Vektorfeld

20.06.2013, 19:46

Alexandra Ardanex

Vektorfeld

Meine Frage:
Servus. Sei $\begin{eqnarray*} A=\lbrace (x,y) \in \mathbb R^2 | x^2 \leq y, y^2 \leq x \rbrace \end{eqnarray*}$ und ein Vektorfeld $\begin{eqnarray*} v(x,y)=\begin{pmatrix} x+y^2 \\ x^2-2xy \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gegeben.

$\begin{eqnarray*} i) \end{eqnarray*}$ Skizzieren Sie die Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und geben Sie eine Kurve an, die den Rand $\begin{eqnarray*} \partial A \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ beschreibt.

$\begin{eqnarray*} ii) \end{eqnarray*}$ Berechnen Sie das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{\partial A} v ds \end{eqnarray*}$ ,indem Sie es als Kurvenintegral auffassen.

$\begin{eqnarray*} iii) \end{eqnarray*}$ Berechnen Sie das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{\partial A} v ds = \int_{\partial A} v_1 dx + v_2 dy \end{eqnarray*}$ mit Hilfe des Stokeschen Integralsatzes.

Meine Ideen:
zu $\begin{eqnarray*} i) \end{eqnarray*}$ das sieht aus wie ein Kleeblatt, ein längliches, aber wie ich die Kurve angeben soll die den Rand $\begin{eqnarray*} \partial A \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ beschreibt weiß ich nicht so recht.

bei $\begin{eqnarray*} ii) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} iii) \end{eqnarray*}$ weiß ich auch nicht so recht. Der Stokesche Integralsatz ist ja:

$\begin{eqnarray*} \int_M \mathrm{d}\omega = \int_{\partial M} \omega \end{eqnarray*}$

Aber ich werde irgendwie nicht daraus schlau. Herzlichen Dank für die Hilfe und Aufmerksamkeit.

21.06.2013, 09:29

Alexandra Ardanex

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RE: Vektorfeld
Also der Plot sieht ja so aus wie im Anhang. Aber weiter bin ich nicht gekommen seit gestern unglücklich

21.06.2013, 09:44

Mystic

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RE: Vektorfeld
Die Kurve C, welche den Rand beschreibt, setzt sich zusammen aus zwei Kurven $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ , welche durch x(t)=t, y(t)=t² bzw. x(t)=t², y(t)=t beschrieben werden können, wobei t in [0,1] liegt. Dementsprechend setzt sich das Kurvenintegral über $\begin{eqnarray*} C=C_1 +C_2 \end{eqnarray*}$ aus zwei Kurvnintegrlen zusammen...

Und ja, es sollte gleich sein dem Bereichsintegral

$\begin{eqnarray*} \int\limits_ {\ B }\int \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} v(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))^T \end{eqnarray*}$ und B der Bereich ist, der von den Kurven eingeschlossen wird...

PS.: Das ist übrigens in Wahrheit der Satz von Green, welcher exakt diesen Spezialfall des Satzes von Stokes abdeckt...

21.06.2013, 11:49

Alexandra Ardanex

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RE: Vektorfeld

Zitat:

Original von Mystic
Die Kurve C, welche den Rand beschreibt, setzt sich zusammen aus zwei Kurven $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ , welche durch x(t)=t, y(t)=t² bzw. x(t)=t², y(t)=t beschrieben werden können, wobei t in [0,1] liegt. Dementsprechend setzt sich das Kurvenintegral über $\begin{eqnarray*} C=C_1 +C_2 \end{eqnarray*}$ aus zwei Kurvnintegrlen zusammen...

Und ja, es sollte gleich sein dem Bereichsintegral

Puu

, also die Kurven $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ sind doch (wenn man eine Achse dazwischen legen würde, achsensymmetrisch?) d.h. sie sind gleich lang? Wieso das aber gleich dem Bereichsintegral sein soll, verstehe ich nicht. Und was $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ sein soll, weiß ich auch nicht.

PS: Danke. Den Satz von Green hatten wir aber in der VL nicht.

21.06.2013, 15:40

Mystic

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RE: Vektorfeld

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Puu verwirrt

Sie sind gleich lang, ja, aber inwiefern spielt das hier eine Rolle? Versteh ich ehrlich gesagt nicht ganz, da es ja hier nicht um die Bogenlänge einer Kurve geht, sondern um ein Kurvenintegral... geschockt

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Wieso das aber gleich dem Bereichsintegral sein soll, verstehe ich nicht. Und was $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ sein soll, weiß ich auch nicht.

Ich fürchte, eine Vorlesung über den allgemeinen Zusammenhang zwischen Kurvenintegralen und Bereichsintegralen können wir hier nicht ersetzen, zumal ich dir eh einen Link angegeben, wo du das nachlesen kannst... Und dass du nicht weißt, was hier P und Q ist, kann jetzt auch nur ein Scherz sein, da ich ja oben klar und deutlich geschrieben habe, dass P und Q die beiden Komponenten des Vektorfeldes v(x,y) sind oder hast du das glatt überlesen? unglücklich

21.06.2013, 16:07

Alexandra Ardanex

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RE: Vektorfeld

Zitat:

Original von Mystic
Ich fürchte, eine Vorlesung über den allgemeinen Zusammenhang zwischen Kurvenintegralen und Bereichsintegralen können wir hier nicht ersetzen, zumal ich dir eh einen Link angegeben, wo du das nachlesen kannst... Und dass du nicht weißt, was hier P und Q ist, kann jetzt auch nur ein Scherz sein, da ich ja oben klar und deutlich geschrieben habe, dass P und Q die beiden Komponenten des Vektorfeldes v(x,y) sind oder hast du das glatt überlesen? unglücklich

Ich habe angenommen, es handelt sich um was anderes okay. Ja es lebe die Einsamkeit und das Motto "Selbst ist die Frau" ... nur irgendwann ist auch der Punkt erreicht wo Frau nicht mehr weiter weiß, wenn sie vieles einfach nicht hatte. Nun ja unglücklich

zu i) "Die Kurve C, welche den Rand beschreibt, setzt sich zusammen aus zwei Kurven $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ , welche durch x(t)=t, y(t)=t² bzw. x(t)=t², y(t)=t beschrieben werden können, wobei t in [0,1] liegt. Dementsprechend setzt sich das Kurvenintegral über $\begin{eqnarray*} C=C_1 +C_2 \end{eqnarray*}$ aus zwei Kurvnintegrlen zusammen..." Muss ich jetzt die Kurve noch berechnen?

Wenn ich ja
$\begin{eqnarray*} \int\limits_ {\ B }\int \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy \end{eqnarray*}$
habe
berechne ich dann die partiellen Ableitungen $\begin{eqnarray*} v(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))^T \end{eqnarray*}$ und setze es ein und berechne das Doppelintegral. Du meintest B ist der Bereich, der von den Kurven eingeschlossen wird... Ich verstehe jetzt nicht welcher Bereich?

21.06.2013, 17:55

Mystic

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RE: Vektorfeld

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Ich verstehe jetzt nicht welcher Bereich?

Aso ja, ich verstehe, du bist im demselben Dilemma wie Buridans Esel, der sich zwischen zwei gleich großen Heuhaufen einfach nicht entscheiden kann und darüber elendiglich verhungert...

Heuhaufen Nr 1:

Der fragliche Bereich wird beschrieben durch

$\begin{eqnarray*} 0 \le x \le 1, \ x^2 \le y \le \sqrt x \end{eqnarray*}$

Heuhaufen Nr. 2:

Der fragliche Bereich wird beschrieben durch

$\begin{eqnarray*} y^2 \le x \le \sqrt y, \ 0 \le y \le 1 \end{eqnarray*}$

Ich fürchte, für einen der beiden Heuhaufen wirst du dich am Ende wohl oder übel doch entscheiden müssen, damit es hier weitergeht... Big Laugh

22.06.2013, 00:04

Alexandra Ardanex

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RE: Vektorfeld

Zitat:

Original von Mystic
Heuhaufen Nr 1:

Der fragliche Bereich wird beschrieben durch

$\begin{eqnarray*} 0 \le x \le 1, \ x^2 \le y \le \sqrt x \end{eqnarray*}$

Heuhaufen Nr. 2:

Der fragliche Bereich wird beschrieben durch

$\begin{eqnarray*} y^2 \le x \le \sqrt y, \ 0 \le y \le 1 \end{eqnarray*}$

Ich fürchte, für einen der beiden Heuhaufen wirst du dich am Ende wohl oder übel doch entscheiden müssen, damit es hier weitergeht... Big Laugh

Ich hoffe das Eselphänomen trifft nicht auf mich zu Big Laugh

Jedenfalls wäre das mein Integrationsgebiet? Richtig? Also entweder Haufen 1 oder Haufen 2. *Große unschuldige Eselsaugen mach*

22.06.2013, 00:39

Mystic

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RE: Vektorfeld
Ja, sagte ich ja, du kannst es dir hier aussuchen... Wichtig, dass es in beiden Fällen in jeweils einer Variablen konstante Integrationsgrenzen gibt, sonst hätten wir hier ein ernstes Problem... Augenzwinkern

PS.: Vielleicht solltest du auch endlich mal zur Tat schreiten und hier was vorrechnen... Mathematik ist mehr ein "Tun" als ein "darüber Diskutieren"... Lehrer

22.06.2013, 09:02

Alexandra Ardanex

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RE: Vektorfeld

Zitat:

Original von Mystic
PS.: Vielleicht solltest du auch endlich mal zur Tat schreiten und hier was vorrechnen... Mathematik ist mehr ein "Tun" als ein "darüber Diskutieren"... Lehrer

Da hast du natürlich vollkommen Recht.

Ich erhalte:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_{x^2}^{\sqrt{x}} (2x-4y) dxdy=-\frac{3}{10} \end{eqnarray*}$

(Ich habe das Integral "zu Fuß" ausgerechnet, aber der Esel in mir wollte nicht, dass ich es jetzt alles ausführlich eingebe)

Das wäre alles dann zu i) oder habe ich schusseliger Esel etwas vergessen?

22.06.2013, 10:38

Mystic

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RE: Vektorfeld

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Das wäre alles dann zu i) oder habe ich schusseliger Esel etwas vergessen?

Ja, das Kurvenintegral, bei dem ja dann das Gleiche herauskommen sollte, wenn man die Berandung so durchläuft, dass der Bereich immer zur Linken liegt ... Augenzwinkern

22.06.2013, 10:48

Alexandra Ardanex

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RE: Vektorfeld

Zitat:

Original von Mystic
Ja, das Kurvenintegral, bei dem ja dann das Gleiche herauskommen sollte, wenn man die Berandung so durchläuft, dass der Bereich immer zur Linken liegt ... Augenzwinkern

Also nochmal das Kurvenintegral, richtig? Es wäre die hälfte des Kurvenintegral, damit abgedeckt?

Bei ii) und iii) grüble ich jetzt. Die Aufgabenstellung sieht nicht schwer aus. Aber wie berechne ich das Kurvenintegral bei ii) ich wüsste nicht wie ich die Menge A partiell ableiten sollte verwirrt

Esel greets

22.06.2013, 11:05

Mystic

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RE: Vektorfeld
Es ist alles ein bißchen mühsam hier, da es dir so offensichtlich an Grundlagen fehlt... traurig

Ein Kurvenintegral längs einer Kurve C, welche durch die Parameterdarstellung

$\begin{eqnarray*} x=x(t), y=y(t) \quad t \in [a,b] \end{eqnarray*}$

gegeben ist, wird natürlich so berechnet:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b (P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t))dt \end{eqnarray*}$

Beachte, dass sich die Kurve C hier aus zwei Kurven $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ zusammensetzt, wie bereits oben angegeben...

22.06.2013, 14:42

Alexandra Ardanex

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RE: Vektorfeld

Zitat:

Original von Mystic
Es ist alles ein bißchen mühsam hier, da es dir so offensichtlich an Grundlagen fehlt... traurig

Ja ich weiß bitte um Entschuldigung, ich bemühe mich aber wirklich.

Zitat:

Original von Mystic
Ein Kurvenintegral längs einer Kurve C, welche durch die Parameterdarstellung

$\begin{eqnarray*} x=x(t), y=y(t) \quad t \in [a,b] \end{eqnarray*}$

gegeben ist, wird natürlich so berechnet:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b (P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t))dt \end{eqnarray*}$

Beachte, dass sich die Kurve C hier aus zwei Kurven $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ zusammensetzt, wie bereits oben angegeben...

Ja so ist mir das auch eigentlich bekannt, nur irgendwie weiß ich nicht wie ich die Parametrisierung hier "einsetzen" soll? Es handelt sich ja um ein Kurvenintegral zweiter Art. Normalerweise ist ja das Kurvenintegral das Skalarprodukt aus der Funktion mit eingesetzer Parametrisierung und der 1. Ableitung der Funktion. Nur ich weiß nicht was hinter der gegeben Parametrisierung steht, also ich kann für $\begin{eqnarray*} x=x(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=y(t) \end{eqnarray*}$ nichts einsetzen verwirrt

22.06.2013, 17:51

McClane

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RE: Vektorfeld

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex

Ich erhalte:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_{x^2}^{\sqrt{x}} (2x-4y) dxdy=-\frac{3}{10} \end{eqnarray*}$

Kannst du mir erklären wie du dort auf -3/10 kommst? Das habe ich raus, wenn ich das Kurvenintegral berechne. Mit Hilfe des Stokeschen Integralsatz komme ich nicht darauf. Kannst du vllt deinen Rechenweg aufzeigen? ich erstehe nicht wie du mit diesem Integral auf -3/10 kommst

22.06.2013, 18:13

Alexandra Ardanex

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RE: Vektorfeld

Zitat:

Original von McClane
Kannst du mir erklären wie du dort auf -3/10 kommst? Das habe ich raus, wenn ich das Kurvenintegral berechne. Mit Hilfe des Stokeschen Integralsatz komme ich nicht darauf. Kannst du vllt deinen Rechenweg aufzeigen? ich erstehe nicht wie du mit diesem Integral auf -3/10 kommst

Aber das ist doch nicht richtig? Da fehlt doch die eingesetze Parametrisierung, oder nicht geschockt

?
Naja es ist ganz simpel eigentlich. Du integrierst nach y zuerst, wertest das Integral an den Grenzen $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ aus. Danach integrierst du nach x und wertest das Integral an den Stellen 0 und 1 aus und erhälst -3/10... Aber das ist doch falsch und außerdem nicht das komplette Kurvenintegral?

22.06.2013, 18:18

McClane

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RE: Vektorfeld
Ah ok. Ich seh auch gerade wo mein Fehler lag. Du hast in deiner Angabe dx und y vertauscht.

-3/10 ist schon richtig. Du hast gerade das ganze mit Hilfe von Stokes ausgerechnet. Es fehlt noch die Berechnung des Kurvenintegrals

22.06.2013, 18:24

Alexandra Ardanex

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RE: Vektorfeld

Zitat:

Original von McClane
Ah ok. Ich seh auch gerade wo mein Fehler lag. Du hast in deiner Angabe dx und y vertauscht.

Ja in der Tat.

Zitat:

Original von McClane
Du hast gerade das ganze mit Hilfe von Stokes ausgerechnet. Es fehlt noch die Berechnung des Kurvenintegrals

Also habe ich den Rand berechnet bei Aufgabe i) ? Nur wie rechne ich jetzt bei ii) das mit der Parametrisierung aus?

22.06.2013, 19:27

McClane

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RE: Vektorfeld
Du hast den Rand nicht berechnet sondern eine Parametrisierung angegeben. Dann hast du mit Stokes das Integral ausgerechnet. Statt mit Stokes machst du das jetzt nochmal mit Hilfe des Kurenintegrals. Wie rechnet man den ein Kurvenintegral allgemein aus?

22.06.2013, 20:18

Mystic

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RE: Vektorfeld

Zitat:

Original von McClane
Wie rechnet man den ein Kurvenintegral allgemein aus?

Ja, danke, dass du hier weiter machst... Gott

Ich bin mit meiner Weisheit am Ende... Tränen

Schließlich habe ich die genaue Definition des Kurvenintegrals und auchdie Parameterdarstellungen der beiden Kurven, auf denen integriert werden soll, alles oben schon hingeschrieben, sodass man eigentlich nur mehr einsetzen muss... Es hat trotzdem nichts gebracht... traurig

22.06.2013, 23:49

Alexandra Ardanex

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RE: Vektorfeld

Zitat:

Original von Mystic
Es ist alles ein bißchen mühsam hier, da es dir so offensichtlich an Grundlagen fehlt... traurig

Die i) ist also fertig? Ja das Kurvenintegral berechnet man ja so wie es Mystic schon erwähnt hat. Ich verstehe bzw. finde einfach die Parametrisierung in meiner Aufgabe nicht wieder unglücklich

Das $\begin{eqnarray*} P(x,y)=x+y^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q(x,y)=x^2-2xy \end{eqnarray*}$ weiß ich ja.
Integriert soll ja unter $\begin{eqnarray*} \partial A \end{eqnarray*}$ . Ich habe schon mal die Frage gestellt wie man $\begin{eqnarray*} \partial A \end{eqnarray*}$ also die Ableitung einer Menge bildet geschockt

Ich versuche es mal hmm

$\begin{eqnarray*} \int_a^b (P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t))dt=\int_0^1 ((t+t^4) \cdot 1+(t^2-2t^3) \cdot 2t )dt= \int_0^1 (t+t^4+2t^3-4t^4)dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_0^1 (t+2t^3-3t^4)dt= \frac{1}{2}t^2+\frac{1}{2}t^4-\frac{3}{5}t^5 |_0^1 = \frac{2}{5} \end{eqnarray*}$

Wenn die Parametrisierung stimmt? Wie kommt man eig auf diese? verwirrt

23.06.2013, 08:19

Mystic

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RE: Vektorfeld

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Wenn die Parametrisierung stimmt? Wie kommt man eig auf diese? verwirrt

Wenn der Prophet nicht zum Berg kommt... Big Laugh

Zitat:

Original von Mystic
Die Kurve C, welche den Rand beschreibt, setzt sich zusammen aus zwei Kurven $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ , welche durch $\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{x(t)=t, y(t)=t²} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{x(t)=t², y(t)=t} \end{eqnarray*}$ beschrieben werden können, wobei t in [0,1] liegt. Dementsprechend setzt sich das Kurvenintegral über $\begin{eqnarray*} C=C_1 +C_2 \end{eqnarray*}$ aus zwei Kurvenintegralen zusammen...

Ist es denn wirklich so schwer, meine Beiträge in einem Thread, der gerade mal 2 Seiten lang ist, so gewissenhaft durch zusehen, dass man auf diese Stelle stößt? Und ja, ist es auch so schwer, für die Kurve y=x² eine Parameterdarstellung, wie x=t, y=t² zu finden, also einfach irgend zwei Funktionen x=x(t) und y=y(t), welche eingesetzt dann y=x² erfüllen? verwirrt

Auch x=sin(t), y=sin(t)² mit t in [0,pi/2] hätte das Gewünschte geleistet, wenn dir der Sinn nach einer umfangreicheren Rechnung gestanden wäre... Big Laugh

Bezeichnenderweise hast du die verwendete Parameterdarstellung in deiner(?) Lösung für die Kurve $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ ja nicht einmal explizit hingeschrieben, so dass man sie erst indirekt erschließen muss... geschockt

23.06.2013, 08:55

Alexandra Ardanex

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RE: Vektorfeld

Zitat:

Original von Mystic
Bezeichnenderweise hast du die verwendete Parameterdarstellung in deiner(?) Lösung für die Kurve $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ ja nicht einmal explizit hingeschrieben, so dass man sie erst indirekt erschließen muss... geschockt

Ehm das klingt so als wenn du echt lange gebraucht hättest um sie dir zu erschließen, obwohl du ja weißt wie sie lautet...

Der zweite Aufgabenteil ist also auch noch nicht erledigt, weil das zweite Kurvenintegral fehlt?

Jetzt soll ich bei iii) das Integral mit dem Stokeschen Integralsatz berechnen.

$\begin{eqnarray*} \int_{\partial A} v ds=\int_{\partial A} v_1 dx+v_2 dy \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} v_1 (x,y)=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2=x^2-2xy \end{eqnarray*}$

Ich versteh diesen Satz nicht, und ich habe es mir gewissenhaft durchgelesen unglücklich

23.06.2013, 09:46

Mystic

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RE: Vektorfeld

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Ehm das klingt so als wenn du echt lange gebraucht hättest um sie dir zu erschließen, obwohl du ja weißt wie sie lautet...

Hm, wie hätte ich wissen sollen, ob du eine der folgenden Parameterdarstellungen

a) $\begin{eqnarray*} x=t, y=t^2 \quad (t \in [0,1]) \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} x=t², y=t^4 \quad (t \in [0,1]) \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} x=sin (\pi t/2), y=sin^2 (\pi t/2) \quad (t \in [0,1]) \end{eqnarray*}$

für die erste Kurve verwendest, ohne(!) einen Blick auf deine Rechnung zu werfen? Zumal du ja auch gesagt hast, du hättest die von mir angegebene Parameterdarstellung gar nicht gefunden, und trotzdem soll ich davon ausgehen, dass du genau diese dann auch verwendest??? Ist dir eigentlich schon klar geworden, dass es die Parameterdarstellung gar nicht gibt, sonder sogar überabzählbar unendlich viele?

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Der zweite Aufgabenteil ist also auch noch nicht erledigt, weil das zweite Kurvenintegral fehlt?

Exakt. Und ist das jetzt noch ein Problem? verwirrt

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Jetzt soll ich bei iii) das Integral mit dem Stokeschen Integralsatz berechnen.

Das hast du doch hier

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Ich erhalte:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_{x^2}^{\sqrt{x}} (2x-4y) dxdy=-\frac{3}{10} \end{eqnarray*}$

schon gemacht, das war ja das Bereichsintegral oder bringst du jetzt sogar schon die Begriffe Kurvenintegral und Bereichsintegral durcheinander? traurig

Was also hier einzig noch fehlt, ist wie schon gesagt der "zweite Teil" des Kurvenintegrals, also das Kurvenintegral über die Kurve $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ , welches man dann auf das Ergebnis vom "ersten Teil" aufaddieren muss...

23.06.2013, 10:58

Alexandra Ardanex

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RE: Vektorfeld

Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Ehm das klingt so als wenn du echt lange gebraucht hättest um sie dir zu erschließen, obwohl du ja weißt wie sie lautet...

Wie würde der Esel entscheiden? Der Esel hat nur Parametrisierung a) von dir als Tipp erhalten, wenn du gewissenhaft die "2" Seiten mitverfolgst Big Laugh

Also ich bitte dich Big Laugh

Meine Inkompetenz und Schusseligkeit ist dann eine andere Seite der Medaille, dass ich es nicht als Parametrisierung erkannt habe...

Ich versuche mal dann alles nochmal komplett (hoffe ich) zusammen zu packen und dann berichte ich. Vielen Dank Mystic Mit Zunge

23.06.2013, 13:45

Alexandra Ardanex

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RE: Vektorfeld

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Meine Frage:
Servus. Sei $\begin{eqnarray*} A=\lbrace (x,y) \in \mathbb R^2 | x^2 \leq y, y^2 \leq x \rbrace \end{eqnarray*}$ und ein Vektorfeld $\begin{eqnarray*} v(x,y)=\begin{pmatrix} x+y^2 \\ x^2-2xy \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gegeben.

$\begin{eqnarray*} i) \end{eqnarray*}$ Skizzieren Sie die Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und geben Sie eine Kurve an, die den Rand $\begin{eqnarray*} \partial A \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ beschreibt.

Das mit der Parametrisierung habe ich mehr oder weniger verstanden, aber wie schreibe ich das jetzt auf? Bzw. wieso steht dort $\begin{eqnarray*} \partial A \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ? Die Parametrisierung ist doch keine partielle Ableitung? Könntest du mir vielleicht bitte nochmal den Zusammenhang zwischen der benutzen Parametrisierung und diesem $\begin{eqnarray*} \partial A \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ erklären? Bzw. was soll ich für $\begin{eqnarray*} \partial A=... ...? \end{eqnarray*}$ schreiben?

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
$\begin{eqnarray*} ii) \end{eqnarray*}$ Berechnen Sie das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{\partial A} v ds \end{eqnarray*}$ ,indem Sie es als Kurvenintegral auffassen.

$\begin{eqnarray*} \int_{\partial A} v ds=\int_0^1 \int_{x^2}^{\sqrt{x}} (2x-4y)dydx+\int_0^1 \int_{x^2}^{\sqrt{x}} (2x-4y)dydx=2 \cdot \left( \int_0^1 \int_{x^2}^{\sqrt{x}} (2x-4y)dydx \right)=...=-\frac{3}{5} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
$\begin{eqnarray*} iii) \end{eqnarray*}$ Berechnen Sie das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{\partial A} v ds = \int_{\partial A} v_1 dx + v_2 dy \end{eqnarray*}$ mit Hilfe des Stokeschen Integralsatzes.

$\begin{eqnarray*} \int_{\partial A} v ds = \int_{\partial A} v_1 dx + v_2 dy=\int_a^b (P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t))dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\int_0^1 ((t+t^4) \cdot 1+(t^2-2t^3) \cdot 2t )dt= \int_0^1 (t+t^4+2t^3-4t^4)dt= \int_0^1 (t+2t^3-3t^4)dt= \frac{1}{2}t^2+\frac{1}{2}t^4-\frac{3}{5}t^5 |_0^1 = \frac{2}{5} \end{eqnarray*}$

Wieso komme ich jetzt nicht auf das Gleiche Ergebnis bei iii) und ii) ? Das müsste es doch... unglücklich

Edit Equester: Überlänge korrigiert.

24.06.2013, 11:38

Alexandra Ardanex

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Eine Frage noch zu der $\begin{eqnarray*} ii) \end{eqnarray*}$ . Müsste es nicht $\begin{eqnarray*} C=C_1-C_2 \end{eqnarray*}$ sein? Man geht doch eine Kurve zurück, oder nicht?

Zitat:

Original von Mystic
Heuhaufen Nr 1:

Der fragliche Bereich wird beschrieben durch

$\begin{eqnarray*} 0 \le x \le 1, \ x^2 \le y \le \sqrt x \end{eqnarray*}$

Wie kommt man darauf? verwirrt

Ich kann es mir aus der Aufgabenstellung nicht erschließen.

24.06.2013, 21:03

Mystic

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Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Eine Frage noch zu der $\begin{eqnarray*} ii) \end{eqnarray*}$ . Müsste es nicht $\begin{eqnarray*} C=C_1-C_2 \end{eqnarray*}$ sein? Man geht doch eine Kurve zurück, oder nicht?

Und wieder ein Beispiel dafür, dass du ganz offenbar nicht imstande bist, Postings wirklich sinnerfassend zu lesen... unglücklich

Zitat:

Original von Mystic
Ja, das Kurvenintegral, bei dem ja dann das Gleiche herauskommen sollte, wenn man die Berandung so durchläuft, dass der Bereich immer zur Linken liegt ... Augenzwinkern

27.06.2013, 08:29

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Und wieder ein Beispiel dafür, dass du ganz offenbar nicht imstande bist, Postings wirklich sinnerfassend zu lesen... unglücklich

Und jedes mal unnötige Kommentare um jemanden darauf hinweisen, wie dumm er doch ist...
DANKE
(Und wenn es 100%tig da steht und man es nicht komplett versteht, was soll ich machen.. meine Güte... unglücklich

) Dann fehlt halt Übung und Verständnis, jeder ist anders und manche brauchen mehr Zeit, andere weniger...

Zitat:

Original von Mystic
Ja, das Kurvenintegral, bei dem ja dann das Gleiche herauskommen sollte, wenn man die Berandung so durchläuft, dass der Bereich immer zur Linken liegt ... Augenzwinkern

Wenn man die Kurve $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ so durchläuft, dass der Bereich immer zur Linken liegt, d.h., wenn t in der Parmaterdarstellung

$\begin{eqnarray*} x=t, y=\sqrt t \quad (t \in [0,1]) \end{eqnarray*}$

von t=1 bis t=0 läuft, dann passt ja auch alles... Wenn du die Kurve partout andersherum durchlaufen willst, also von t=0 bis t=1, so kannst du das auch machen, nur musst du dann eben das Vorzeichen im Ergebnis ändern... [/quote]
Ich verstehe es immer noch nicht komplett. Wenn wir doch $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ mit Parametrisierung $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} c_2 \end{eqnarray*}$ genauso parametrisieren, sagtest du ja dann muss man das Vorzeichen ändern, aber wenn ich das Integral bilde erhalte ich $\begin{eqnarray*} \frac{2}{5} \end{eqnarray*}$ wenn ich das Vorzeichen ändere bei $\begin{eqnarray*} c_2 \end{eqnarray*}$ dann kommt doch Null heraus. Noch eine Frage, wenn man ja quasi zwei gleiche Kurven hat, dann kann ja eine anders parametrisieren und dann kommt man direkt auf das Ergebnis, oder? Das war gemeint mit $\begin{eqnarray*} x=t, y=\sqrt t \quad (t \in [0,1]) \end{eqnarray*}$ ?
Vielen Dank und Entschuldigung, dass ich nicht alles auf ersten Blick sehe, trotz deiner Hinweise.

27.06.2013, 11:44

Mystic

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Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Ich verstehe es immer noch nicht komplett. Wenn wir doch $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ mit Parametrisierung $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} c_2 \end{eqnarray*}$ genauso parametrisieren, sagtest du ja dann muss man das Vorzeichen ändern, aber wenn ich das Integral bilde erhalte ich $\begin{eqnarray*} \frac{2}{5} \end{eqnarray*}$ wenn ich das Vorzeichen ändere bei $\begin{eqnarray*} c_2 \end{eqnarray*}$ dann kommt doch Null heraus. Noch eine Frage, wenn man ja quasi zwei gleiche Kurven hat, dann kann ja eine anders parametrisieren und dann kommt man direkt auf das Ergebnis, oder? Das war gemeint mit $\begin{eqnarray*} x=t, y=\sqrt t \quad (t \in [0,1]) \end{eqnarray*}$ ?

Ich bin hier selbst dummerweise von meiner anfänglichen Parameterdarstellung

$\begin{eqnarray*} x(t)=t^2, y(t)=t \quad (t \in [0,1]) \end{eqnarray*}$

für die Kurve $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ abgegangen, was die Sache unnötig kompliziert macht... Dabei muss dann, wie gesagt, für das Kurvenintegral über die Kurve $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ darauf geachtet werden, dass der eingeschlossene Bereich immer zur Linken liegt, d.h., der Parameter t muss von 1 nach 0 laufen. Wählt man eine "falsche" Durchlaufrichtung, d.h., lässt man t von 0 bis 1 laufen, dann muss man zum Ausgleich eben im Ergebnis das Vorzeichen ändern...

Hier die vollständige Berechnung für die "richtige" Durchlaufrichtung der Kurve $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ und obige "einfache" Parameterdarstellung, damit das Ganze hier zu einem Ende kommt... Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \int_1^0 \left[ \left(x(t)+y(t)^2\right)x'(t)+\left(x(t)^2-2x(t)y(t)\right)y'(t)\right]\,dt=\int_1^0\left[(t^2+t^2)2t+(t^4-2t^3)\right)\,dt=\int_1^0 (2t^3+t^4)\,dt=-\frac 7{10} \end{eqnarray*}$

Zusammen mit 2/5 vom ersten Kurvenintegral ergibt es dann also tatächlich -3/10, d.h., den gleichen Wert, wie für das Bereichsintegral, wie vom Satz von Green vorhergesagt...

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