Hauptminoren einer Matrix

26.06.2013, 11:55	3asy	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptminoren einer Matrix Meine Frage: Folgende Aufgabe ist gegeben: Es seien $\begin{eqnarray} m \leq n \end{eqnarray}$ zwei natürliche Zahlen. Für eine Matrix $\begin{eqnarray} A \in \mathbb R^{n\times m} \end{eqnarray}$ nennen wir die Determinanten aller $\begin{eqnarray} m\times m \end{eqnarray}$ -Untermatrizen von A die Hauptminoren von A. Zeigen Sie, dass eine Menge von Vektoren $\begin{eqnarray} v_1,...,v_m \in \mathbb R^n, m \leq n, \end{eqnarray}$ genau dann linear unabhängig ist, wenn mindestens ein Hauptminor der Matrix $\begin{eqnarray} (v_1,...,v_m) \end{eqnarray}$ , mit diesen Vektoren als Spalten, nicht verschwindet. Nun zu meinen Fragen: 1. Sind die Hauptminoren nun die einzelnen Determinanten der Untermatrizen oder handelt es sich hierbei um die Summe aller Determinanten der Untermatrizen? 2. was ist mit "wenn mindestens ein Hauptminor nicht verschwindet" gemeint? Soll das heissen, dass die Determinante der Untermatrix ungleich 0 sein soll? "verschwindet" ist ein doofes wort. Meine Ideen: Könnte man das Problem angehen indem man sich eine Untermatrix anschaut und, falls die Determinante der Untermatrix ungleich 0 ist, etwas mit der daraus resultierenden Invertierbarkeit der Untermatrix anfangen?
26.06.2013, 17:51	3asy	Auf diesen Beitrag antworten »
weiss jemand etwas mit den Begriffen anzufangen? Grüße
26.06.2013, 22:41	3asy	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich verzweifle hier wirklich ^^ sitze schon seit einigen stunden an dieser aufgabe und mir wird gerade klar dass ich ne pause brauche. Sorry für den Dreifachpost, aber ich hoffe mal dass sich morgen vllt jemand bereit erklärt und mit mir zusammen nen Ansatz ausarbeitet
27.06.2013, 00:02	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
nur zur Klarheit: 1.) ein Hauptminor ist die Determinante entstanden durch Streichung derselben Zeile und Spalte der Matrix. also keine Summe 2.) mindestens ein Hauptminor nicht verschwindet $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ es gibt einen Hauptminor der nicht Null ist. andere Formulierung : nicht alle Hauptminoren sind Null.

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