Körpererweiterung

19.06.2013, 21:38

steviehawk

Körpererweiterung

Meine Frage:
Hallo Leute, ich brauch mal Hilfe für folgenden Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ Körper und $\begin{eqnarray*} 0 \neq f \in K[X] \end{eqnarray*}$ normiert mit $\begin{eqnarray*} Grad(f) = n \geq 1 \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} L \supseteq K \end{eqnarray*}$ eine Erweiterung mit $\begin{eqnarray*} [L:K] < \infty \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie:

(a) Ist f irreduzibel und gibt es ein $\begin{eqnarray*} \alpha \in L \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(\alpha) = 0 \end{eqnarray*}$ so ist $\begin{eqnarray*} [L:K] \geq n \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Aus meinen Vorlesungsnotizen habe ich bislang nur rausgefunden, dass:

$\begin{eqnarray*} f(\alpha) = 0 \Rightarrow \alpha \end{eqnarray*}$ ist algebraisch . Insbesondere: Ist f bereits irreduzibel und normiert, so ist $\begin{eqnarray*} f = \mu_{\alpha} \end{eqnarray*}$ das Minimalpolynom ( das gilt ja offensichtlich hier ) Wie hilft mir das?

Ich nehme mal an, um für den Körpergrad $\begin{eqnarray*} [L:K] \geq n \end{eqnarray*}$ zu argumentieren, muss ich mir eine Basis basteln. Geht das in die richtige Richtung??

Danke für die Hilfe!

19.06.2013, 22:02

Mulder

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RE: Körpererweiterung
Naja, was lässt sich denn über $\begin{eqnarray*} K(\alpha) \supseteq K \end{eqnarray*}$ sagen?

19.06.2013, 22:25

steviehawk

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RE: Körpererweiterung
was ist denn überhaupt $\begin{eqnarray*} K(\alpha) \end{eqnarray*}$ ?? verstehe die Notation nicht ganz verwirrt

$\begin{eqnarray*} K(\alpha) \end{eqnarray*}$ ist ein Körper und $\begin{eqnarray*} [K[\alpha]:K] = Grad (f_{\alpha}) \end{eqnarray*}$

19.06.2013, 22:51

Mulder

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RE: Körpererweiterung

Zitat:

Original von steviehawk
was ist denn überhaupt $\begin{eqnarray*} K(\alpha) \end{eqnarray*}$ ?? verstehe die Notation nicht ganz

Die Frage hat sich geklärt, ja?

Zitat:

Original von steviehawk
$\begin{eqnarray*} K(\alpha) \end{eqnarray*}$ ist ein Körper und $\begin{eqnarray*} [K[\alpha]:K] = Grad (f_{\alpha}) \end{eqnarray*}$

Und weiter?

19.06.2013, 23:37

steviehawk

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RE: Körpererweiterung

Zitat:

Die Frage hat sich geklärt, ja?

Nein

19.06.2013, 23:44

Mulder

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RE: Körpererweiterung
Hä? Und woher weißt du dann das mit dem Minimalpolynom? verwirrt

K(a) ist der kleinste Unterkörper von L, der a und K enthält, sprich der von a über K erzeugte Unterkörper von L. (gesprochen auch "K adjungiert a")

Ein "vertrautes" Standardbeispiel: $\begin{eqnarray*} \mathbb R(i) = \mathbb C \end{eqnarray*}$

20.06.2013, 08:34

steviehawk

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RE: Körpererweiterung
Das habe ich beim googeln gefunden! Ich warte mal die heutige Vorlesung ab, vielleicht komm da das mit dem erzeugten Unterkörper..

21.06.2013, 16:19

steviehawk

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RE: Körpererweiterung
Also jetzt versuche ich es mal weiter:

also, dass $\begin{eqnarray*} [K[\alpha]:K] = Grad(f) \end{eqnarray*}$ ist, das wurde in der Vorlesung auch nochmal gezeigt, muss mich also nicht mehr auf mein Google berufen.

Es ist ja dann: $\begin{eqnarray*} [K[\alpha]:K] = Grad(f) = n \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} K[\alpha] \end{eqnarray*}$ ein Teilkörper ist, gilt wie für Vektorräume und Unterräume bekanntlich auch:

$\begin{eqnarray*} n =[K[\alpha]:K] \leq [L:K] \end{eqnarray*}$ damit hätte ich die Aussage gezeigt!

Als nächstes soll ich noch zeigen:

Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht irreduzibel, so gibt es eine Erweiterung $\begin{eqnarray*} L \supseteq K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} [L:k] \leq 2 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle in L hat.

Also wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ reduzibel ist, dann zerfällt es ja in irreduzible Polynome $\begin{eqnarray*} g,h \in K[X] \end{eqnarray*}$

und dann ähm verwirrt

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