Dimension vom Span einer Teilmenge

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MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension vom Span einer Teilmenge
Es sei V ein K-Vektorraum und

und

Zeigen Sie:
a)

Annahme:

Dann folgt aus der Dimensionsformel:

, dass , was nicht möglich ist.

Oder ist das weitaus komplizierter wegen des Span? So richtig kann ich mir das mit der Dimension des Erzeugendensystem noch nicht vorstellen.

Bitte um Hilfe!
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: Ziehe meinen ersten Einwand zurück und ergänze stattdessen, dass
 
 
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Okay und warum nicht?
Es werden doch die einzelnen Elemente der beiden Mengen addiert?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber nicht beliebige aus der einen und anderen, sondern immer nur eine bestimmte Kombination.

Nehmen wir mal an U wäre die x-Achse und V die y-Achse im , dann wäre U+V der komplette Raum, während dein nur eine Gerade wäre.
Welche, hängt von der Wahl der Vektoren ab.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ja, jetzt hat es Klick gemacht!
Dann kann man dies nicht mit Hilfe der Dimensionsformel beweisen, richtig?

Aber aus deinem Beispiel wird ja sichtbar, dass meine Annahme unmöglich ist.

Sei die x-Achse und die y-Achse im , dann ist ein Gerade.

Also ist ] und ist dann unmöglich 3, da wir uns im R^2 befinden...
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Es sollte nicht überraschen, dass mein Beispiel die allgemein gültige Aussage stützt. Ansonsten wäre es ja nicht wirklich sinnvoll Euch den Beweis abzuverlangen Augenzwinkern

Die Dimensionsformel kannst Du dafür schon benutzen, nur musst Du noch den Zusammenhang zwischen und herstellen, bzw. eine Abschätzung der Dimensionen finden.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Das fällt mir gerade etwas schwer, ich denke noch zu arg mit den Unterräumen, das hier sind nur Mengen...
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich nicht, denn wir reden ja über die Dimensionen der von diesen Mengen erzeugten Unterräume.

Ich hab allerdings bisher den Fehler gemacht, von zu reden. Gemeint war eigentlich usw.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das kann ich mir noch nicht so richtig vorstellen mit dem span, der span ist ja der kleinste Untervektorraum, der unsere Menge M1 enthält. Das heißt mit dieser Menge können wir alle möglichen Vektoren in V aufspannen. Das gleiche gilt für M2.
Das bedeutet doch auch, dass dim(M1)=dim(V) oder nicht? Denn beispielsweise im V=R^3 muss M1 mindestens aus 3 Vektoren bestehen damit jeder Vektor aus V erreicht werden kann. Ist das bisher korrekt?


Also nochmal übersichtlich:

M1 ist ein minimales Erzeugendensystem von V, jeder Vektor aus V lässt sich also als Linearkombination aus M1 darstellen. Meiner Meinung nach folgt hieraus, dass dim(M1)=dim(V)
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

und sind einfach nur irgendwelche Mengen mit r (nicht einmal notwenig verschiedenen) Vektoren. Die können theretisch sogar nur den Nullraum aufspannen, wenn alle r Vektoren Null sind. Für hätten wir es mir einem eindimensionalen Raum zu tun usw.
Es sind alle Dimensionen zwischen 0 und r denkbar.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt nochmal versucht es genauer zu formulieren, aber ob es so reicht weiß ich auch nicht.


Okay aber spannt den kompletten Raum von auf. So ist es richtig oder? Der kann wie gesagt beispielsweise eindimensional sein.

Nehmen wir an, der sei auch eindimensional.

Im wurden nun einfach Elemente aus und addiert. Sind diese Elemente nun weder identisch, noch vielfaches voneinander, spannt der eine Ebene auf.

Und nach der Dimensionsformel ist

Die Dimension der beiden Mengen, bzw des Span der beiden Mengen kann nun beliebig groß und verschieden sein. Jedoch kann der Span eines n-dimensionalen und eines m-dimensionalen Raumes zusammenaddiert keinen n+m+1-dimensionalen Raum aufspannen.

Somit ist die Annahme:



unmöglich!
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheNoobii
Im wurden nun einfach Elemente aus und addiert.

Eben nicht ! Es wird das i-te Element von mit dem i-ten von addiert.
Im Falle r=1 sind also alle drei Mengen Geraden. (Spezialfälle mit dem Nullvektor mal außen vorgelassen)
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Achso natürlich! Ich konnte wohl gestern nicht mehr logisch denken!Big Laugh

Bedeutet das eigentlich, dass die beiden Mengen M1 und M2 die gleiche Anzahl an Elementen haben müssen, um miteinander addiert werden zu können. Also für mich ist das jetzt logisch, dass



Aber wie beweise ich das jetzt mathematisch?

Also ich habe eine Menge 1 mit der dim(M1)=r und mit mindestens r Elementen im span(M1), das gleiche gilt für M2.

Nun addiere ich das i-te Element der Menge 1 mit dem i-ten Element der Menge 2.
Die Dimension von M12 bleibt = r, das bedeutet es sind immernoch r Elemente im span(M12).

Aber wie kann dann überhaupt der Fall:


entstehen?

Die Aufgabe macht mich echt wahnsinnig -.-
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

ist nur eine Menge von Vektoren, hat also im allgemeinen keine Dimension.
Um den Dimensionsbegriff ins Spiel zu bringen, musst Du schon die lineare Hülle dieser Mengen betrachten. Aber selbst dann lässt sich aus der Tatsache, dass r Elemente enthält nicht folgern, dass , sondern nur

Nachdem wir die Rahmenbedingungen einigermassen geklärt haben gehe ich mal zielgerichtetere mit meinen Tips vor. Lös Dich erst einmal von deiner Widerspruchsidee und versuche einen direkten Beweis.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen und und was folgt daraus für die Dimensionen der beiden Räume?
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das hab ich jetzt verstanden!

Wir addieren quasi die Vektoren aus dem mit den Vektoren aus dem
Dann verändern sich die einzelnen Elemente, aber es bleiben gleich viele Elemente.
Das bedeutet doch, dass sich die Dimension des nicht verändert?

Ich versteh nichtmal wie dieser Fall entstehen könnte:
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

z.B.

Du bist aber leider noch nicht auf meinen Hinweis eingegangen.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab den Zusammenhang zwischen und auch noch nicht wirklich verstanden.

Vielleicht würde ich es an einem Beispiel verstehen, also

und was ist ?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Es spielt keine Rolle was ist, denn es ist stets





Nimm Dir einmal ein beliebiges Element aus und überlege Dir, in welcher Menge dieses Element noch liegen muss.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Also tritt der Fall der Gleichheit nur dann ein, wenn der Span der einen Menge nur den Nullvektor enthält?

Eine Element aus ist beispielsweise und im Falle muss es auch im liegen?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zum ersten:
Nein, es könnte zum Beispiel auch sein. Dann sind auch die linearen Hüllen gleich und somit

Zum zweiten:
Warum nur für r=1?
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Ja okay, dies wäre auch noch eine Möglichkeit.

Das mit r=1 war nur ein Beispiel, aber ja das gilt ja im Prinzip für ein beliebiges r.

Okay, dann liegt dieses Element jetzt auch im Dort kann ich jetzt beliebig viele Elemente aus M1 + M2 hineinpacken.

Sprich Elemente mit und [latexv_r \in M_2[/latex] und sollten diese alle im gilt:

Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Seit wann gilt die "kleiner als" Relation für Mengen? verwirrt
Du bist auf dem richtigen Weg, aber noch lange nicht am Ziel.

Wir halten erst einmal fest: Jedes Element von liegt auch in . Was folgt daraus für die lineare Hülle von ?

Wende danach den Dimensionssatz an.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn alle Elemente aus in , dann folgt daraus für den, dass dieser nicht mehr Elemente besitzen kann, als die Menge . Was bedeutet, dass maximal:
gelten kann.

Und dann folgt mit Hilfe der Dimensionsformel,



dass auch
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Am Mittelteil der Begründung solltest Du noch arbeiten.
Bin allerdings erst wieder in 30 Minuten am PC, falls noch Fragen auftauchen.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ich mach mir nochmal Gedanken!

Vielen Dank für deine Hilfe und deiner Geduld smile
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