Bedingte Wahrscheinlichkeit

22.06.2013, 18:29

TimoX

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Hallo @ all,
aus einer Textaufgabe musste ich die bedingten Wahrscheinlichkeiten angeben.
Folgende Wahrscheinlichkeiten haben sich daraus ergeben:

Beschreibung:

$\begin{eqnarray*} W: Winter \overline{W}: kein Winter A: Krankheit A \overline{A}: keine Krankheit A B: Krankheit B \overline{B}: keine Krankheit B \end{eqnarray*}$

Folgende WS habe ich nun gegeben:
$\begin{eqnarray*} P(W)=0.25 P(\overline{W})=0.75 P(B|W)=0.4 P(B|\overline{W})=0.2 P(A|W)=0.6 P(A|\overline{W})=0.0 \end{eqnarray*}$

Einige Wahrscheinlichkeiten, wie bspw. P(A|B)= 0.6 oder P(B|A)= 0.4konnte ich bereits errechnen.
Auf 2 Fragestellungen finde ich aber jedoch irgendwie keine Antwort. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen:

1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten mindestens einer Krankheit!

2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es Winter ist, wenn jemand an B erkrankt ist.

Vielen Dank im Voraus!

23.06.2013, 12:40

Math1986

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit
1) Berechne die Wahrscheinlichkeit für keine Krankheit, also die Gegenwahrscheinlichkeit. Ein Baumdiagramm ist hilfreich.

23.06.2013, 13:53

TimoX

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Kann ich zu Teil 1) das nicht so berechnen?
P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

23.06.2013, 14:00

TimoX

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Sorry war ohne Latex:
Kann ich das nicht so berechnen?

$\begin{eqnarray*} P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \end{eqnarray*}$

23.06.2013, 14:54

Math1986

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit

Zitat:

Original von TimoX
Sorry war ohne Latex:
Kann ich das nicht so berechnen?

$\begin{eqnarray*} P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \end{eqnarray*}$

Ja, das geht wenn du die einzelnen Summanden berechnen kannst.

23.06.2013, 15:17

TimoX

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Ok super danke!
Und wie sieht es mit der zweiten Frage aus? Ich habe mir folgendes überlegt:

$\begin{eqnarray*} P(hoechstens einer der beiden Krankheiten)=P(A| \overline{B} ) \cup P(B| \overline{A}) \cup P( \overline{A} | \overline{B} ) \end{eqnarray*}$

Wenn die Ereignisse A und B unabhängig sind, dann ist doch
$\begin{eqnarray*} P(A| \overline{B} ) = P(A) \end{eqnarray*}$

Oder sehe ich das falsch?

23.06.2013, 16:02

Math1986

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit

Zitat:

Original von TimoX
Ok super danke!
Und wie sieht es mit der zweiten Frage aus? Ich habe mir folgendes überlegt:

$\begin{eqnarray*} P(hoechstens einer der beiden Krankheiten)=P(A| \overline{B} ) \cup P(B| \overline{A}) \cup P( \overline{A} | \overline{B} ) \end{eqnarray*}$

Das Vereinigungszeichen macht an der Stelle keinen Sinn.
Wie kommst du auf die Formel? Das scheint mir nicht richtig zu sein.

Zitat:

Original von TimoX
Wenn die Ereignisse A und B unabhängig sind, dann ist doch
$\begin{eqnarray*} P(A| \overline{B} ) = P(A) \end{eqnarray*}$

Ja, wenn sie unabhängig sind, was erstmal zu zeigen wäre...

23.06.2013, 16:59

TimoX

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Laut Aufgabenstellung sind A und B unabhängig voneinander.

D.h. ich müsste ja eigentlich berechnen:
$\begin{eqnarray*} P(hoechstens einer der beiden Krankheiten)=P(A| \overline{B} ) + P (B| \overline{A} ) + P ( \overline{A} | \overline{B} ) + P ( \overline {B} | \overline{A} ) \end{eqnarray*}$

Somit wären doch alle Möglichkeiten abgedeckt oder habe ich hier einen Denkfehler?

23.06.2013, 18:26

Math1986

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Zitat:

Original von TimoX
Laut Aufgabenstellung sind A und B unabhängig voneinander.

Aha. Davon steht im Eingangspost aber nichts. Poste doch mal die komplette Aufgabenstellung, dann muss ich nicht immer nachfragen.

Zitat:

Original von TimoX
D.h. ich müsste ja eigentlich berechnen:
$\begin{eqnarray*} P(hoechstens einer der beiden Krankheiten)=P(A| \overline{B} ) + P (B| \overline{A} ) + P ( \overline{A} | \overline{B} ) + P ( \overline {B} | \overline{A} ) \end{eqnarray*}$

Somit wären doch alle Möglichkeiten abgedeckt oder habe ich hier einen Denkfehler?

Warum sollte dies gelten? verwirrt

23.06.2013, 19:56

TimoX

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Ok hier die Aufgabe:
Es sollen die Krankheiten A und B untersucht werden. Diese treten zwar unabhängig voneinander auf, sind jedoch von der Jahreszeit abängig. Krankheit A kommt nur im Winter vor mit einer Wahrscheinlichkeit von 60%. Die Wahrscheinlichkeit an B zu erkranken beträgt im Winter 40%, im Rest des Jahres 20%. Es wird angenommen, dass der Winter 25% des Jahres andauert.

Teilaufgabe x)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten höchstens einer der beiden Krankheiten.

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