Körper

26.06.2013, 18:01	Informatiker94	Auf diesen Beitrag antworten »
Körper Hi, ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} <br /> F_9 := \{\begin{pmatrix}a& -b\\b &a\end{pmatrix} \|a,b\in Z_3\}<br /> \end{eqnarray}$ ein Körper mit 9 Elementen ist. Klar kann ich alle einzelnen Bedingungen durchgehen, wollte aber vll. eine argumentative Lösung o.ä. geben. Idee: Reicht es aus, einen Isomorphismus von $\begin{eqnarray} Z_3^{2}\longrightarrow F_9 \end{eqnarray}$ anzugeben? So wie ich das verstanden habe, überträgt sich ja die Gruppenstruktur von $\begin{eqnarray} Z_3 \end{eqnarray}$ (also bzgl. + und ) auf $\begin{eqnarray} F_9 \end{eqnarray*}$ . Und somit müsste das ja auch bei einem "Körperisomorphismus" so sein. Würde gerne eure Meinung dazu hören. Dieses ständige abklappern der Axiome nervt nämlich gewaltig :S lg
26.06.2013, 18:10	watcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Informitiker94, anscheinend hast du aber noch nicht oft genug Axiome abgeklappert: $\begin{eqnarray} \mathbb Z_3^2 \end{eqnarray}$ ist kein Körper.
26.06.2013, 18:14	Informatiker94	Auf diesen Beitrag antworten »
Hehe, danke für die Schlagfertigkeit. Du hast natürlich recht, ich habe übersehen, dass wenn $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein Körper ist, $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ ebenfalls ein Körper ist, keine wahre Aussage ist. Also muss ich es wohl auf die schmerzvolle Art lösen lg
26.06.2013, 18:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie diese Menge definiert ist, hast du schon mal einen Vektorraum, also eine additive abelsche Gruppe. Die Einheitsmatrix dient als neutrales Element der Multiplikation, jetzt musst du nur noch die von 0 verschiedenen Elemente zur Multiplikativen Gruppe machen und das Distributivgesetz nachweisen.
26.06.2013, 18:26	Informatiker94	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, und zu zeigen, dass der Körper genau 9 Elemente hat, dafür reicht es doch aus, zu sagen, dass alle Elemente $\begin{eqnarray} 2\times 2 \end{eqnarray}$ Matrizen sind. $\begin{eqnarray} Z_3 \end{eqnarray}$ ist ein endlicher Körper mit 3 Elementen, folglich gilt für den $\begin{eqnarray} Z_3 \end{eqnarray}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray} F_9 \end{eqnarray}$ , dass es 3*3=9 Elemente hat, oder? lg
26.06.2013, 18:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist so, weil a und b unabhängig frei wählbar sind, ja. (2x2 Matrizen haben 4 Elemente !)
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »