Faktorisierung ergänzen zu einer QR-Zerlegung

15.06.2013, 17:10	Ändru	Auf diesen Beitrag antworten »
Faktorisierung ergänzen zu einer QR-Zerlegung Hallo alle zusammen, ich bin noch recht neu hier und hoffe der Thementitel sagt genug aus. Zur Aufgabe: Wir haben $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1&3&-4 \\ 3&9&-2 \\ 4&12&-6 \\ 2&6&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gegeben. Und für $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist schon eine Faktorisierung gegeben: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1&-3 \\ 3&1 \\ 4&-2 \\ 2&4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&3&-1 \\ 0&0&1\end{pmatrix} = \tilde{Q} \tilde{R} \end{eqnarray}$ Die Aufgabe lautet nun: Man solle die bestehende Faktorisierung von $\begin{eqnarray} A=\tilde{Q} \tilde{R} \end{eqnarray}$ nun so umformen, dass daraus eine $\begin{eqnarray} QR \end{eqnarray}$ -Zerlegung wird. Meine erste Idee war einfach alles nochmal nachrechnen mit dem Householderverfahren oder der Givensrotation um dann eine $\begin{eqnarray} QR \end{eqnarray}$ -Zerlegung zu erhalten. Allerdings ist das sicherlich nicht der Sinn der Aufgabe alles neu zu berechnen Meine Frage ist nun: Wie muss ich $\begin{eqnarray} \tilde{Q} \tilde{R} \end{eqnarray}$ erweitern damit eine $\begin{eqnarray} QR \end{eqnarray}$ -Zerlegung vorliegt? Geht das möglicherweise mit dem Basisergänzungsatz? Weil $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ eine Orthoganl-Matrix sein muss und die Faktorisierung ja nur Dim 2 hat... Danke schonmal Grüße Andre
17.06.2013, 00:19	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst $\begin{eqnarray} \tilde{Q} \end{eqnarray}$ um zwei weitere orthogonale Vektoren erweitern und erhältst durch anschließende Normierung $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ . Stelle dann $\begin{eqnarray} \tilde{Q} \end{eqnarray}$ durch das Produkt aus $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ und einer weiteren Matrix dar.
21.06.2013, 21:00	Ändru	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab jetzt nochmal nachgefragt.... die Lösung ist sehr sehr simpel! Nämlich: einfach nur normieren!... $\begin{eqnarray} <br /> Q = \frac{1}{\sqrt{30}} \begin{pmatrix} 1&-3 \\ 3&1 \\ 4&-2 \\ 2&4 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ entsprechend dann $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> R = \sqrt{30} \begin{pmatrix} 1&3&-1 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Mein Problem war immer nur, dass ich dachte $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ müsste quadratisch sein, was aber nicht der fall sein muss... Grüße Andre

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