K(a^{2}) = K(a) |
20.06.2013, 18:07 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
K(a^{2}) = K(a) folgende Aufgabe: Sei ein Körper und sei . Zeigen Sie, dass Ich weiß leider nicht wie ich vorgehen muss .. Was muss ich mir denn unter vorstellen?? LG |
||||||
20.06.2013, 18:24 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: K(a^{2}) = K(a)
Das ist der Grad der Körpererweiterung. Nach Definition ist der Grad einer Körperweiterung gleich der Dimension von aufgefasst als -Vektorraum. Denk mal an den Gradsatz... deine Körpererweiterung hat Primzahlgrad. Kann es da einen "echten" Zwischenkörper geben? |
||||||
20.06.2013, 18:44 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: K(a^{2}) = K(a) Hey Mulder! )) Danke für deine Antwort : Zu deiner Frage: Nein, denn als Primzahlkörper bezeichnet man einen Körper K, der keine echten Teilkörper hat, der also selbst sein eigener Primkörper ist. |
||||||
20.06.2013, 18:47 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: K(a^{2}) = K(a) Ich habe von Zwischenkörpern gesprochen, nicht von Primkörpern. |
||||||
20.06.2013, 20:14 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: K(a^{2}) = K(a) Irgendwie komme ich jetzt nach langer Recherche auch auf keine Antwort =(.. Also ich weis nur das K(a) der einfache Körper ist mit dem einen Element a... |
||||||
20.06.2013, 21:05 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: K(a^{2}) = K(a)
Wie lautet der denn? |
||||||
Anzeige | ||||||
|
||||||
20.06.2013, 21:16 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: K(a^{2}) = K(a) Huhu, der Gradsatz besagt: M über K = m über L K über K lg.. |
||||||
20.06.2013, 21:21 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: K(a^{2}) = K(a) Und nun übertrag das mal auf deine Situation. als M nimmst du das K(a) oben aus deiner Aufgabe, für K nimmst du das K aus deiner Aufgabe und für das L nimmst du K(a²) aus deiner Aufgabe. Denn offensichtlich ist doch K(a²) in K(a) enthalten und K ist andererseits in K(a²) enthalten. |
||||||
20.06.2013, 21:30 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: K(a^{2}) = K(a) Okay. Danke. so? LG |
||||||
20.06.2013, 21:39 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: K(a^{2}) = K(a) Ja gut, du hast jetzt halt 1 zu 1 das eingesetzt, was ich vorgeschlagen habe. Das war jetzt noch nicht sonderlich spektakulär. Überleg doch nun mal ein bisschen weiter. Für die beiden Faktorene auf der rechten Seite kommen ja nun nur sehr wenig Möglichkeiten in Frage. Welche? Und versuch mal, daraus ein paar Schlussfolgerungen zu ziehen. |
||||||
20.06.2013, 23:24 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: K(a^{2}) = K(a)
Danke. leider tu ich mich sehr schwer bei dem Thema ... LG |
||||||
20.06.2013, 23:31 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: K(a^{2}) = K(a) Bei welchem Thema? Definition von Primzahlen? Das bedeutet doch nun: Fall 1: oder Fall 2: Fall 2 ist nun noch auszuschließen. Dann ist man fertig. Denn aus folgt natürlich und da wollen wir ja hin. |
||||||
20.06.2013, 23:37 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: K(a^{2}) = K(a) Ja allgemein im Moment Galois, Körpererweiterungen, ... Ich kann mir da immer recht wenig vorstellen .., und ich brauch immer was zum vorstellen.. Falls dann dann ist , da aber das ist bestimmt falsch .. |
||||||
20.06.2013, 23:43 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: K(a^{2}) = K(a)
Da stehst du auf ziemlich verlorenem Posten. "Lösen Sie sich von der Vorstellung, sich alles vorstellen zu können" hat bei mir ein Algebra-Prof im ersten Semester mal gesagt. So in der Art.
Ja, leider. Wäre , würde das bedeuten , insbesondere wäre also . Dann könnte man aber schon ein Minimalpolynom vom Grad kleinergleich von in finden und hätte sofort einen Widerspruch zur Voraussetzung. Denn der Grad des Minimalpolynoms entspricht ja dem Grad der Körpererweiterung. Übrigens: Auch wenn es natürlich nicht für einen allgemeinen Beweis zielführend ist, kannst du dich ja mal an einem konkreten Beispiel versuchen, um zu sehen, dass das tatsächlich funktioniert. Beispiel: ist eine Körpererweiterung vom Grad 5 (leicht via Minimalpolynom einzusehen). Und ist ziemlich leicht zu verifizieren... |
||||||
24.06.2013, 22:53 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: K(a^{2}) = K(a) Hey, Entschuldigung das ich mich nicht mehr gemeldet hatte, aber ich hatte dir ja versprochen ich verschiebe meine Antwort. Und das Thema interessiert mich immer noch sehr. Ja. Das ging mit den Matrizen am Anfang auch so das ich versuchte mir irgendwas vorzustellen und es jetzt aber mir anders vorstelle und ich hoffe das es mit dem Thema auch klappt und ich ein Gefühl für das bekomme. Also jetzt zu deinem konkreten Beispiel: Also das Minimalpolynom zu wäre ja: Es ist also vom Grad 5. Und das Minimalpolynom zu offenbar also auch vom Grad 5. Und jetzt sehe ich auch das der Grad der Körpererweiterung, dem Grad des Minimalpolynoms entspricht. Ein Minimalpolynom vom grad von a in K[x] wäre ja dann eigendlich zum Beispiel oder? Nun weiß ich aber nicht wie ich weitermachen kann ... LG |
||||||
24.06.2013, 23:13 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: K(a^{2}) = K(a) Hmm... Also nur weil die Körpererweiterungen L:K und M:K den gleichen Erweiterungsgrad haben, muss ja noch lange nicht M=L gelten. Vergleiche dazu z.B. die beiden Erweiterungen und diese beiden Erweiterungen haben auch beide Grad 2, aber trotzdem ist . Das Beispiel, das ich angesprochen hatte, kann man ganz simpel über zwei Mengeninklusionen zeigen (das macht man ja ziemlich oft so, wenn man die Gleichheit zweier Menge zeigen will). Zu zeigen wäre Die Inklusion ist ja offensichtlich (warum?). Interessant ist die andere Inklusion: Dazu genügt es, zu zeigen: Und das ist nicht schwer. Da , ist auch (du kannst die Körperelemente ja beliebig potenzieren und bleibst in diesem Körper). Aber es ist auch und damit auch und fertig. |
||||||
25.06.2013, 10:11 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: K(a^{2}) = K(a)
Vielleicht auch wieder wenn ich zeige, dass ist. Und dann auch wieder die Körpererweiterung nutzen, dass sich das Element nicht verändert. so? |
||||||
25.06.2013, 10:41 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: K(a^{2}) = K(a)
Das macht an der Stelle keinen Sinn und diesen Satz
verstehe ich ehrlich gesagt nicht. Es ist doch sicher in enthalten und das ist schon völlig ausreichend. |
||||||
25.06.2013, 10:45 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: K(a^{2}) = K(a)
Ich meinte : |
|