algebraische und geometrische Nullstellen

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Feete Auf diesen Beitrag antworten »
algebraische und geometrische Nullstellen
Hallo ihr Lieben,

im Rahmen meiner Klausurvorbereitung bin ich auf etwas gestossen, was ich noch nicht ganz verstanden habe.

Bei dem berechnen von Eigenwerten von Endomorphismen haben wir sehr oft eine doppelte oder dreifache Nullstelle des Charakteristischen Polynoms. Dies bedeutet doch, dass diese eine algebraische Vielfachheit besitzt.
Um weiter rechnen zu können (meist geht es dann um die Eigenvektoren, Eigenräume oder Basen) muss ich ja überprüfen, ob diese algebraische Vielfachheit auch eine geometrische Vielfachheit ist.
Wie genau kann ich das denn überprüfen?

LG
Feete
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Feete,

deine Formulierungen hier sind etwas seltsam; ich vermute es verbergen sich noch massive Verständnis- und Definitionsprobleme.

Jede Nullstelle des char. Polynoms hat eine alg. Vielfachheit, auch einfache Nullstellen.
(Genaugenommen haben auch nicht-Nullstellen eine alg. Vielfachheit, nämlich 0).
Die alg. Vielfachheit von a bzgl. des Polynoms p ist die größte natürliche Zahl n mit so dass h ein Polynom ist.
Anders ausgedrückt: Die Vielfachheit der Nullstelle.

Die geometrische Vielfachheit eines EW ist die Dimensions des Eigenraums von , d.h. der Menge aller Eigenvektoren zu inklusive der Null.

Es gilt:
Feete Auf diesen Beitrag antworten »

Ja es stimmt schon, ich blicke da noch nicht ganz durch verwirrt .

Vlt. mache ich das mal an einem Beispiel fest bei dem es um die diagonalisierbarkeit geht.

Ich habe hier einen durch die Matrix:
gegebenen Endomorphismus f.
Nun soll ich zeigen, ob f diagbar ist und eine Basis B finden, sodass diagonalform hat.

Ich hab das folgendermaßen gemacht:

1.) ich habe das Chatakteristische Polynom aufgestellt und die Eigenwerte



brechnet. (Hier setzt dann auch gleich der Knackpunkt an.)

Nun haben wir zwei definitionen für die diag.barkeit von f gegeben.

Folgende habe ich genutzt, finde die aber vom Rechenaufwand für eine Klausur eher unangebracht:



Da bekomme ich nach längerem rechnen auch null raus und somit ist f diagbar.
(Wobei die 2 nur einmal eingestezt wird)

Nun haben wir aber auch die Definition: f ist diag.bar, wenn dass charakteristische Polynom in verschiedene linearfaktoren zerfällt (Also genau dann wenn es n verschiedene Eigenwerte gibt.)
Wie kann ich denn zeigen (ohne das lange gerechnen von mir) das der berechnete EW und zwei "verschiedene" Eigenwerte bezeichnen.

Dafür müsste ich doch zeigen, dass die geometrische Vielfachheit von den Lambdas auch 2 ist oder nicht?
Wenn ja wie mache ich das denn?
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Folgende habe ich genutzt, finde die aber vom Rechenaufwand für eine Klausur eher unangebracht:

Du setzt also A in das char. Polynom ein? (Oder soll das hier das Minmalpolynom sein?)
Das ergibt nach Caley-Hamilton für jede Matrix A Null und sagt nichts über Diagonalisierbarkeit aus.

Zitat:
Nun haben wir aber auch die Definition: f ist diag.bar, wenn dass charakteristische Polynom in verschiedene linearfaktoren zerfällt (Also genau dann wenn es n verschiedene Eigenwerte gibt.)

Das in den Klammern ist falsch. Es gibt (mit alg. Vielfachheit gezählt) n Eigenwerte. Diese müssen nicht verschieden sein.
Anders ausgedrückt: p lässt sich schreiben als mit
("Die Summe der alg. Vielfachheiten der Eigenwerte ist n")

Zitat:
Wie kann ich denn zeigen (ohne das lange gerechnen von mir) das der berechnete EW und zwei "verschiedene" Eigenwerte bezeichnen.

Gar nicht. Es ist der selbe Eigenwert.
Um zeigen, dass die Matrix invertierbar ist muss die geometrische Vielfachheit des EW 2 berechnet werden und 2 sein.
Feete Auf diesen Beitrag antworten »

hm hab zu dem ersten gerade noch einmal in meinen VL Unterlagen geblättert und da steht das genau so drin. Ich zitiere kurz:

2.5.5 Satz:

Sei und die versch. EW von f.

Dann gilt:
diagonalisierbar

2.5.6 Anwendung:

Diagbarkeitstest für

1.) Bestimmen der Nullstellen des charakteristischen Polynoms

2.) Berechne:

Dann gilt: A diagbar B=0

Also sollte das so auch stimmen denke ich...

Aber ich habe beim weiterrechnen jetzt auch verstanden was es mit der geometrischen Vielfachheit auf sich hat...glaube ich zumindest...

Denn wenn ich zu dem oben genannten BSP. weiterrechne bekomme ich zu einen Eigenraum mit 2 linear unabhängigen Eigenvektoren raus.
Das sollte dann doch zeigen, dass die algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen Vielfachheit ist und somit ist f also dann diagbar ?!?!?!?!?!?!?!
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also sollte das so auch stimmen denke ich...

Ja es stimmt.
Fällt dir auf was ich in meinem letzten Post in Klammern geschrieben hab?
Nur einen Term mit undefinierten Variablen hinzuschreiben ist halt noch keine vollwertige Aussage.
Und ja das Verfahren ist i.d.R. aufwändiger als das Zweite, das auch schneller die Basis der Eigenräume ausspuckt.

Zitat:
Das sollte dann doch zeigen, dass die algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen Vielfachheit ist und somit ist f also dann diagbar ?!?!?!?!?!?!?!

Tut es. Die übermäßig verwendeten Satzzeichen deuten allerdings darauf hin, dass du noch nicht sicher bist. Wo hängt es?
 
 
Feete Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube schon, dass ich es einigermaßen verstanden habe. Gibt es allerdings ein schnelleres verfahren um diegbarkeit zu zeigen? Ich gehe nicht davon aus, dass unser prof in der Klausur ein übermäßig schwere Matritze verwendet, ich muss halt einfach noch ein wenig üben, was das Gaußverfahren angeht um die Eigenvektoren auch recht schnell bestimmen zu können Augenzwinkern .

Hab aber vielen Dank für die Hilfe. Damit kann ich nun einen großen Teil der VL (und der Klausur schätze ich) lösen smile .

Mir ist nur noch nicht ganz klar warum der Mathematiker/die Mathematikerin das überhaupt macht.
Ist es einfach bequemer mit solchen diagonalmatritzen dann bestimmte eigneschaften der ausgangsmatrix zu zeigen?
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

- Mir ist kein Verfahren das Diagonalisierbarkeit bzw. die Diagonalisierung schneller durchführt als der den wir hier hatten
- Der Singular von Matrizen ist Matrix. Eine Matrize ist ein Objekt des Druckwesens.
- Der Mathematiker diagonalisert gern weil der Endomorphismus so angenehmer dargestellt werden kann.
Ein großer Vorteil ist, dass Diagonalmatrix sehr einfach potenziert werden können. Das hilft z.B. beim Lösen von Differentialgleichungen. Es gibt auch Anwendungen in der Bildverarbeitung und garantiert noch etliche die mir nicht einfallen.
Feete Auf diesen Beitrag antworten »

Super vielen vielen Dank!!!!!

Hab mich auch gerade noch ein wenig mit Haupträumen beschäftigt smile

Jetzt fehlt nur noch die Jordan-Normalform und dann kann die Klausur kommen Big Laugh .

Vielen Dank für die große Hilfe Gott
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