f hat keine ganzzahligen Nullstellen

20.06.2013, 15:33

Theend9219

f hat keine ganzzahligen Nullstellen

Sei $\begin{eqnarray*} f \in \mathbb Z[X] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(1) \end{eqnarray*}$ ungerade. Dann hat $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ keine ganzzahligen Nullstellen.

Muss ich da auch mit dem Ansatz:
$\begin{eqnarray*} g(x)= q(x)r(x) + f(x) \end{eqnarray*}$
und dann
$\begin{eqnarray*} g(x) = q(x)r(x) +f(1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = q(x)r(x) +f(0) \end{eqnarray*}$
rangehen?

wie gehe ich vor?

LG

20.06.2013, 15:38

Mulder

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RE: f hat keine ganzzahligen Nullstellen
Sei a eine ganzzahlige Nullstelle. Dann kannst du einen Linearfaktor abspalten:

$\begin{eqnarray*} f(x) =(x-a)q(x) \end{eqnarray*}$

Setz da mal 0 und 1 ein und versuche, das unter Verwendung der Voraussetzungen zum Widerspruch zu führen.

20.06.2013, 15:49

Theend9219

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RE: f hat keine ganzzahligen Nullstellen
Hallo mein Helfer hihi
Okay dann versuche ich das mal:

$\begin{eqnarray*} f(1) = (1-a)q(1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(0) = (0-a)q(0) \end{eqnarray*}$

Der Satz sagt ja, a ist genau dann Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ohne Rest durch $\begin{eqnarray*} (x - a) \end{eqnarray*}$ teilbar ist.
also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-a}= q(1) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \frac{0}{0-a}= q(1) \end{eqnarray*}$

und das ist ja 0...

20.06.2013, 15:53

Mulder

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RE: f hat keine ganzzahligen Nullstellen

Zitat:

Original von Theend9219
Der Satz sagt ja, a ist genau dann Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ohne Rest durch $\begin{eqnarray*} (x - a) \end{eqnarray*}$ teilbar ist.
also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-a}= q(1) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \frac{0}{0-a}= q(1) \end{eqnarray*}$

Da komm ich jetzt absolut nicht mehr mit. Was hast du da gemacht? Wo kommen die Gleichungen her? Die sind doch komplett falsch. verwirrt

Dass a eine Nullstelle ist, haben wir angenommen. Daraus wollen wir doch einen Widerspruch gewinnen. Denn dann haben wir gezeigt, dass unsere Annahme falsch war und f eben keine ganzzahlige Nullstelle hat.

Du brauchst nur ein paar einfache Überlegungen zu gerade und ungerade und wie sich das Produkt gerader und ungerader Zahlen verhält. Ganz elementar.

Dazu brauchst du nur das hier:

Zitat:

Original von Theend9219
$\begin{eqnarray*} f(1) = (1-a)q(1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(0) = (0-a)q(0) \end{eqnarray*}$

20.06.2013, 16:00

Theend9219

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RE: f hat keine ganzzahligen Nullstellen
Entschuldigung ...

ich meinte damit
$\begin{eqnarray*} \frac{f(1)}{1-a} = q(1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{f(0)}{0-a} = q(0) \end{eqnarray*}$

also

Das Produkt zweier gerader Funktionen ist wieder gerade.
Das Produkt zweier ungerader Funktionen ist gerade.
Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Funktion ist ungerade.

(a-1) kann ja nun gerade oder ungerade sein ... und damit ist ein Widerspruch, das dass polynom keine ganzzahl. nullstellen hat ...

so?

20.06.2013, 16:03

Mulder

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RE: f hat keine ganzzahligen Nullstellen

Zitat:

Original von Theend9219
Entschuldigung ...

ich meinte damit
$\begin{eqnarray*} \frac{f(1)}{1-a} = q(1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{f(0)}{0-a} = q(0) \end{eqnarray*}$

Aber was soll diese Darstellung denn nun zeigen? Die ist vollkommen überflüssig.

Zitat:

Original von Theend9219
Das Produkt zweier gerader Funktionen ist wieder gerade.
Das Produkt zweier ungerader Funktionen ist gerade.
Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Funktion ist ungerade.

Da du bereits 0 und 1 eingesetzt hast, sind das keine Funktionen mehr, sondern Zahlen. Also f(0), a und f(1), das sind alles Zahlen!

Zitat:

Original von Theend9219
(a-1) kann ja nun gerade oder ungerade sein ... und damit ist ein Widerspruch, das dass polynom keine ganzzahl. nullstellen hat ...

Keine Ahnung, was du hier sagen möchtest.

20.06.2013, 16:14

Theend9219

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RE: f hat keine ganzzahligen Nullstellen
Ich muss dir zustimmen, das war völlig überflüssig...

Okay dann muss ich mal überlegen:
Das Produkt zweier gerader Zahlen ist gerade
Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade
Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Zahl ist gerade.

Ich wollte damit sagen, dass (a-1) ja eine gerade "Zahl" sein kann oder eine ungerade. Also ist die Multiplikation von (a-1) mit einer geraden, oder ungeraden Zahl wieder entweder gerade oder ungerade. Aber das hat hier nichts mit ganzzahl zu tun ..

20.06.2013, 16:17

Mulder

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RE: f hat keine ganzzahligen Nullstellen
Du hast zwei Gleichungen, benutz auch beide!

$\begin{eqnarray*} f(0) = (0-a)q(0) \end{eqnarray*}$

Nach Voraussetzung ist f(0) ungerade. Was bedeutet das für -a?

20.06.2013, 16:31

Theend9219

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RE: f hat keine ganzzahligen Nullstellen
Okay .. Entschuldigung
f(0) ist ungerade
dann muss für -a gelten, dass -a ungerade ist, denn das Produkt zweier ungerader Zahlen ergibt eine ungerade Zahl, es gibt keine andere Produktkombination, bei der eine ungerade Zahl herauskommt außer bei dem Produkt von einer ungeraden Zahl mit einer ungeraden Zahl...

Lg..

20.06.2013, 16:31

Mulder

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RE: f hat keine ganzzahligen Nullstellen
Nun weiter.

20.06.2013, 16:36

Theend9219

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RE: f hat keine ganzzahligen Nullstellen
$\begin{eqnarray*} f(1) = (1-a)q(1) \end{eqnarray*}$

Hier folgt auch aus der Vorraussetzung, dass f(1) ungerade ist und somit auch (1-a) ungerade sein muss.

Aber ich habe keine Ahnung wie ich damit eine ganzzahligkeit zum widerspruchsbeweis ausdrücken kann ...

20.06.2013, 16:38

Mulder

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RE: f hat keine ganzzahligen Nullstellen

Zitat:

Original von Theend9219
Aber ich habe keine Ahnung wie ich damit eine ganzzahligkeit zum widerspruchsbeweis ausdrücken kann ...

Du nimmst dir aber auch immer nur höchstens ein, zwei Minuten Zeit. Das ist etwas schade. unglücklich

Wenn -a ungerade ist, was kann man dann denn über 1-a aussagen?

20.06.2013, 16:42

Theend9219

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RE: f hat keine ganzzahligen Nullstellen
Entschuldigung für meine "wenig"-Konzentration ...

Wenn -a ungerade ist, dann ist (1-a) eine gerade Zahl.
Wegen :

Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Zahl ist gerade. UND
Das Produkt zweier gerader Zahlen ist gerade.

Muss also das Produkt von (1-a) und q(1) ebenfalls gerade sein. Und das Widerspricht sich dazu, dass f(1) ungerade ist.

20.06.2013, 16:43

Mulder

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RE: f hat keine ganzzahligen Nullstellen
Genau.

20.06.2013, 16:45

Theend9219

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RE: f hat keine ganzzahligen Nullstellen
Danke das du dich für mich für meine Aufgaben Zeit genommen hast...

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