Lineare Abbildungen surjektiv, bijektiv und injektiv ?

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Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildungen surjektiv, bijektiv und injektiv ?
Vorbetrachtung:

Gegeben sei die Lineare Abbildung f: V-> W . Wenn sie noch nicht in Matrixform ist, sollte ich sie in eine Matrix überführen.

1) Die Abbildung ist genau dann injektiv, wenn ihr Kern nur den Nullvektor enthält, also die Spaltenvektoren der Matrix linear unabhängig sind und die Lösungsmenge nur die triviale ist. Das erreich ich mithilfe Gauß und der Stufenform sehr schnell. Das reicht bereits um die injektivität einer Linearen Abbildung zu zeigen.

2) Wann ist sie surjektiv? Etwa wenn die Anzahl der Spaltenvektoren der Matrix (Also die Bilder) gleich der Dimension von W sind? bzw. der Rang der Matrix gleich der Dimension von W ist?

3) Bijektiv=Surjektiv + Injektiv

Alles richtig interpretiert und verstanden?

Nun zu meinen Aufgaben. Gegeben seien drei Lineare Abbildungen f1,f2,f3: IR^3->IR^3 mit jeweils einer Matrix. Alle drei Matrizen sind in der Form 3x3 (3 Spalten, 3 Zeilen) bezüglich der E3 definiert. Damit wird doch E3={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} gemeint oder? Nun soll ich entscheiden ob diese, injektiv, surjektiv, bijektiv sind.

Meine Frage: Ich muss nun einfach alle drei Matrizen gleichsetzen mit der Standardbasis E3 bzw. eine Koeffizientenmatrix erstellen. Dann bring ich sie einfach auf Stufenform und löse jeweils das LGS. Und schaue dann letztendlich was alles zutrifft.

Das war es oder?
Da
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Niemand eine Idee ?
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildungen surjektiv, bijektiv und injektiv ?
Man kann doch am Rang sehen, ob die Abbildungsmatrix injektiv, surjektiv oder bijektiv ist?

LG


Edit: Und mit ist die Einheitsmatrix im gemeint, ja.
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wie ich zu entscheiden habe ob eine Abbildung surjektiv, bijektiv oder injektiv ist, glaube ich mal verstanden zu haben, sofern meine Erwähnungen im ersten korrekt sind (Was ich auch glaube).

Mich irritiert nun, das die Abbildungen bezüglich der Standardbasis E3 definiert sind. Heißt das den nun das ich einfach die einzelnen Matrizen gleichsetzen muss mit E3={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}. Also alle drei Matrizen werden zu Koeffizientenmatrizen mit jeweils 6 Spalten.
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