faire Rangfolge beim Würfeln

22.06.2013, 00:46

Dopap

faire Rangfolge beim Würfeln

Viele Würfelspiele sind "unfair", weil zum Beispiel der 3-Pasch schlechter als der 6-er Pasch ist.

Darüber entstand eine Diskussion mit der Massgabe ein Würfelspiel zu kreieren, das den weniger wahrscheinlichen Ereignissen höhere Priorität zuordnet.

Der Schüler hatte nun folgende Idee: man bildet die Augensumme S von 4 Würfeln und wertet sie nach dem Abstand zum Erwartungswert !! den er auch mit $\begin{eqnarray*} \overline S=14 \end{eqnarray*}$ ermittelte. ( Respekt ! )

Demnach war sein Ranking ( D= Abstand zu 14 )

0.) D=0 , S=14 schlechtester Wurf
1.) D=1 , also S=15 oder 13
2.) D=2 , also S= 16 oder 12
....
10.) D=10, also S=24 oder S=4 mit höchstem Ranking.

Gute Idee, nur ist die Frage ob das Ranking wirklich "sauber" ist?

22.06.2013, 09:37

HAL 9000

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Ich darf wohl davon ausgehen, dass dies

Zitat:

Original von Dopap
das den weniger wahrscheinlichen Ereignissen höhere Priorität zuordnet.

deine Definition von "sauberen" Ranking ist: D.h., je seltener das Ereignis, desto höher Wert $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ?

Das ist bei dieser Festlegung hier in der Tat erfüllt. Nachweisen könnte man die dazu notwendige Monotonie z.B. per Vollständiger Induktion über die Anzahl der Würfe.

22.06.2013, 20:10

Dopap

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@HAL: egal wie ich formuliere, mit oder ohne Hochkomma, oder auch ausführlich, immer stimmt irgendetwas nicht.

Ich hab mal das Ranking auf dem TR simuliert.:

Die Monotonie ist im Wesentlichen gegeben. Es zeigt sich aber, dass p(D=0) sich in der Gegend von p(D=4), p(D=5) einordnet. verwirrt

22.06.2013, 20:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
@HAL: egal wie ich formuliere, mit oder ohne Hochkomma, oder auch ausführlich, immer stimmt irgendetwas nicht.

Bitte sei doch nicht sauer, aber sauberes Ranking ist kein Begriff, der mir geläufig ist. Deswegen musste ich aus deinem Beitrag mutmaßen, was das sein soll. Ich hätte mich ja auch stur stellen und fragen können

"Was bitte soll ein sauberes Ranking sein?"

Das hätte dir vermutlich noch viel weniger gefallen. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Dopap
Es zeigt sich aber, dass p(D=0) sich in der Gegend von p(D=4), p(D=5) einordnet. verwirrt

Ok, D=0 ist natürlich ein Ausnahmefall, weil da nur eine Augensumme dazugehört, während alle anderen D-Werte zwei Augensummen zusammenfassen. Liegt natürlich an der geraden Zahl Würfen, bei 3,5,7... Würfen tritt der Effekt nicht auf.

22.06.2013, 21:31

Dopap

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um dem zuvorzukommen hatte ich das [ sauber ] in Hochkommas gestellt.

Nun, das leuchtet ein, hab' jetzt nochmal mittels $\begin{eqnarray*} ( x+x^2+x^3 +x^4 +x^5 +x^6 )^4 \end{eqnarray*}$ nachgerechnet,

und es gilt : $\begin{eqnarray*} p(D=4)=\frac {160}{1296} ,\qquad p(D=5)= \frac {112}{1296} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} p(D=0)=\frac {146}{1296} \end{eqnarray*}$

und somit würde dieser Fall tatsächlich im Ranking dazwischenliegen.

----------------------------------

jetzt kommt aber das Argument: wenn ich z.B. (3,3,3,3) würfele, dann ist das etwas Seltenes, genauer: $\begin{eqnarray*} p(\{(3,3,3,3)\})= \frac {1}{1296} \end{eqnarray*}$

im AugenSummenspiel wird dieser Fall nur als D=2 mit $\begin{eqnarray*} p(D=2) = \frac {250}{1296} \end{eqnarray*}$
sozusagen abqualifiziert. Also ungerecht.
Wie soll man aber nun ein Würfelspiel definieren, das ein gerechtes Ranking hat ?

22.06.2013, 21:45

HAL 9000

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Nun ja, dass es (3,3,3,3) ist, kann man ja aus der bloßen Information Augensumme=12 nicht erkennen.

Ich weiß nicht, was du willst. Dein Anliegen erinnert mich an die Frage nach der kleinsten uninteressanten natürlichen Zahl. Da kann man ja "beweisen", dass es die nicht gibt: Denn gäbe es sie, dann wäre diese Zahl wegen der Eigenschaft "kleinste uninteressante Zahl" interessant, Widerspruch.

Genauso kann man bei jeder Würfelbewertung immer wieder irgendeinen Makel hervorziehen, so dass man es am Ende sein lassen kann. Big Laugh

23.06.2013, 00:02

Dopap

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nun, for human brain ist die Frage schon klar. Deine aus Siliziumschaltkreisen kreierte Antwort aber auch.

Trotzdem:

Ich hab' nochmal nachgedacht und komme zu der Überlegung, dass eine Klasseneinteilung aller Ergebnisse helfen könnte.
Nehmen wir jetzt mal 5 Würfel, dann könnte man doch eine Klasseneinteilung nach Pokerart vornehmen:

1.) genau ein Paar
2.) genau 2 Paar
3.) genau 1 Drilling
4.) eine Strasse
5.) ein Full House
6.) genau 4 Gleiche
7.) genau 5 Gleiche
8.) sonstiges

diese Reihenfolge ist nun kein Ranking, das müsste erst noch berechnet werden!

Könnte man hier sagen, dass das dann "gerecht" wäre ? oder ist das prinzipiell nicht möglich ?

23.06.2013, 20:14

Dopap

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mangels Antworten versuch ich es selbst:

Auch das Augensummenspiel ist nur eine Klasseneinteilung der Ergebnismenge. Demnach kann man laut HAL 9000 viele beliebige Klasseneinteilungen und deren Wkts berechnen. Es würde immer irgendwelche Makel bleiben.

Meine Lösung: die Würfel werden nicht offen sondern verdeckt geworfen, und der Spielleiter ( hoffentlich vertrauenswürdig ! ) gibt nur die Information über die getroffene Klasse bekannt. Augenzwinkern

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