andernfalls würde die Frage nach der Matrixdarstellung auch keinen Sinn ergeben.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
So steht es jedenfalls in seinen Formulierungen der Aufgabe.
Natürlich wird nicht nur für festes betrachtet, sondern auch .

Andernfalls würde die Frage nach der Matrixdarstellung auch keinen Sinn ergeben.


Warum? Du meinst also, es geht nur um Matrizen aus und . Warum würde eine Matrix keinen Sinn machen, wenn man den gesamten Raum betrachtet? Sie hätte dann halt unendlich viele Zeilen und Spalten. Ist das ein Problem?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Kommt drauf an, was man als Matrix versteht [attach]24103[/attach]
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Sei's drum. Es geht um lineare Operatoren aus . Man braucht also nur endlichdimensionale Matrizen.
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

Hey ,

Also Raven zu deinem Einwurf ... ja das stimmt bin etwas duecheinander gekommen hab es mittlerweile verbessert in meinen UNterlagen

also das mit der Integrationskonstante hat mich auch gestört, ich habe leider kein Hinweis dazu bekommen -.- aber wie wärs damit

=

= =

=

ok ich glaub (i) habe ich dann doch noch hinbekommen

zu (ii) ja das mit der Matrixdarstellung, hier hat der Übungsleiter gesagt schaut euch das in Wikipedia an -.-
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer

Beim Integrationsoperator hätte mich noch interessiert, ob die Integrationskonstante beachtet wird.


Wenn man für nur das Produkt berücksichtigt, wird eine mögliche Integrationskonstante unerheblich, da sie automatisch rausfällt. Aber prinzipiell ist das natürlich zu brücksichtigen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Malicious
zu (ii) ja das mit der Matrixdarstellung, hier hat der Übungsleiter gesagt schaut euch das in Wikipedia an -.-


Das ist ja eine Einstellung Big Laugh . Ihr sollt das also irgendwo abschreiben? Selber nachdenken ist wohl nicht mehr angesagt.
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich finde das voll scheiße ... jetzt versteht ihr vielleicht warum ich grad so aufgeschmießen bin .... naja selber nachdenken ist schon klar aber HInweise geben wäre auch ganz nett gewesen vom Übungsleiter ;-) ( ich bin übrigens eine FragestelleRIN) :-))
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Malicious
( ich bin übrigens eine FragestelleRIN) :-))


ach, deswegen JUNGS. Das sei dir dann verziehen Augenzwinkern .
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

zur ii) Durch welchen Vektor wird in der Basis der Monome beispielsweise das Polynom dargestellt? Und allgemeiner der Vektor für das Polynom
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

also

dann ist die Basis der Monome
... oder ?
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

und Allgemeiner

=

ist das richtig so?
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

SEID IHR NOCH DA ?? -.-
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

War gerade anderweitig beschäftigt.

Deine Vektordarstellung stimmt nicht, es ist

. Die Monome sind die Basisvektoren.
Malicious Auf diesen Beitrag antworten »

ok und wie wäre es dann für meine 4 Operatoren ...









.... ich bitte um Korrektur
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Die Operatoren musst du als Matrizen darstellen. Diese wiederum wirken auf die Polynome in Vektordarstellung. Du könntest also höchstens schreiben



wobei der erste Vektor p+1-dimensional ist und der zweite p+2-dimensional. Bei dem Integrations- und dem Differentiationsoperator solltest du auf alle Fälle noch mal ganz scharf nachdenken (abgesehen davon, dass die Darstellung falsch war).
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