Aufgabenstellung unklar (Matrix, Determinante)

24.06.2013, 15:02

3asy

Aufgabenstellung unklar (Matrix, Determinante)

Meine Frage:
Gegeben ist folgende Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & a & b & c \\ -a & 0 & d & e \\ -b & -d & 0 & f \\ -c & -e & -f & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun steht da als Aufgabe: "Schreiben Sie die Determinante als Quadrat eines Polynoms in den Variablen."

Was ist damit gemeint? Wie soll ich das als quadriertes Polynom ausdrücken?

Meine Ideen:
Hab schon einmal die Determinante berechnet. Diese sieht folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} -c(-adf+bde-cd^2)+e(b^2e-bdc-abf)-f(-acd+abe-a^2f) \end{eqnarray*}$

was sich umformen lässt zu

$\begin{eqnarray*} be(be-af-cd)-af(be-af-cd)-cd(be-af-cd) \end{eqnarray*}$

Wie drückt man das nun als "quadriertes Polynom in den Variablen" aus?

24.06.2013, 15:31

alterHund

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af, be, cd sind quadratisch enthalten; jetz schau mal, mit welchen Vorzeichen die versehen werden müssen,
damit die acdf, bcde, abef die richtigen Vz bekommen

24.06.2013, 15:56

3asy

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Zitat:

Original von alterHund
af, be, cd sind quadratisch enthalten; jetz schau mal, mit welchen Vorzeichen die versehen werden müssen,
damit die acdf, bcde, abef die richtigen Vz bekommen

Was meinst du mit "richtigen Vz bekommen"? Wann ist ein Vorzeichen denn "richtig"?

24.06.2013, 16:34

alterHund

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wenn die mischprodukte aus (...)^2 die richtigen Koeffizienten bekommen, die, die sie auch in der
voll ausmultiplizierten Det. haben.

24.06.2013, 17:43

3asy

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Sorry wenn ich mich so doof anstelle, aber ich weiss nicht was dein letzter satz mir sagen soll.

Hab die Det jetz einfach ma ausmultipliziert:

$\begin{eqnarray*} be^2-af^2-cd^2-2beaf-2becd-2afcd \end{eqnarray*}$

alle vorzeichen sind negativ ausser das von $\begin{eqnarray*} be^2 \end{eqnarray*}$

Inwiefern hilft mir das?

EDIT: Ich möchte nur noch einmal darauf hinweisen, dass meine Frage sich auf die Formulierung "Quadrat eines Polynoms in den Variablen" bezieht. Mein Mathedeutsch ist leider grottig.

24.06.2013, 17:58

alterHund

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die ausmultiplizierte Det. kann nicht stimmen, in jedem Monom muß die Summe der Exponenten 4 sein

24.06.2013, 18:25

3asy

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Zitat:

Original von alterHund
die ausmultiplizierte Det. kann nicht stimmen, in jedem Monom muß die Summe der Exponenten 4 sein

Jepp, sorry. Hab die Klammern vergessen. Nochma richtig:

$\begin{eqnarray*} (be)^2-(af)^2-(cd)^2-2beaf-2becd-2afcd \end{eqnarray*}$

24.06.2013, 18:42

alterHund

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mach mal mit dem Anhang weiter
und
entscheide welche Vz von
$\begin{eqnarray*} (v_1*a*f+v_2*b*e+v_3*c*d)^2 \end{eqnarray*}$
negativ sein müssen

24.06.2013, 18:52

3asy

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v1 wäre negativ
v2 wäre positiv
v3 wäre wieder negativ.

Als Quadrat würde dann also da stehen: $\begin{eqnarray*} (-a*f+b*e-c*d)^2 \end{eqnarray*}$

Wäre das die Lösung?

24.06.2013, 19:05

alterHund

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ich hatte mich bei der Eingabe ins CAS vertipp ( 2te Zeile, 2ter Summand muß b*c*d sein )

die Lösung ist (a*f-b*e+c*d)^2, wie ich auch ohne CAS schon heraushatte

24.06.2013, 19:19

3asy

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Zitat:

Original von alterHund
ich hatte mich bei der Eingabe ins CAS vertipp ( 2te Zeile, 2ter Summand muß b*c*d sein )

die Lösung ist (a*f-b*e+c*d)^2, wie ich auch ohne CAS schon heraushatte

Alles Klar! Danke für die hilfreiche Unterstützung.

24.06.2013, 21:51

mYthos

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Wenn alle Vorzeichen in der Klammer wechseln, bleibt das Ergebnis wegen des Quadrates richtig. (-a)² = (+a)²

@3easy
Daher stimmte zuletzt dein Resultat.

mY+

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