Wahrscheinlichkeitsdichte

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RahnSchießt Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeitsdichte
Meine Frage:
Guten Abend,

Seien X, Y unabhängige und auf (0,1) gleichverteilte Zufallsvariablen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte von |X-Y|.

Meine Ideen:
Wir haben den Tipp "Faltung" bekommen, damit würde ich aber die Wahrscheinlichkeitsdichte von X+Y bestimmen. Ich weiß ja nicht, ob X und (-Y) auch noch unabhägig sind.

Kommt jemand von euch damit klar? Wäre klasse.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RahnSchießt
Ich weiß ja nicht, ob X und (-Y) auch noch unabhängig sind.

Das sind sie: Aus " unabhängig" kann direkt auf " unabhängig" für beliebige (!) messbare Funktionen geschlossen werden. Augenzwinkern
RahnSchießt Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort.

Meinst du mit die Wahrscheinlichkeitsdichten von X und Y?

Was messbar ist weiß ich leider nicht. Unsere Prof hat am Anfang gesagt, dass wir nur eine "halbe" Stochastikvorelsung machen, weil die Maßtheorie so weit es geht ausgeklammert wird.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RahnSchießt
Meinst du mit die Wahrscheinlichkeitsdichten von X und Y?

Nein, ich habe deutlich (!) ausgeführt, was ich mit meine. Forum Kloppe

In deinem Fall simpel die Wahl von .
RahnSchießt Auf diesen Beitrag antworten »

ah ja Freude danke.

Gut dann sieht die Wahrscheinlichkeitsdichte von X-Y so aus:



Ist das richtig!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist schwer im Irrtum, wenn du einfach rechnest. Negative Dichtewerte kann man nur als groben Unfug bezeichnen. unglücklich

Tatsächlich ist , mit Transformationssatz oder anderweitig begründet.
 
 
RahnSchießt Auf diesen Beitrag antworten »

Ach mensch ja Hammer



Besser? smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht viel besser: Wie kommst du darauf, dass für alle gilt? Das ist i.a nicht der Fall, tatsächlich ist das Intervall, wo das wirklich gilt, von abhängig.
RahnSchießt Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hatte mir das so gedacht, dass für jedes x aus dem Intervall (0,1) gleich 1 ist und sonst 0. Deshalb habe ich mir gedacht, dass es ja egal ist, welches Argument besitzt, es ist doch sowieso immer gleich 1 im Intervall (0,1).
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RahnSchießt
Also ich hatte mir das so gedacht, dass für jedes x aus dem Intervall (0,1) gleich 1 ist und sonst 0.

Das mag auf zutreffen - im Integral steht aber .


Richtig ist deine Beschränkung auf das Intervall (0,1) aber zunächst trotzdem, da ja genau dort der erste Faktor ist. Aber um auch den zweiten Faktor einsetzen zu können, musst du das x-Intervall weiter einschränken - was unumgänglich eine Fallunterscheidung für erforderlich macht.
RahnSchießt Auf diesen Beitrag antworten »

Es tut mir leid, ich weiß gar nicht genau was diese y eigentlich ist. x ist ja das Argument der Wahrscheinlichkeitsdichte von X und Y. Aber y? Ups
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du schreibst es hin, aber realisierst es nicht:

D.h., ist einfach das von dir gewählte Symbol für das Argument der gesuchten Dichtefunktion. Und da du diese vollständig bestimmen willst, musst du alle betrachten.
RahnSchießt Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja okay danke. Blamabler Auftritt von mir bisher.

Also genau dann, wenn x-1 < y < x

und genau dann, wenn y x oder y x-1

Stimmt das wenigstens? Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt. Freude

Jetzt unterscheide mal die vier Fälle









denn in jedem der vier Fälle ergibt sich ein qualitativ leicht unterschiedliches Verhalten, wie letztendlich das erwähnte x-Teilintervall von (0,1) aussieht.
RahnSchießt Auf diesen Beitrag antworten »

1. Fall: . Okay, also x wohnt in (0,1), wenn jetzt , dann wird (wegen dem Minuszeichen vor dem y bei ) etwas größer 1 zu dem x hinzuaddiert, das heißt x wohnt jetzt rechts außerhalb des zu betrachteten Intervalls.

2. Fall: . Jetz wird zu dem x etwas zwischen ausschließlich 0 und 1 addiert. Hmm wenn 1 draufaddiert wird sind wir wieder raus aus dem Intervall. Ansonsten wird das Intervall um |y| von links her eingeschmälert.

3. Fall: . Das gleiche, nur von rechts.

4. Fall: . Passiert das gleiche, wie im 1. Fall, nur das es jetzt links raus ist.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann als Ergebnisraum nehmen. Ein Ausgang ist ein Zahlenpaar im Einheitsquadrat. Für eine meßbare Menge ist einfach der Flächeninhalt von (Gleichverteilung). In der naiven elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung spricht man von geometrischer Wahrscheinlichkeit.
Die Zufallsgrößen sind die Projektionen und und damit unabhängig und auf gleichverteilt.

Der Wert der Differenz variiert im Intervall . Es steht mit für alle mit



[attach]30645[/attach]

Dieses Ereignis wird in der Figur durch die rote Menge gekennzeichnet. Ihr Flächeninhalt läßt sich leicht durch Differenzbildung berechnen und ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit .
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