Unterschied Vektorraum und affiner Raum

24.06.2013, 20:14

Chrilo

Unterschied Vektorraum und affiner Raum

Hallo

ich muss nächsten Dienstag für mein Seminar Fachdidaktik Algebra eine Unterrichtsstunde über
"affine Abbildungen, affine Räume" halten.

Leider komm ich mit den affinen Räumen noch nicht so klar.

Bin gerade dabei die Unterschiede rauszufinden.

Ich weiß schonmal das die Elemente des affinen Raums Punkte sind und die eines Vektorraums Vektoren.

Gibts da noch mehr Unterschiede die von Bedeutung sind?

25.06.2013, 18:37

Elvis

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Nö, abgesehen davon, dass das völlig verschiedene Dinge sind, gibt es keine Unterschiede. Big Laugh

Viel interessanter ist die Frage, was ein affiner Raum mit einem Vektorraum zu tun hat. Lehrer

Ich würde nachlesen bei (Hans-Joachim Kowalsky, Lineare Algebra, Kapitel 7 "Anwendungen in der Geometrie", § 26 "Affine Räume" und § 27 "Affine Abbildungen"), da steht alles.

25.06.2013, 19:07

Leopold

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Von einem affinen Raum spricht man, wenn man zwei Sorten von Objekten hat, die miteinander in bestimmter Art und Weise interagieren.

Erste Sorte von Objekten:
Punkte $\begin{eqnarray*} P,Q,R,\ldots \end{eqnarray*}$

Zweite Sorte von Objekten:
Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}, \ldots \end{eqnarray*}$

Die Vektoren sind Elemente eines reellen Vektorraums (in der Praxis ist das meist der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ als Menge der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Tupel reeller Zahlen) und können somit addiert, subtrahiert und skalar multipliziert werden.

Auf den Punkten gibt es keine algebraische Struktur, allerdings besteht folgender Zusammenhang zu den Vektoren.

1. Zwei Punkte $\begin{eqnarray*} P,Q \end{eqnarray*}$ bestimmen eindeutig einen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ , meist als $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ} \end{eqnarray*}$ bezeichnet, also $\begin{eqnarray*} \vec{u} = \overrightarrow{PQ} \end{eqnarray*}$

2. Zu einem Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ und einem Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ gibt es genau einen Punkt $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \vec{u} = \overrightarrow{PQ} \end{eqnarray*}$

3. Für Punkte $\begin{eqnarray*} P,Q,R \end{eqnarray*}$ gilt die Regel von Chasles: $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR} \end{eqnarray*}$

Ist der Vektorraum $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensional, so nennt man auch den affinen Raum $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensional.

Das ist alles sehr abstrakt, läuft aber bei Konkretisierung auf nichts anderes hinaus, als was du aus der Schule schon kennst. Unter $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ} \end{eqnarray*}$ stellst du dir einfach den Vektor vor, der durch den Pfeil von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ bestimmt wird. Beachte, daß zwar die Punkte den Vektor eindeutig bestimmen, jedoch der Vektor die Punkte nicht. Denn sind Pfeile parallel, gleich lang und gleich gerichtet, so bestimmen sie auch denselben Vektor. Du kannst nun jeden Vektor eindeutig als Linearkombination bezüglich einer geordneten Basis schreiben. Dann bestimmen die Koeffizienten der Linearkombination ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Tupel, und der Zusammenhang zum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ist hergestellt.
Mache dir Regeln 2. und 3. an Zeichnungen klar. Sie legen nur das fest, was du schon immer getan hast.

26.06.2013, 12:33

Chrilo

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Danke schonmal für die schnellen Antworten Freude

Zitat:

als was du aus der Schule schon kennst

Das habe ich auch schon von meinem Dozenten gehört und das macht mich glaube so unsicher, weil es wahrscheinlich einfacher ist als ich mir momentan vorstellen kann.

Ich kann ja schonmal sagen was ich zu affinen Räumen weiß:

- Die Elemente sind Punkte
- Ich benötige einen Vektorraum als Hilfsraum um Operationen ausführen zu können

Meine Fragen sind jetzt:

1. Mein Dozent sagte das ich eigentlich in Vektorräumen keine Abstände messen kann. Das wäre z.B. ein Beispiel wie man in der Schule auf affine Räume angewiesen ist. Ich verstehe nicht wieso ich keine Abstände messen kann.

2. Warum kann ich keine Operationen im affinen Raum ausführen sondern brauche immer ein Vektorraum? (Nur weil es in den Axiomen so gefordert wird?! verwirrt

)

17.07.2013, 21:29

Sheldon C

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zu 1.) also ein Vektorraum besteht ja wie der name sagt aus Vektoren und zwischen Vektoren kann man keine Abstände bestimmen da diese ja nur "Richtungen" angeben

zu 2.) wie du schon gesagt hast besteht dein affiner Raum nur aus Punkten erst mit der Verbindung eines Vektorraums kannst du etwas mit den Punkten anfangen, da du sonst ja mit einer operation auf einem affinen Raum wieder im affinen Raum landen müsstest das heißt du würdest von 2 Punkten auf einen anderen Punkt abbilden :S

18.07.2013, 00:12

Dopap

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Ich versuch es nochmal zu vereinfachen:

Es gibt den Abschauungsraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3. \end{eqnarray*}$

In diesem Raum kann ich aber gewisse Dinge wie Abstände, oder senkrecht stehen nicht behandeln. Deshalb gibt es den Zahlenvektorraum.
Dieser verknüpft die Elemente des Anschauungsraumes auf geeignete Weise.

somit sind obige Probleme lösbar, wenn auch ein wenig formal.

Alles Zusammen ist der affine Raum.

Kurz: der normale Anschauungsraum, in dem ich rechnerisch Geometrie machen kann.

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