Mü und Sigma

18.06.2013, 09:20

Furiusxx

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Mü und Sigma

Meine Frage:
Es geht um Getränkeflasche welche maschinell in 1 Liter Flaschen abgefüllt werden. Es gilt P(X < 0,97) = 0,04 und P(X > 1,03) = 0,03.

X bestitzt eine N( $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ) Verteilung.

Berechne
$\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Hatte die Idee das in die Standardnormalverteilung zu bringen, indem ich

(X- $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ )/ $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ .

Dann wähle ich für mü = 1 da wir 1 Liter Flaschen haben, und setzte ein um Sigma zu erhalten.
Kriege dann allerdings 2 verschiedene sigma raus für P(X<0,97)= 0,04
und P(X<1,03)=0,03.

18.06.2013, 09:26

Steffen Bühler

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RE: Mü und Sigma

Zitat:

Original von Furiusxx
Dann wähle ich für mü = 1 da wir 1 Liter Flaschen haben

Da bist Du über eine "stillschweigende Annahme" gestolpert, die uns ja allen das Leben erschweren.

Nur weil es 1-Liter-Flaschen sind, heißt das noch lange nicht, dass der Mittelwert 1 Liter ist.

Nutze die Symmetrie der Normalverteilung aus.

Viele Grüße
Steffen

18.06.2013, 13:09

Furiusxx

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Jaa bin sonst auf keine andere Möglichkeit gekommen als $\begin{eqnarray*} /mu \end{eqnarray*}$ = 1 zu setzen.

Wie meinst du das mit der Symmetrie? Big Laugh

Big Laugh

18.06.2013, 13:20

Steffen Bühler

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Kannst Du aus dieser Tabelle die beiden Zahlen ablesen, die den genannten Wahrscheinlichkeiten 0,03 und 0,04 entsprechen?

18.06.2013, 14:36

Furiusxx

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Nee für 0,03 eben muss ich das umstellen, dass P(X< 1,03)=097.

aber damit komm ich ja nicht weiter das hatte ich oben zwar fälschlicherweise mit $\begin{eqnarray*} /mu \end{eqnarray*}$ = 1 probiert das hat aber nicht geklappt.

18.06.2013, 14:45

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Furiusxx
P(X< 1,03)=097.

Richtig, falls Du 0,97 meinst. Und aus der Tabelle kannst Du nun das entsprechende z ablesen.

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18.06.2013, 14:55

Furiusxx

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Und wie bestimme ich damit mü und sigma? Dann habe ich 2 Gleichungen mit jeweils 2 Unbekannten oder?

$\begin{eqnarray*} \frac{0,04- \mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$ = 0,83398

$\begin{eqnarray*} \frac{0,03- \mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$ = 0,84849

das wären die dann oder?

18.06.2013, 15:02

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Furiusxx
Und wie bestimme ich damit mü und sigma? Dann habe ich 2 Gleichungen mit jeweils 2 Unbekannten oder?

Ja, allerdings nicht die von Dir genannten.

Es gilt ja

$\begin{eqnarray*} z = \frac {x- \mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$

Das ergibt Deine zwei Gleichungen.

Welche beiden z hast Du aus der Tabelle für 0,04 und 0,03?

18.06.2013, 15:04

Furiusxx

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Nein für 1,03 und 0,97^^

18.06.2013, 15:14

Steffen Bühler

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Das sind die x-Werte. Du brauchst aber die z-Werte für diese beiden x-Werte! Und die bekommst Du über die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten 0,03 und 0,04.

Die Tabelle zeigt ja die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert in $\begin{eqnarray*} ( - \infty ; \mu + z \cdot \sigma ) \end{eqnarray*}$ liegt. Die Aussage, dass diese Wahrscheinlichkeit 0,04 für x<0,97 ist, ergibt für z einen bestimmten Wert. Welchen?

18.06.2013, 15:49

Furiusxx

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Komme auf ein
$\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ = 0,587879

$\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ = 1,886318

Ergibt das Sinn?

18.06.2013, 16:00

Steffen Bühler

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Nein, der Mittelwert sollte schon etwa bei 1 Liter liegen, sonst würde ich dieses Produkt nicht kaufen. Und solch eine Schwankung würde dem Qualitätsmanager auch Bauchweh bereiten.

Noch einmal:

Vier Prozent der Produktion enthalten weniger als 0,97 Liter. Wieviele Standardabweichungen ist dieser Wert vom Mittelwert entfernt?

Drei Prozent der Produktion enthalten mehr als 1,03 Liter. Wieviele Standardabweichungen ist dieser Wert vom Mittelwert entfernt?

Genau das sagt dir nämlich die Tabelle.

18.06.2013, 16:14

Furiusxx

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Dafür muss ich doch aus der Tabelle ablesen:
P(X < 1,03) = 0,97

P(X < 0,97) = 0,04

Die ergibt dann $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ (0,04)
$\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ (0,97) oder?

18.06.2013, 16:26

Steffen Bühler

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Nein, umgekehrt: in der Tabelle stehen die Phi-Werte, die Du hast. Zu denen gehört ein z-Wert, den Du außen ablesen kannst. Und der sagt Dir eben jeweils, wieviel (unbekannte) Standardabweichungen der betreffende x-Wert vom (unbekannten) Mittelwert abweicht.

Schau, es geht doch um die Fläche unter dieser Funktion:

Die gesamte Fläche von minus unendlich bis plus unendlich ist Eins, also ist sie von minus unendlich bis Null die Hälfte, also 0,5. Das ist auch der Wert in der Tabelle. Jetzt brauchst Du aber nicht 0,5, sondern 0,97...

18.06.2013, 16:32

Furiusxx

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Naja $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ (1,89) = 0,97062 was aber relativ ungenau ist..
Aber was ist dann $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ (z)= 0,04?!

18.06.2013, 16:39

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Furiusxx
Naja $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ (1,89) = 0,97062 was aber relativ ungenau ist.

Aber für unsere Zwecke völlig ausreichend. Richtig!

Zitat:

Original von Furiusxx
Aber was ist dann $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ (z)= 0,04?!

Hier hilft die Symmetrie der Kurve: Phi(-z) = 1-Phi(z).

18.06.2013, 16:56

Furiusxx

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Ahh ich habs jetzt raus vielen, vielen Dank!!

hab ein $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ = 0,0164
und ein $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ = 0,998932
raus was auch Sinn macht denke ich weil $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ja angibt wie "breit" die Funktion ist.

Hab für $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ (x)=0,04 raus, das $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ (-1,76)=1- $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ (1,76)=1-0,96=0,04 richtig ist, dies dann eingesetzt dann stimmt es :P

18.06.2013, 16:56

Steffen Bühler

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Na, gratuliere!

Viele Grüße
Steffen

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