Prüfen ob Element im Teilkörper enthalten ist

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Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
Prüfen ob Element im Teilkörper enthalten ist
Guten Abend,
folgende Aufgabe an der ich hänge..

Sei mit . Man entscheide jeweils, ob in dem angegeben Teilkörper von enthalten ist.


, wobei

Wie gehe ich bei solcher Überprüfung vor?

LG
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfen ob Element im Teilkörper enthalten ist
Die Elemnet von sind doch darstellbar als mit a und b aus Q.

Nun ist einfach zu überprüfen, ob es eine Lösung (a,b) gibt, so dass
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfen ob Element im Teilkörper enthalten ist
Hey Igrizu,

Vielen Dank für die Verdeutlichung mit

Falls und

oder falls und

muss ich das so machen??
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfen ob Element im Teilkörper enthalten ist
a ist der Realteil, der wird nicht i......

Das ganze funktioniert, wie deine erste Lösung, durch einen Koeffizientenvergleich.



wir vergleichen Real- und Imaginärteil:

und
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfen ob Element im Teilkörper enthalten ist
Zitat:
Original von lgrizu
a ist der Realteil, der wird nicht i......

Das ganze funktioniert, wie deine erste Lösung, durch einen Koeffizientenvergleich.



wir vergleichen Real- und Imaginärteil:

und


Hallo danke für deine Antwort...



Hier wäre ja ein Koeffizientenvergleich:



oder??
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfen ob Element im Teilkörper enthalten ist
verwirrt

Nein, wir haben:



Nun vergleichen wir die Realteile und die Imaginärteile miteinander:

Realteil auf der rechten Seite:
Realteil auf der linken Seite:

Also:

Imaginärteil auf der rechten Seite:
Imaginärteil auf der linken Seite:

Also:

Das war es schon....


Nun noch kurz überlegt, ob ein exsitiert, dass diese Bedingung erfüllt....
 
 
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfen ob Element im Teilkörper enthalten ist
Hey, vielen Dank für deine Antwort Augenzwinkern Das hast du total einleuchtend beschrieben und wie hast du es mit LaTeX hinbekommen, diese Beschreibungen unter den Koeffizienten hinzubekommen? Augenzwinkern

Also eine rationale Zahl ist nicht zu finden ..nur die irrationale ..
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfen ob Element im Teilkörper enthalten ist
Genau, eine rationale Zahl, die diese Bedingung erfüllt gibt es nicht, nur die irrationale Zahl.......

Für die geschweiften Klammer kann man folgenden Befehl benutzen:

code:
1:
\underbrace{hier steht der obere Teil}_{...und hier der untere..}


Edit: hast du die b hinbekommen?
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfen ob Element im Teilkörper enthalten ist
Vielen lieben Dank Augenzwinkern

Und wie gehe ich nun bei b) vor ? .. da kann ich ja nicht analog vorgehen?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfen ob Element im Teilkörper enthalten ist
Den Zwischenkörper zu bestimmen ist kernig, die Nullstellen mit Cardano sind:








Wirklich keine schönen Ausdrücke........

Deshalb: Man kann auch erst mal prüfen, ob i die Gleichung erfüllt Augenzwinkern
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfen ob Element im Teilkörper enthalten ist
Hallo Igrizu,

Ja die Aufgabe ist korrekt notiert ...Wie überprüfe ich ob i die Gleichung erfüllt ?
?

Die sehen ja wirklich furchtbar aus hihi
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfen ob Element im Teilkörper enthalten ist
Nö, du setzt für a einfach mal i ein....
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfen ob Element im Teilkörper enthalten ist
Okay Danke!

Also



Und das geht ja nicht
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfen ob Element im Teilkörper enthalten ist
Genau, i ist keine Nullstelle des gegebenen Polynoms.

Nun kann man noch zeigen, dass das Polynom irreduzibel über ist, das ist recht simpel, denn wenn das Polynom reduzibel über Q wäre, dann müsste es eine Nullstelle in Q haben, da es vom Grad 3 ist, dass es die nicht hat ist schnell gezeigt.

Also liegen die Nullstellen nicht in Q, denn ansonsten würde es über Q in Linearfaktoren zerfallen.

Dann kann man sich den Körper einmal anschauen ( wobei Nullstellen des Polynoms sind) und argumentieren.
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfen ob Element im Teilkörper enthalten ist
Dankeschön für deine gesamte Hilfe Igrizu, ..
Ich muss das jetzt erst einmal wirken lassen auf mich hihi .. Ich schreib dir dann gleich-oder morgen für die kommende "Argumentation"
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