unbestimmtes Integral ausrechnen

18.06.2013, 10:09

Theend9219

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unbestimmtes Integral ausrechnen

Hallo,
Ich soll folgendes unbestimmtes Integral bestimmen (wobei $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x}{x^{3}+1}dx \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich vor? Die Stammfunktion bereitet mir schon Schwierigkeiten. lg

18.06.2013, 10:17

Mulder

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RE: unbestimmtes Integral ausrechnen

Zitat:

Original von Theend9219
(wobei $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ )

Die tauchen in deinem Integral aber nirgends auf. verwirrt

verwirrt

Jedenfalls: Der Startschuss ist hier Partialbruchzerlegung.

18.06.2013, 10:25

Theend9219

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RE: unbestimmtes Integral ausrechnen
Entschuldigung .. Ich habe die Aufgabenstellung so übernommen, es gab noch mehr unbestimmte Integrale zu berechen, in denen diese Variablen auftauchen.

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{(1+x) \cdot (1-x+x^2)} = \frac{A}{1+x}+\frac{B}{1-x+x^2} \end{eqnarray*}$

so?

18.06.2013, 10:29

Theend9219

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RE: unbestimmtes Integral ausrechnen
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{(1+x) \cdot (1-x+x^2)} = \frac{A}{1+x}+\frac{B}{1-x+x^2} <br /> <br /> =\frac{A}{1+x}\cdot (1+x) \cdot (1-x+x^2) +\frac{B}{1-x+x^2}\cdot (1+x) \cdot (1-x+x^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = A \cdot (1-x+x^{2}) +B (1+x) \end{eqnarray*}$

Und mit dem Koeffizientenvergleich komm ich jetzt irgendwie nicht zurecht.

18.06.2013, 10:53

Mulder

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RE: unbestimmtes Integral ausrechnen
Du hast auch einen falschen Ansatz. Beachte, dass der Nenner nicht in Linearfaktoren zerfällt. Es gibt komplexe Nullstellen. Dein Ansatz ist dann entsprechend anzupassen. Du kannst ja mal einen Blick auf diesen Workshop werfen, da wird auch dieser Fall näher erläutert.

Edit: Vermeide der Lesbarkeit halber bitte diese ganz langen Zeilen in latex. Lieber mal einen Zeilenumbruch einfügen.

18.06.2013, 14:35

Theend9219

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RE: unbestimmtes Integral ausrechnen
Huhu, danke für deinen Post,
ich habe es doch aber genau gemacht wie dort im Punkt 3.1 ...

Entschuldigung Zeilenumbruch nachgeholt

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18.06.2013, 18:34

Mulder

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RE: unbestimmtes Integral ausrechnen
Wie gesagt: Falscher Ansatz.

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{(1+x) \cdot (1-x+x^2)} = \frac{A}{1+x}+\frac{Bx+C}{1-x+x^2} \end{eqnarray*}$

Weiter geht's.

18.06.2013, 18:43

Che Netzer

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RE: unbestimmtes Integral ausrechnen
Kurzer Einschub:

Die Formel aus dem Beitrag von 10:29 lässt sich wunderbar mit der la-/latexa-Umgebung darstellen:
$\begin{align*} \frac{x}{(1+x) \cdot (1-x+x^2)} &= \frac{A}{1+x}+\frac{B}{1-x+x^2}\\&=\frac{A}{1+x}\cdot (1+x) \cdot (1-x+x^2) +\frac{B}{1-x+x^2}\cdot (1+x) \cdot (1-x+x^2) \\ &= A \cdot (1-x+x^{2}) +B (1+x) \end{align*}$

18.06.2013, 21:04

Theend9219

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RE: unbestimmtes Integral ausrechnen

Zitat:

Original von Mulder
Wie gesagt: Falscher Ansatz.

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{(1+x) \cdot (1-x+x^2)} = \frac{A}{1+x}+\frac{Bx+C}{1-x+x^2} \end{eqnarray*}$

Weiter geht's.

Dankeschöön Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{(1+x) \cdot (1-x+x^2)} = \frac{A}{1+x}+\frac{Bx+C}{1-x+x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{A}{1+x} \cdot (1+x) \cdot (1-x+x^2) + \frac{Bx+C}{1-x+x^2} \cdot (1+x) \cdot (1-x+x^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = A \dot (1-x+x^{2}) + Bx+C \cdot (1+x) \end{eqnarray*}$

Und jetzt hänge ich schöön am Koeffizientenvergleich fest ...

LG

18.06.2013, 21:05

Theend9219

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RE: unbestimmtes Integral ausrechnen
@Che : HEY! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielen Dank aber leider hat mir google zu la-/latexa keine Ergebnisse die brauchbar sind geliefert ... Kannst du es mir vielleicht erklären wie du das hinbekommen hast. Ich weiß nur da gibt es irgendwie was mit einer Aligne Umgebung.

18.06.2013, 21:13

Mulder

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RE: unbestimmtes Integral ausrechnen
Wo hängst du fest?

Bestimme halte passende A,B,C, so dass

$\begin{eqnarray*} A (1-x+x^{2}) + (Bx+C) (1+x) = x \end{eqnarray*}$

erfüllt ist. Das führt auf ein einfaches Gleichungssystem, das du lösen musst.

Denk dir das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ rechts einfach als $\begin{eqnarray*} 0x^2+1x+0 \end{eqnarray*}$ , wenn dir das weiter hilft...

18.06.2013, 21:33

Theend9219

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RE: unbestimmtes Integral ausrechnen
$\begin{eqnarray*} A (1-x+x^{2}) + (Bx+C) (1+x) = 0x^{2}+1x+0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(1-x)+Ax^{2}+Bx^{2}+C+ x(B+c)= 0x^{2}+1x+0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A-Ax+x^{2}(A+B) +C+Bx+Cx=0x^{2}+1x+0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2}(A+B)+x(B+C-A)+C+A = 0x^{2}+1x+0 \end{eqnarray*}$

dann mach ich mal den Vergleich für $\begin{eqnarray*} x^{2},x^{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^{0} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x^{2} : 0 =A+B \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} x^{1} : 1 = B+C-A \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} x^{0} : 0 = C+A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A= -\frac{1}{3}, B =C=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
Das sind meine Lösungen für das GLS... so richtig?

18.06.2013, 21:55

Theend9219

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RE: unbestimmtes Integral ausrechnen
Und dann als Resultat:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x^{3}+1} = \frac{-\frac{1}{3}}{1+x}+\frac{\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}}{1-x+x^{2}} \end{eqnarray*}$

so?

18.06.2013, 22:06

Mulder

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RE: unbestimmtes Integral ausrechnen
Dürfte hinhauen. Genau nachgerechnet habe ich das Gemüse nun nicht, aber zur Not kannst du ja auch einfach eine Probe machen, also wieder "rückwärts" rechnen und schauen, ob es passt.

Und nun halt noch die beiden Brüche integrieren.

18.06.2013, 22:24

Theend9219

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RE: unbestimmtes Integral ausrechnen

Zitat:

Original von Theend9219

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x^{3}+1} = \frac{-\frac{1}{3}}{1+x}+\frac{\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}}{1-x+x^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x^{3}+1} = \int \frac{-\frac{1}{3}}{1+x}+\frac{\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}}{1-x+x^{2}} dx= -\frac{1}{3} ln (1+x) \end{eqnarray*}$ +zweiter Teil ..

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} ln (1+x) \end{eqnarray*}$ weil $\begin{eqnarray*} \frac{-\frac{1}{3}}{1+x} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1+x} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das übrigends wie du sagtest ausrechne, erhalte ich rechts das gleiche wie links vom Gleichheitszeichen steht.

Den zweiten Integrand bekomme ich leider nicht bestimmt =(

LG

18.06.2013, 22:53

Mulder

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RE: unbestimmtes Integral ausrechnen
Teile den Bruch geeignet auf. So, dass beim ersten Bruch logarithmische Integration greift (im Zähler also die Ableitung des Nenners steht). Beim zweiten führst du das nach einer quadratischen Ergänzung auf ein dir bestimmt bekanntes Grundintegral zurück.

Edit: Und "Integrand" bitte. Das liest sich dann etwas netter.

19.06.2013, 09:06

Theend9219

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RE: unbestimmtes Integral ausrechnen
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x^{2}+1} = \int \frac{-\frac{1}{3}}{1+x}+\frac{\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}}{1-x+x^{2}}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$
Also das

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}}{1-x+x^{2}} \end{eqnarray*}$

lässt sich ja umschreiben als :

$\begin{eqnarray*} \frac{1+x}{3+x(-3+3x)} = \frac{1}{3+x(-3+3x)} + \frac{x}{3+x(-3+3x)} \end{eqnarray*}$

Und das Integral davon ist wieder so schwer....

LG

19.06.2013, 09:18

Mulder

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RE: unbestimmtes Integral ausrechnen
Also diese Klammer, die du da jetzt im Nenner eingebaut hast, ist eher kontraproduktiv. Und meinen letzten Ratschlag hast du jetzt auch irgendwie nicht so wirklich verfolgt. verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}}{1-x+x^{2}} = \frac{1}{6} \, \frac{2x+2}{1-x+x^{2}} = \frac{1}{6} \, \frac{2x-1+3}{1-x+x^{2}} = \frac{1}{6} \left ( \frac{2x-1}{1-x+x^{2}} + \frac{3}{1-x+x^2} \right ) \end{eqnarray*}$

Den ersten Bruch kann man nun doch leicht erledigen. Und für den zweiten wie gesagt: Quadratische Ergänzung durchführen!

20.06.2013, 13:02

Theend9219

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RE: unbestimmtes Integral ausrechnen
[quote]Original von Mulder

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}}{1-x+x^{2}} = \frac{1}{6} \, \frac{2x+2}{1-x+x^{2}} = \frac{1}{6} \, \frac{2x-1+3}{1-x+x^{2}} = \frac{1}{6} \left ( \frac{2x-1}{1-x+x^{2}} + \frac{3}{1-x+x^2} \right ) \end{eqnarray*}$

quote]

Okay .. dann mache ich erst mal $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{6} \left ( \frac{2x-1}{1-x+x^{2}} + \frac{3}{1-x+x^2} \right ) dx \end{eqnarray*}$
Die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ kann ich als als Konstante vor das Integral schreiben:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \int \left ( \frac{2x-1}{1-x+x^{2}} + \frac{3}{1-x+x^2} \right ) dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1-x+x^{2}} dx + \frac{1}{6} \int \frac{-1+2x}{1-x+x^{2}} dx \end{eqnarray*}$
Nun $\begin{eqnarray*} \frac{-1+2x}{1-x+x^{2}} \end{eqnarray*}$ substituieren:

$\begin{eqnarray*} u= 1-x+x^{2} \end{eqnarray*}$ und davon die Ableitung ist offenbar: $\begin{eqnarray*} (-1+2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{6} \int \frac{1}{u} du + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1-x+x^{2}} dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\frac{3}{4} +(- \frac{1}{2} +x)^{2}} dx + \frac{1}{6} \int \frac{1}{u} du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\frac{3}{4} +s^{2}} ds + \frac{1}{6} \int \frac{1}{u} du \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2} \int \frac{4}{3(1+\frac{4s^{2}}{3})} ds + \frac{1}{6} \int \frac{1}{u} du \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{3} \int \frac{1}{1+\frac{4s^{2}}{3}} ds + \frac{1}{6} \int \frac{1}{u} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{1}{1+p^{2}} dp + \frac{1}{6} \int \frac{1}{u} du \end{eqnarray*}$
Der Integrand von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+p^{2}} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} arctan(p): \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{arctan(p)}{\sqrt{3}} + \frac{1}{6} \int \frac{1}{u} du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{arctan(p)}{\sqrt{3}} + \frac{log(u)}{6} + c_{1} \end{eqnarray*}$

Jetzt Rücksubstituieren von $\begin{eqnarray*} p = \frac{2s}{\sqrt{3}} + c_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{arctan(\frac{2s}{\sqrt{3})}}{\sqrt{3}} + \frac{log(u)}{6} + c_{1} \end{eqnarray*}$

Rücksubstituieren von $\begin{eqnarray*} s= - \frac{1}{2} + x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{arctan(\frac{-1+2x}{\sqrt{3})}}{\sqrt{3}} + \frac{1}{6} log(1-x+x^{2}) + c_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{6} (2\sqrt{3} arctan(\frac{-1+2x}{\sqrt{3}}+log(1-x+x^{2})) + c_{1} \end{eqnarray*}$

so??

20.06.2013, 13:11

Mulder

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Ja, passt.

20.06.2013, 13:17

Theend9219

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Und dazu addiere ich dann jetzt einfach den Integranden von
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{-1}{3}}{1+x} = \frac{-1}{3+3x} = \frac{-1}{3(x+1)} \end{eqnarray*}$ und davon die Stammfunktion ist :

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} log(x+1) + c_{2} \end{eqnarray*}$

so?

20.06.2013, 13:19

Mulder

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Ja sicher.

Eine Integrationskonstante reicht dann aber alles in allem. Man braucht ja nicht gleich zwei davon im Gesamtergebnis.

20.06.2013, 13:29

Theend9219

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Okay danke .. Dann nenn ich sie groß C

Vielen Dank

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