Matrixdarstellung bezüglich Basen

Neue Frage »

Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixdarstellung bezüglich Basen
Meine Aufgabe:

Gegeben seien die Basen




und

Sei gegeben durch





Gebe die Matrixdarstellung von bzgl. der Basen und .

Meine Fragen:

Was bedeutet das L(IR^3,IR^3). Etwa eine Lineare Abbildung vom IR^3 -> IR^3 ?

Und wie kann ich die Aufgabe lösen? Ich habe für die Basen explizite Vektoren gegeben. Deshalb wäre es super mir ein Tipp zu geben was ich hier zu tun habe.
Nofeykx Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Zitat:
Was bedeutet das L(IR^3,IR^3). Etwa eine Lineare Abbildung vom IR^3 -> IR^3 ?


ist die Menge der (stetigen) linearen Abbildungen von in sich selbst. Das ist also nicht eine lineare Abbildung, sondern die Menge, in der alle enthalten sind.


heißt also einfach, dass eine stetige lineare Abbildung von in sich selbst ist.


Zur Lösung der Aufgabe:

Wie habt ihr bei euch von bzgl. der Basen und definiert? (ohne dieses Wissen ist es schwierig Tipps zur Aufgabe zu geben)
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi und vielen dank für deine Hilfe.

Hier ist das Skript mit dem jeweiligen Teil bezüglich der Aufgabe.

http://www.iaa.tu-bs.de/vbach/SoSe-2013/...12/IMG00106.jpg

und hier Beispiele (Welche mir jedoch nicht sehr helfen)

http://www.iaa.tu-bs.de/vbach/SoSe-2013/...12/IMG00107.jpg

Ich erkenne zwar das dort mit Linearkombinationen gearbeitet wird, aber viel mehr hilft mit das Skript leider nicht.
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es sein, dass ich einfach jeden einzelnen Vektor aus X gleichsetzen muss mit der Linearkombination von den drei Vektoren von Y ? Die Lösungsmenge sind dann die neun Elemente der gesuchten Matrix ?
Nofeykx Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich versuche, dir erstmal eure Definition zu erklären:

Du hast zwei Vektorräume, und mit Basen und und eine lineare Abbildung von nach . Soweit erstmal zu den Voraussetzungen. Die sollten klar sein.

Nun ist es so, dass eine der Eigenschaften, die eine Basis mit sich bringt, ist, dass sich jeder Vektor des betrachteten Vektorraums auf genau eine Weise als Linearkombination der Basis schreiben lässt.

Du kannst dir also ein beliebiges Element aus nehmen(wir nennen es mal und dann findest du eindeutig bestimmte Elemente aus dem Grundkörper (bei euch ) (beispielsweise ), sodass du dann schreiben kannst als


Das erstmal so lange durchlesen, bist du es verstanden hast. Weiter im Text.

Da jedes Element aus der Basis von natürlich in liegt, kannst du auf jedes Element der Basis von anwenden. Diese Bilder der Basiselemente liegen dann natürlich in . Jetzt erinnern wir uns an das vorige: Es lässt sich also jedes dieser Bilder der Basiselemente als Linearkombination der Basis von schreiben. Nehmen wir mal das erste Basiselement, also .

Du findest nun , sodass . Diese sind nun genau die Elemente, die in der ersten Spalte der Matrix stehen, die bezüglich der betrachteten Basen beschreibt. Das gleiche Prozedere wiederholt für das 2. Basiselement von gibt dir die 2. Spalte und so weiter.

Das sagt im Prinzip deine Definition. Kannst du sie damit verstehen?
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, dass hilft mir wirklich sehr weiter.

Mich würden trotzdem zwei Antworten bzgl. folgender Fragen interessieren.

1) Man berechnet die einzelnen Körper bzw. Elemente der ersten Spalte der Matrix mithilfe



Mich würde nun interessieren, weshalb hier steht und nicht nur (x_1), den man setzt doch nur gleich mit dem Vektor (x_1) wenn ich das richtig verstanden habe bzgl. der ersten Spalte der gesuchten Matrix ?

2) Gegeben seien folgende Vektoren der Basen X und Y

X={x1,x2,x3}={(1,0,1),(0,0,2),(0,3,0)}
Y={y1,y2,y3}={(0,2,2),(1,1,0),(0,0,1)}

Demnach bestimme ich die Elemente der Matrix wie folgt:

1. Spalte) x1=a1*y1+a2*y2+a3*y3, wobei ich das mithilfe Gauß leicht lösen kann. Die Lösungsmenge hiervon ist dann die erste Spalte der Matrixdarstellung.
2. Spalte) x2=a1*y1+a2*y2+a3*y3
3. Spalte ) x3=a1*y1+a2*y2+a3*y3

Wenn das stimmen sollte, würde mich noch interessieren, was ist, wenn ich keine eindeutige Lösung herausbekomme und z.b. a3 beliebig wählen kann. Soll ich dann die Allgemeine Lösung angeben oder eher z.b. a3=1 wählen ?

Mfg Markus1
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Die Sache ist viel einfacher. Basisvektoren von werden durch auf Basisvektoren von abgebildet, sogar in derselben Reihenfolge. Die gesuchte Matrix ist also einfach die Einheitsmatrix. Was natürlich nicht heißt, dass die Identität ist.
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

So einfach ist das für mich nicht. traurig

Sofern mein Post über mir nicht stimmen sollte bzgl. der einzelnen Spaltenberechnung der Matrix würde mich interessieren wo den mein Fehler liegt.

mfg
Nofeykx Auf diesen Beitrag antworten »

Mich würde nun interessieren, weshalb hier steht und nicht nur (x_1), den man setzt doch nur gleich mit dem Vektor (x_1) wenn ich das richtig verstanden habe bzgl. der ersten Spalte der gesuchten Matrix ?

Der Rest deines Posts stimmt nicht, weil du eben nicht einfach nur nimmst, sondern wie ich bereits sagte, . Das hatte schon seine Richtigkeit. Sonst würden doch auch alle darstellenden Matritzen nur von den Basen abhängen und nicht von der Abbildung.

Im Normalfall lässt sich auch garnicht durch die Basis von darstellen, weil ja im Allgemeinen garnicht in liegt. Das ist hier ein Spezialfall.
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, dann denke ich das ich es verstanden habe. Mir bleibt da jedoch noch eine wichtige Wissenslücke.

Was ist hier ? Also die Abbildung in der ich die Vektoren xn einsetzen muss, um überhaupt diese mit der Linearkombination von Y gleichzusetzen. Bisher hatten wir immer welche vorgegeben. Wie z.b. f(x,y,z)=(x+y,z-y,x).Ich hoffe du verstehst was ich meine.
Nofeykx Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal gehe ich nochmal auf deine vorige Frage ein:

Zitat:
Wenn das stimmen sollte, würde mich noch interessieren, was ist, wenn ich keine eindeutige Lösung herausbekomme und z.b. a3 beliebig wählen kann. Soll ich dann die Allgemeine Lösung angeben oder eher z.b. a3=1 wählen ?


Das kann eben nicht passieren, wegen:

Zitat:
Nun ist es so, dass eine der Eigenschaften, die eine Basis mit sich bringt, ist, dass sich jeder Vektor des betrachteten Vektorraums auf genau eine Weise als Linearkombination der Basis schreiben lässt.



Was meinst du mit:

Zitat:
Was ist hier ? Also die Abbildung in der ich die Vektoren xn einsetzen muss, um überhaupt diese mit der Linearkombination von Y gleichzusetzen. Bisher hatten wir immer welche vorgegeben. Wie z.b. f(x,y,z)=(x+y,z-y,x).Ich hoffe du verstehst was ich meine.


? Es geht doch die ganze Zeit um Phi. Phi ist hier kein Mittel zum Zweck, damit du die Linearkombinationen bestimmen kannst, sondern der Kern des Ganzen. Du willst doch die darstellende Matrix von Phi bestimmen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht um eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen und , Dass die Vektorräume hier beidesmal der sind, tut erst mal nichts zur Sache. In diesen Vektorräumen sind Basen definiert, und . Gesucht ist die Darstellung von in den jeweiligen Basen, also in eurer Notation



Jetzt konkret, Das einzige, was du über weißt, sind die Abbildungen



mit Die Matrix



bildet also (geschrieben in der Basis ) auf (geschrieben in der Basis ) ab. Es ergibt sich also



Entsprechend für die anderen Abbildungen. Daraus ergibt sich

RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht ist diese wiki-Seite über Basiswechsel und Matrixdarstellungen hilfreich.
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen dank für die so große Mühe. Da muss ich euch wirklich dankbar sein, dass es so eine Hilfe überhaupt gibt!

So, jetzt sollte ich es aber verstanden haben. Ich war mir etwas irritiert bezüglich der vorgegebenen Abbildung, also worin ich eigentlich die einzelnen Vektoren von X einsetzen soll. Die sind ja aber bereits gegeben, denn es gilt





Und mit

X={x1,x2,x3}={(1,0,1),(0,0,2),(0,3,0)}
Y={y1,y2,y3}={(0,2,2),(1,1,0),(0,0,1)}

bestimme ich die Elemente der Matrix wie folgt:

1. Spalte) (0,2,2)=a1*y1+a2*y2+a3*y3, wobei ich das mithilfe Gauß leicht lösen kann. Die Lösungsmenge hiervon ist dann die erste Spalte der Matrixdarstellung.
2. Spalte) (1,1,0)=a4*y1+a5*y2+a6*y3 Lösungsmenge ist die 2. Spalte der Matrix
3. Spalte ) (0,0,1)=a7*y1+a8*y2+a9*y3 Lösungsmenge ist die 3. Spalte der gesuchten Matrix.

Ist das richtig ?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Schön, dass du dich bedankst. So was kommt leider zu selten vor.

Du klebst in deiner Vorstellung anscheinend immer an der Standardbasis. Ihr sollt aber mit Basiswechsel von nach darstellen und nicht in der Standardbasis.
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Schön, dass du dich bedankst. So was kommt leider zu selten vor.

Du klebst in deiner Vorstellung anscheinend immer an der Standardbasis. Ihr sollt aber mit Basiswechsel von nach darstellen und nicht in der Standardbasis.


Was meinst du den damit? Gegeben ist ja tatsächlich

X={x1,x2,x3}={(1,0,1),(0,0,2),(0,3,0)}
Y={y1,y2,y3}={(0,2,2),(1,1,0),(0,0,1)}

.
Nofeykx Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß auch nicht, was RavenOnJ da meinte. Eigentlich wäre dein Vorgehen richtig (und du kannst es auch so machen).

Hier geht es viel einfacher, aber mach es ruhig einmal so, und schau, was rauskommt. Du wirst dann denke ich verstehen, warum das eigentlich einfacher ginge.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist aber die Darstellung der Basisvektoren in der Standardbasis. Ich möchte mal deinen 1. Post zitieren:

Zitat:
Gebe die Matrixdarstellung von bzgl. der Basen und .


In meiner Notation hieße das:

Gebe die Matrixdarstellung von an bzgl. der Basen und
Nofeykx Auf diesen Beitrag antworten »

@Raven: Eigentlich stimmt das, was er da gemacht hat. Ich glaube du hast dich wohl verguckt smile
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

@Nofeykx
Ich habe ihn gerade zitiert und denke deshalb nicht, dass ich mich verguckt habe.

Falls ihr alte Posts nicht lest, hier nochmals:

Zitat:
Original von RavenOnJ
Das ist aber die Darstellung der Basisvektoren in der Standardbasis. Ich möchte mal deinen 1. Post zitieren:

Zitat:
Gebe die Matrixdarstellung von bzgl. der Basen und .


In meiner Notation hieße das:

Gebe die Matrixdarstellung von an bzgl. der Basen und
Nofeykx Auf diesen Beitrag antworten »

Das meinte ich auch nicht. Ich glaube, du hast dich in dem Post verguckt, in dem er sein weiteres Vorgehen erläuterte:


Ein kleiner Auszug daraus:

Zitat:
(0,2,2)=a1*y1+a2*y2+a3*y3


Da möchte er darstellen als Linearkombination von und dann die zugehörigen Körperelemente in die 1. Spalte schreiben. Das ist genau, was er machen muss.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht doch um die Originalaufgabe, oder liege ich da jetzt falsch? Und in der steht halt, dass er die Matrix in den Basen X und Y angeben soll. Dafür muss man überhaupt keine Beispiele in der Standardbasis rechnen.

Was er da macht, ist nur die Berechnung von in der Standardbasis. Dass das für die Aufgabe gar nicht notwendig ist, hat er (ihr?) glaube ich gar nicht verstanden.
Nofeykx Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du dich schon in einen Thread einmischst, den ich übernommen hatte, dann verwirre den Fragesteller bitte nicht.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verwirre ihn nicht, sondern habe nur etwas richtig gestellt.
Nofeykx Auf diesen Beitrag antworten »

Falls er sich diese Beispielbasis tatsächlich selbst ausgedacht hat, ist das natürlich quatsch. Ich hatte das so verstanden, dass das eine zweite Aufgabe ist.

Er hätte nebenbei trotzdem die Einheitsmatrix herausbekommen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nofeykx
Er hätte nebenbei trotzdem die Einheitsmatrix herausbekommen.


Aber nicht in der Standardbasis.
Nofeykx Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, ob wir hier gerade aneinander vorbeireden.

Was ich meine, ist dass seine Matrix so aussieht(wenn er so vorgeht, wie er es beschreibt):

RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

@Nofeykx
Ich habe das eben nicht so verstanden, dass das eine neue Aufgabe ist, denn er schrieb:

Zitat:
Mich würden trotzdem zwei Antworten bzgl. folgender Fragen interessieren.
1) ....

2) ....


Das sah für mich so aus, dass er da beispielhaft etwas durchrechnen möchte und sich dafür mal zwei Basen in Standarddarstellung ausgedacht hat.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nofeykx
Ich weiß nicht, ob wir hier gerade aneinander vorbeireden.

Was ich meine, ist dass seine Matrix so aussieht(wenn er so vorgeht, wie er es beschreibt):



Aber dafür muss man doch nicht den Umweg über die Standardbasis gehen.
Nofeykx Auf diesen Beitrag antworten »

Falls das stimmt, so ist sein Vorgehen selbstverständlich falsch, aber auch nur aus Prinzip, da ja die betrachteten Basen eben nichts an der Matrix ändern.
Nofeykx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber dafür muss man doch nicht den Umweg über die Standardbasis gehen.


Natürlich nicht! Das finden von umständlichen Lösungen gehört aber nunmal dazu. Ich denke wenn er die Lösung raushat, wird ihm auffallen, dass das sehr umständlich war und eventuell suchen, woran es liegt, dass die Lösung so einfach war.
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

jetzt bin ich etwas verwirrt. Gegeben seien folgende Basen:

X={x1,x2,x3}={(1,0,1),(0,0,2),(0,3,0)}
Y={y1,y2,y3}={(0,2,2),(1,1,0),(0,0,1)}

Die Aufgabe dazu steht im ersten Post.

Die Elemente der gesuchten Matrix kann ich dann wie folgt berechnen

bestimme ich die Elemente der Matrix wie folgt:

1. Spalte) (0,2,2)=a1*y1+a2*y2+a3*y3, wobei ich das mithilfe Gauß leicht lösen kann. Die Lösungsmenge hiervon ist dann die erste Spalte der Matrixdarstellung.
2. Spalte) (1,1,0)=a4*y1+a5*y2+a6*y3 Lösungsmenge ist die 2. Spalte der Matrix
3. Spalte ) (0,0,1)=a7*y1+a8*y2+a9*y3 Lösungsmenge ist die 3. Spalte der gesuchten Matrix.

Ist das nun falsch ?

mfg
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Die Basen ändern nichts an der Abbildung, an der Matrix aber schon.
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Die Basen ändern nichts an der Abbildung, an der Matrix aber schon.


Ich denke ich verstehe das, aber was hat das mit meinem Lösungsvorschlag zu tun? Bitte nicht böse sein wenn ich etwas verwirrt bin, wir haben Bild, Kern, Dimension und ebend Matrizendarstellungen erst neu eingeführt. verwirrt
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixdarstellung bezüglich Basen
In deinem ersten Post steht folgendes:

Zitat:
Original von Martin1
Meine Aufgabe:

Gegeben seien die Basen




und

Sei gegeben durch




Gebe die Matrixdarstellung von bzgl. der Basen und .



Das ist doch richtig, oder? Wie die Basisvektoren genau in der Standardbasis aussehen, ist dabei unerheblich und du gibst es auch nicht an.
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist genau so richtig. So lautet die Aufgabe. Wo steckt den mein Fehler ? Was haben eigentlich die Standardbasen hiermit zutun?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das Folgende nun eine zweite Aufgabe? Sollst du auch noch in der Standardbasis berechnen?

Zitat:
Original von Martin1
Gegeben seien folgende Basen:

X={x1,x2,x3}={(1,0,1),(0,0,2),(0,3,0)}
Y={y1,y2,y3}={(0,2,2),(1,1,0),(0,0,1)}

Die Aufgabe dazu steht im ersten Post.

Die Elemente der gesuchten Matrix kann ich dann wie folgt berechnen

bestimme ich die Elemente der Matrix wie folgt:

1. Spalte) (0,2,2)=a1*y1+a2*y2+a3*y3, wobei ich das mithilfe Gauß leicht lösen kann. Die Lösungsmenge hiervon ist dann die erste Spalte der Matrixdarstellung.
2. Spalte) (1,1,0)=a4*y1+a5*y2+a6*y3 Lösungsmenge ist die 2. Spalte der Matrix
3. Spalte ) (0,0,1)=a7*y1+a8*y2+a9*y3 Lösungsmenge ist die 3. Spalte der gesuchten Matrix.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Martin1
Ja das ist genau so richtig. So lautet die Aufgabe. Wo steckt den mein Fehler ? Was haben eigentlich die Standardbasen hiermit zutun?


Ja, das frage ich mich auch die ganze Zeit. Du hast Darstellungen der Basisvektoren von und in der Standardbasis reingebracht, obwohl das für die Lösung der Aufgabe aus Post Nr. 1 unerheblich wäre.
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Die nächste Teilaufgabe 3, da müsste ich die Bilder von phi(e1),phi(e2) und phi(e3) } bestimmen und die Matrixdarstellung M(phi) von phi bzgl. der Standardbasis E3={e1,e2,e3} angeben.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du denn verstanden, dass die Lösung der 1. Aufgabe einfach die Einheitsmatrix ist und warum das so ist?
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »