oszillierende Funktion/ Borelmenge

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youth_hostel Auf diesen Beitrag antworten »
oszillierende Funktion/ Borelmenge
Meine Frage:
Sei eine Funktion und sei die Menge ihrer Stetigkeitspunkte. Definiere die Oszillationsfunktion von durch

.

(1) Beschreiben Sie mit Hilfe von .

(2) Zeigen Sie, dass für alle die Menge offen ist.

(3) Zeigen Sie, dass eine Borelmenge ist.

Meine Ideen:
Hallo, liebe Leute!

Es ist schon spät, deswegen hab ich mich erstmal bisher nur an Aufgabe (1) herangewagt.

Zu (1):

Sei . Das heißt für alle existiert ein , sodass für alle mit gilt, dass .

Das bedeutet für :
Sei nun beliebig. Dann gibts also ein , s.d. für gilt, dass .

Jetzt kann man Epsilon sehr klein werden lassen, also gegen 0 gehen lassen.

Dann dürfte das Supremum 0 sein und dies für alle .

Ich würde also sagen, dass man mit Hilfe von so beschreiben kann, daß S diejenige Menge ist, für deren Elemente verschwindet.

Liege ich richtig?
Tom92 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

mit deiner Vermutung zu (1) liegst du richtig, aber du hast es nicht ordentlich aufgeschrieben.

Du hast bei den Indizes zu nicht aufgepasst. Was haben und mit und zu tun?

Bei deiner Beweisidee hast du nur eine Richtung betrachtet: ist stetig in folgt .

Man kann ein beliebig kleines wählen, aber man lässt nicht "gegen Null gehen". (So sprechen darf man erst, wenn man damit keine Fehler mehr macht Augenzwinkern )

Deswegen ist das Supremum auch nicht Null, außer bei einer konstanten Funktion. Aber das Infimum über alle ist 0. Benutze die Definition des Infimums hierfür.

Zu (2): Schreibe dir mit -Umgebungen hin, was es heißt, dass offen ist.

Zu (3): Was hat mit den zu tun, und wie kann man Borelmengen bilden.

Gruß Tom
youth_hostel Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

also ich weiß nicht genau, wie ich das besser aufschreiben kann bei (1).

Sei beliebig. Dieses gehöre zu einem , derart, dass

für alle mit gilt, dass , also für mit :

(Dreiecksungleichung)

Das heißt das Supremum ist hier .


Jetzt betrachtet man ja das Infimum (über alle positiven Delta) dieser Suprema.
Und für ein ganz kleines Delta ist ja auch das Epsilon, dem das Delta zugeordnet sei, ganz klein, also ist das Supremum in diesem Fall ein ganz kleiner Wert.

Und wenn man sich jetzt vorstellt, dass das Delta immer und immer kleiner gewählt wird, so ist das zugehörige Supremum immer näher bei 0. Also ist das Infimum 0.

Also gilt:


Was meinst Du damit, ich habe nur eine Richtung betrachtet?
Tom92 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die richtige Vorstellung vom Infimum. Aber bei einem Beweis reicht es nicht die richtige Vorstellung zu haben. Man muss es auch ordentlich aufschreiben.

Der Anfang passt ja schon nicht: Entweder ist beliebig, oder es ist aufgrund der Stetigkeit zu gewählt. Und mit Formulierungen wie: "Wenn ich das immer kleiner wähle, dann ist dies und jenes immer näher an etwas anderem" muss man sehr vorsichtig sein.

Die Abschätzungen stimmen (und das Supremum ist zumindest kleiner (nicht unbedingt gleich). Jetzt musst du die Definition von Infimum verwenden (es ist wahrscheinlich länger her, dass du so etwas in einem Beweis verwenden musstest).

D.h. eigentlich musst du andersherum vorgehen: Du willst ja zeigen, dass das Infimum ist. Also schreibst du dir hin, was dafür zu zeigen ist. Damit beginnst du und verwendest dann die Stetigkeit von um zur richtigen Abschätzung zu gelangen. (Bei der Verwendung der Stetigkeit startet man dann mit einem extra gewählten , sodass am Ende alles schön auskommt. Vielleicht oder etwas anderes.)

Du schreibst selber nur eine Richtung hin und fragst mich, wieso ich meine, dass du nur eine Richtung betrachtest??


P.S. an Alle: Ich bin neu hier und kämpfe ein bisschen mit dem Editor (und mit LATEX; bin nach 20 Jahren etwas aus der Übung).

Wie bekomme ich denn Text mit LATEX-Code in ein Zitat kopiert? Es ist so mühsam, immer alles neu zu tippen.

edit von sulo: Die Beiträge zu dieser Frage habe ich dorthin verschoben: Latex-Formeln kopieren
youth_hostel Auf diesen Beitrag antworten »

Das eben ist mein Problem, dass ich nicht genau weiß, wie ich das mit dem Infimum sauber hinschreiben kann. Den Anfang finde ich nicht.

Ich hätte jetzt gedacht, daß ich

zeigen muss, denn ist ja klar.

Also

für beliebiges .

Aber da komm ich nicht weiter, wie ich jetzt die Stetigkeit reinbringe.
youth_hostel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuchs doch nochmal. Big Laugh

Es gilt:

, wobei

für beliebig gewählt ist und das eben zu diesem derart existiert (aufgrund der Stetigkeit von ), dass

, falls


Dann gilt aber:

und da beliebig gewählt war, gilt

 
 
youth_hostel Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, hab drei Mal die Tilde vergessen.
Tom92 Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Infimum

unter "Eigenschaften in Bezug auf eine Epsilon-Umgebung".

Sowas solltest du aber selber suchen.




bedeutet demnach für eine reelwertige Funktion




Ja, du musst für eine Richtung zeigen, dass aus der Stetigkeit von im Punkt folgt, dass ist.

Die Abschätzung, die du dann für hinschreibst ist eine triviale Folgerung aus der Definition von und hilft erstmal nicht weiter.

Und du verwendest immer noch . Was haben die miteinander zu tun. (OK. Du meinst natürlich ! Da hast du mich verwirrt, weil ich an etwas anderes gedacht habe.)

Definiere erstmal das Supremum ordentlich und schreibe dafür . Das spart Schreibarbeit.

Und dann verwende die Definition fürs Infimum.

(Das habe ich vor deinem letzten Beitrag geschrieben, den ich jetzt erstmal lesen muss)
Tom92 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu deinem letzten Beitrag:

Das ist OK.

Versuche beim Aufschreiben eine andere Reihenfolge:

Sei . Dann wählen wir zu ein aufgrund der Stetigkeit von sodass ... usw.

Dann wird es noch klarer.

Und die Definition des Infimums hast du jetzt implizit verwendet. Geht doch.
youth_hostel Auf diesen Beitrag antworten »

Wo verwende ich implizit die Def. des Infimums?

Ja, also diese Notation habe nicht ich mir ausgedacht, sie stammt aus dem Buch "Einführung in die höhere Analysis" von Dirk Werner. Ich dachte bei auch zunächst an die einzelnen Koordinaten von x.


--------------

So, nun habe ich also gezeigt:



Bleibt noch die andere Inklusion, also zu zeigen.

Aber das versuche ich später, vielleicht heute Abend.
Tom92 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hat das Buch einen Fehler oder ist zumindest unsauber in der Definition.

Vergiss das "implizit". Das du die Definition des Infimums verwendest ist offensichtlich. Das erkläre ich jetzt nicht noch genauer.
youth_hostel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mal die andere Inklusion versucht.

Sei also .

Sei beliebig.

Dann habe ich



Da beliebig war, gilt .

Und damit gibt es zu beliebigem ein , s.d.

für .

Und damit ist f in x stetig.



Kann man das so beweisen?


Liebe Grüße
Tom92 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

das klappt so leider nicht.

Zitat:
Dann habe ich



Was soll jetzt hier sein?. Für alle gilt das sicher nicht.

Zitat:
Da beliebig war, gilt .


Dann wäre ja und damit und in einer Umgebung von konstant. Das ist wohl kaum richtig. Du meintest statt .

Du hast wahrscheinlich die richtigen Gedankengänge, aber man muss es auch sauber aufschreiben können. Das mag bei so einfachen Dingen pingelig erscheinen, hilft aber sehr, wenn es später mal schwieriger wird.

Ich würde es so aufschreiben.

Wir zeigen für ein :

Aus folgt: ist in stetig.

Wir definieren

Aus folgt nach der Definition des Infimums



Daraus folgt für alle mit :



Die erste Ungleichung folgt dabei aus der Definition des Supremums. Also ist stetig in . (Hier wiederhole ich nicht nochmal die Definition der Stetigkeit)

Hier folgt ein Schritt auf den nächsten und jeder einzelne Schritt ist nachvollziehbar.

Du startest bei deinem Versuch mit einem und endest mit einem . Und das fällt zwischendurch auch vom Himmel.

Gruß Tom
youth_hostel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: oszillierende Funktion/ Borelmenge
Danke.

Jetzt mal zu (2).

Zeigen soll ich, dass

offen ist.


Das habe ich bis jetzt noch nicht geschafft zu zeigen.


Zeigen muss ich doch, dass es zu jedem eine Epsilon-Umgebung gibt mit .

Das heißt, für die muss gelten, dass und .

Weiter komme ich leider nicht...
youth_hostel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: oszillierende Funktion/ Borelmenge
Kann man als Epsilon nicht einfach dasjenige Delta nehmen, für das sich das Infimum als kleiner als r ergibt?
youth_hostel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich revidiere meine bisherigen Versuche zu Teilaufgabe (2).

....

Ein neuer Versuch!

Betrachte also .

Sei , dann bedeutet das nach Definition des Infimums

(*)

....

Nun sei beliebig gewählt und man bilde die Epsilon-Umgebung um x, also

.

Jetzt ist zu zeigen, dass .

Sei dazu beliebig.

Dann findet man ein , sodass ganz in liegt, nämlich .

Dann gilt

. Und weiter gilt nach (*)

für ein .

Also hat man gezeigt:



und daraus folgt

, also




Und damit ist offen.





Ich warte gespannt auf ein Feedback. Wink
Tom92 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

sehr guter Ansatz, aber es stimmt noch nicht ganz.

Was du am Anfang schreibst ist richtig, aber du verschenkst etwas

Zitat:
Sei , dann bedeutet das nach Definition des Infimums

(*)


Da findest du bei geeigneter Wahl von ein mit . Das hilft dir später mehr. Wie muss man das hierfür wählen? (Und wieso überhaupt ?)

Jetzt schreibst du

Zitat:
Nun sei beliebig gewählt und man bilde die Epsilon-Umgebung um x, also

.

Jetzt ist zu zeigen, dass .


Für ein beliebiges wird das wohl kaum gelten. Du musst im Gegenteil gerade so ein finden (wie du selber früher geschrieben hast).

Daher gilt das auch nicht:

Zitat:
Dann gilt

. Und weiter gilt nach (*)


Du kannst aber mit einem geeignet gewählten und meinem Tipp von ganz oben deinen Beweis retten.

Und: Du schreibst deine Überlegungen schon viel besser auf als am Anfang (auch wenn halt noch Fehler drinstecken).

Gruß Tom
Emsland Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ich bin youth_hostel.

Vielleicht ist die Schreibweise ein bisschen irreführend, weil wir ja jetzt zwei Epsilons haben.

Also ich schreibe es mal so auf:

Sei , also es gilt .

Wenn man wählt, so hat man dann doch meines Erachtens zu diesem ein mit

.

Und jetzt bilde man mit obigem Delta die Umgebung .

Dann hat man meines Erachtens für :

, wobei

.



Edit: Das soll übrigens nicht sein, sondern das ist einfach ein Komma. Augenzwinkern
Tom92 Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut.

Alles richtig.

Ich mache jetzt für heute Schluss.
Emsland Auf diesen Beitrag antworten »

Ich mach auch Schluss für heute.


Vielen lieben Dank!
Emsland Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ist noch (3) zu beweisen, dass nämlich eine Borelmenge ist.

Zunächst habe ich jedoch noch eine Verständnisfrage.
Wieso heißt es in der Aufgabenstellung eigentlich, dass ? Müsste es nicht eigentlich lauten , denn kann doch nicht negativ sein.


Zum Beweis:

wird erzeugt u.a. von

,

d.h. von der Menge aller offenen Teilmengen des .

Alle Mengen sind, wie unter (2) bewiesen, offen und damit in , d.h. Borelmengen.

Es ist , wobei die erste Identität unter (1) bewiesen wurde.

Damit ist auch Borelmenge.
Tom92 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Zitat:
Wieso heißt es in der Aufgabenstellung eigentlich, dass ? Müsste es nicht eigentlich lauten , denn kann doch nicht negativ sein.


Das kommt aufs Gleiche raus. Für ist die Menge halt immer leer und damit auch offen.

Zitat:
Es ist , wobei die erste Identität unter (1) bewiesen wurde.

Damit ist auch Borelmenge.


Ich weiß nicht, was ihr bisher über Borelmengen gezeigt habt, aber ich bin mir ziemlich sicher, dass diese Teilmengenbeziehung zu einer Schar offener Mengen nicht ausreichend ist.

Kennst du die Definition einer -Algebra und weißt du bezüglich welcher Mengenoperationen eine -Algebra abgeschlossen ist?
Welche Mengenoperation bietet sich hier an? Außerdem bin ich mir ziemlich sicher, dass du Gleichheit mit zeigen musst.

Gruß Tom
Emsland Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich habe unserem Skript entnommen, dass u.a. alle offenen Teilmengen des Borelmengen sind.
Da ich gezeigt habe, dass die Mengen offen sind, müssten das also Borelmengen sein.

Eine Borel-Sigma-Algebra ist abgeschlossen unter abzählbaren Vereinigungen von Borelmengen bzw. auch unter abzählbaren Schnitten.

Spontan dachte ich an

,

aber das rechts ist ja keine abzählbare Vereinigung und somit nicht unbedingt eine Borelmenge...

verwirrt

Edit: Oder nimmt man einfach

?

Auch für diesen Schnitt müsste m.E. gelten:

.
Tom92 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Spontan dachte ich an

,

aber das rechts ist ja keine abzählbare Vereinigung und somit nicht unbedingt eine Borelmenge...


Das rechts ist ein nicht abzählbarer Durchschnitt (keine Vereinigung) und deine Folgerung, dass das nicht unbedingt eine Borelmenge sein muss, ist richtig (auch, wenn es hier doch eine ist).

Du bist mit dem abzählbaren Durchschnitt auf dem richtigen Weg:

Zitat:
Edit: Oder nimmt man einfach

?


Aber wieso ? Der Durchschnitt ist doch

Du willst dich doch mit dem Durchschnitt der Menge nähern, also betrachten (sonst erhälst du keine Gleichheit). Was musst du statt nehmen?

Gruß Tom
Emsland Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich dachte an die natürlichen Zahlen, einfach, weil sie abzählbar sind.

Dann , denn für .
Tom92 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee mit der Abzählbarkeit war richtig, aber sie nützt dir natürlich nichts, wenn der Durchschnitt nicht gleich wird.

Mit der neuen Idee lasse ich dich jetzt mal allein Augenzwinkern

Versuche einfach die Gleichheit der Mengen zu zeigen (eine Richtung ist trivial und die andere sehr einfach).
Emsland Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,

also sei , d.h. nach (1).





Sei andererseits .



.

, da

Also insgesamt



und somit ist S als abzählbarer Schnitt von Borelmengen eine Borelmenge.



Viele Grüße aus dem

Emsland
Tom92 Auf diesen Beitrag antworten »

OK.


(Man schreibt )
Emsland Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist die Aufgabe ja jetzt erledigt?
Oder ist noch irgendetwas zu zeigen?
Tom92 Auf diesen Beitrag antworten »

Aus meiner Sicht ist damit alles gezeigt.
Emsland Auf diesen Beitrag antworten »

Aus meiner nämlich auch; ich wollte nur nachgefragt haben, weil ich gerne etwas übersehe.


Ich möchte mich zum Abschluss dieses Threads sehr herzlich bei Dir bedanken für die geduldige und konstruktive Hilfe, dank derer ich sehr viel gelernt habe!

Gott
Tom92 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Hört man gerne. (Zumal ich hier neu bin)
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