Basis für Vektorräume angeben

16.06.2013, 18:21

Eyelow

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Basis für Vektorräume angeben

Hallo,

ich komme bei folgender Aufgabenstellung nicht weiter.
Ich weiß, wie man übeprüfen kann, ob eine gegebene Menge eine Basis ist oder nicht,
aber wenn es drauf ankommt, selber eine Basis anzugeben, komm ich nicht weiter.

Aufgabenstellung:
"Geben Sie für die folgenden Vektorräume V jeweils eine Basis an, die den gegebenen Vektor v1 enthält."

a) $\begin{eqnarray*} V = R^{4} , v_{1}=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich schaue, ob eine Menge von Vektoren eine Basis ist, muss ich prüfen, ob diese Menge ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist.
Dann könnte ich doch jetzt ein lin. unabh. EZS suchen und dann wäre die Menge eine Basis.

Meine Frage dazu:
-Ich muss 3 weitere Vektoren finden die dann gemeinsam mit dem geg. Vektor v1 ein lin. unabh. EZS bilden, stimmts?
-Wenn ja, dann komme ich beim 3. Vektor (v4) nicht weiter, weil ich hier im Forum gelesen hab, dass ich den 3. aus den ersten beiden bilden muss. Aber sind die dann nicht lin. abh.? Oder verwechsle ich da etwas?
-Gibts da sonst bestimmte Schritte die man machen kann bei diesen Aufgaben?

Meine (selbst gebildeten) Vektoren:
$\begin{eqnarray*} v_{2}=\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}<br /> <br /> v_{3}=\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}<br /> <br /> v_{4}= ? \end{eqnarray*}$

Ich hoffe jemand kann Licht ins Dunkel bringen smile

smile

16.06.2013, 19:16

Helferlein

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Du machst Dir die Sache unnötig kompliziert. Schau Dir an, welche Vektoren der Standardbasis bei deinem ersten Vektor verwendet wurden, dann siehst Du auch, welche noch fehlen.
Da bei diesen die lineare Unabhängigkeit am einfachsten nachzuweisen (wenn nicht gar offensichtlich) ist, würde ich mir nicht kompliziert irgendwelche anderen Vektoren suchen.

16.06.2013, 23:50

Eyelow

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Danke erstmal für die Antwort.

Ich weiß nur nicht ganz wie du das meinst. Du meinst ich soll die übrigen Einheitsvektoren angeben?
Wenn ja, dann gibts doch bei unserem Bsp. max 4 versch. solcher Einheitsvektoren.

Stimmt das wenn ich sage, dass bei meinem ersten Vektor die Standardbasen (1;0;0;0) und (0;0;1;0) verwendet wurden. Falls das nicht stimmt, dass hab ich deinen Tipp nicht verstanden unglücklich

unglücklich

MfG

17.06.2013, 07:05

Helferlein

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Ja, die beiden wurden verwendet.
Du kannst also einen der beiden ersetzen und schon hast Du eine gewünschte Basis.

17.06.2013, 13:35

Eyelow

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Also ich gebe einen der beiden an und den anderen ersetze ich durch was?
Für mich ist es leider nicht selbstverständlich, daher hoffe ich, dass dir die Frage nicht doof vorkommt smile

smile

Und es steht ja V=R^4, wieviele Vektoren inkl v1 müssen nun in dieser Menge sein, die eine Basis sein soll?

MfG

17.06.2013, 22:59

Helferlein

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Zitat:

Original von Eyelow
Also ich gebe einen der beiden an und den anderen ersetze ich durch was?

Na durch den vorgegebenen Vektor. Der muss ja den "fehlenden" Einheitsvektor ersetzen.

Zitat:

... wieviele Vektoren inkl v1 müssen nun in dieser Menge sein, die eine Basis sein soll?

Den Begriff der Dimension eines Vektorraums hattest Du noch nicht, obwohl ihr Euch über Basen unterhaltet?

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18.06.2013, 10:40

Eyelow

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Doch, aber ich möchte sichergehen.

Die Dimension hier müsste doch 4 sein (weil r^4) steht?
D.h es gibt maximal 4 linear unabhängige Vektoren. Ist das richtig? Oder verändert der geg. Vektor etwas an der Dim?

Und du meinst jetzt, dasses reicht, den gegeben Vektor zu nehmen und den fehlenden Einheitsvektor (also insgesamt stehen 2 Vektoren) und schon hätte ich eine Basis?
Zum Beispiel so?:

$\begin{eqnarray*} E = \left\{ \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

18.06.2013, 17:40

Helferlein

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Irgendwie läuft's gerade etwas schief: Du hast richtig gesagt, dass die Dimension vier ist, gibst aber einen Basis an, die nur aus zwei Vektoren besteht? Oder was soll deine Menge E sein?

18.06.2013, 19:23

Eyelow

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"Du kannst also einen der beiden ersetzen und schon hast Du eine Basis"

Ich hab deinen Satz so verstanden, dass ich den gegebenen Vektor und den einen Einheitsvektor angeben soll als Basis.
Deshalb hab ich ja nochmal im letzten Post gefragt, ob du das so meinst smile

smile

Und ja, E sollte die Basis sein.

Also kommt jetzt in die Menge noch was rein? Das, was in E steht und dann noch die Vektoren (0;0;0;1) und (0;0;1;0)
(= 4 Vektoren zusammen) ?

18.06.2013, 21:10

Helferlein

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Ja, das wäre eine mögliche Basis.

19.06.2013, 16:52

Eyelow

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Ja super, danke erstmal für die Hilfe. smile

smile

Falls ich weitere Fragen zum Thema Basis habe, werde ich sie hier posten.
MfG

29.06.2013, 14:14

Eyelow

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Ich stehe wieder vor diesem Aufgabentyp, diesmal hab ich garkeine Idee.
Ich möchte noch erwähnen dass diese Aufgabe für mich als Klausurvorbereitung dient, also eine Erklärung für Dummies würde ich herzlich begrüßen smile

smile

Sprich, wie sollte ich vorgehen?

"Gegeben sei der Vektorraum
$\begin{eqnarray*} V = \left\{\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} \in R^{3} : x_{1} = x_{2} + x_{3}, 3x_{3} = 3x_{1} - 3x_{2} \right\} \end{eqnarray*}$

Geben Sie eine Basis von V an."

Wie (damals) im ersten Post erwähnt, kann ich die Methode zur Überprüfung, ob eine gegebene Menge an Vektoren eine Basis ist, durchführen. Aber wenn da steht "Geben Sie eine Basis an" -> Blackout.

MfG

29.06.2013, 14:33

Leopold

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Du mußt nur das homogene lineare Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} x_1 - x_2 - x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x_1 - 3x_2 - 3x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

lösen. Die Vereinfachung sieht man mit einem Blick. Beschreibe die Lösungsmenge in der Form $\begin{eqnarray*} \lambda a + \mu b + \ldots \end{eqnarray*}$ mit Parametern $\begin{eqnarray*} \lambda,\mu,\ldots \end{eqnarray*}$ Die Vektoren $\begin{eqnarray*} a,b,\ldots \end{eqnarray*}$ bilden dann ein Erzeugendensystem, wenn sie linear unabhängig sind, also eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .

29.06.2013, 15:57

Eyelow

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Also als Lösungsvektor bekomme ich (s+t; s; t), da ich ja zwei Parameter einführen muss wegen n- r(A) = 2.
Stimmt's?

Und den Rest verstehe ich nicht ganz :/

Bilde ich jetzt einfach noch einen Vektor (außer den Nullvektor) und gebe ihn sowie den von oben als Basis an?

29.06.2013, 16:01

Leopold

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Die Rechnung stimmt schon mal. Jetzt trenne das nach $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ - und $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ -Bestandteilen: $\begin{eqnarray*} s \cdot a + t \cdot b \end{eqnarray*}$ mit konstanten Vektoren $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ . Und schon hast du deine Basis.

29.06.2013, 16:14

Eyelow

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So?

$\begin{eqnarray*} Lhomogen = \left\{ x \in R^{3}: x= s\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s,t \in R \right\} \end{eqnarray*}$

Und Basisvektoren sind dann s(.....) und t(.....) oder nur die Vektoren ohne s und t davor?
Ich würde sagen mit den Parametern, stimmt's?

29.06.2013, 16:25

Leopold

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Die Rechnung stimmt, deine Interpretation ist jedoch diffus.

Für Vektoren $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ und Skalare $\begin{eqnarray*} s,t \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} sa + tb \end{eqnarray*}$ das, was man als Linearkombination der Vektoren $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ bezeichnet. Damit hast du gezeigt, daß alle Elemente von $\begin{eqnarray*} L_{\text{homogen}} \end{eqnarray*}$ , was ja gerade unser $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist, sich als Linearkombination der Vektoren $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ schreiben lassen. Das bedeutet doch, daß die Vektoren $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ bilden. Wann ist ein solches eine Basis?

29.06.2013, 18:00

Eyelow

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Wenn das Erzeugendensystem linear unabhängig ist.

Du willst also sagen, dass ich die Frage schon beantwortet habe, in dem ich Lhomogen angegeben habe? Big Laugh

Big Laugh

29.06.2013, 18:06

Leopold

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Zitat:

Original von Eyelow
Du willst also sagen, dass ich die Frage schon beantwortet habe, in dem ich Lhomogen angegeben habe? Big Laugh

Big Laugh

Ja. Sofern du die (offensichtliche) lineare Unabhängigkeit der Vektoren noch feststellst.

29.06.2013, 18:11

Eyelow

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Wenn es für mich nicht offensichtlich ist, schreibe ich die Vektoren in eine Matrix und gucke, wie der Rang ist.
Hier ist er 2 = Anzahl der Spalten, also liegt lineare Unabhängigkeit vor. Stimmt's so?

29.06.2013, 18:14

Leopold

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Stimmt. Ist mir aber zu formal gedacht.
Warum sagst du nicht einfach: Offensichtlich ist keiner der beiden Vektoren ein Vielfaches des andern. Fertig.
Bei zwei Vektoren ist das doch gerade das Kennzeichen der linearen Unabhängigkeit.

29.06.2013, 18:32

Eyelow

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Okay danke. Dann werde ich mir das fürs nächste Mal merken. Ist auch viel schneller als meine Methode. Freude

Freude

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