Funktion, Einheitskreis, Integral mit Rotation

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Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion, Einheitskreis, Integral mit Rotation
Meine Frage:
Guten Morgen allerseits. Gegeben sei die Menge


und die Funktion
Berechnen Sie das Integral , indem Sie
als Rotationskörper auffassen, der durch Rotation der Kurve , um die z-Achse entsteht.

als Graphen einer Funktion auf dem offenen Einheitskreis auffassen.


Meine Ideen:
Der Wurm sitzt tief. Ich weiß nicht wie ich mir solche Mengen zeichnen soll. Ich weiß einfach nicht in was für einem Bereich ich es zu tun habe, bzw. in welcher Menge. Somit kann ich die Kurve nicht parametrisieren. Ich soll es bei a) als Rotationskörper auffassen, der durch Rotation der Kurve um die z-Achse entsteht... Ich bin hoffnungslos verzweifelt und nehme Hilfe in jeglicher Form wirklich dankbar entgegen.

LG Paula
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion, Einheitskreis, Integral mit Rotation
Ich soll ja bei das Integral des Rotationskörpers berechnen. Ein Rotationskörper ist ja eine Oberfläche die durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Rotationsachse gebildet wird. Unsere Rotationsachse ist ja und unsere Kurve . Was ist jetzt genau dieser Bereich:

bzw. was sagt mir das, dass nur im Intervall 0 bis 1 um die x-Achse rotiert?

Aber was sagt mir dann die Menge ?

Ich hoffe heute hilft mir mal jmd, das würde mich sehr freuen. Danke.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Beim Term sollte dir immer der Gedanke "Kreis" kommen. Nehmen wir uns die Gleichung einmal vor. Nach Vorgabe soll die rechte Seite zwischen und variieren. Als Beispiel nehmen wir :



In der -Ebene ist das ein Kreis vom Radius mit dem Ursprung als Mittelpunkt. Da aber ist, müssen wir den Kreis noch um eben diesen Wert in -Richtung anheben. Lange Rede, kurzer Sinn: Schneidet man den Körper beim Niveau parallel zur -Ebene durch, erhält man eine Kreislinie vom Radius .

Das können wir aber nun für jedes machen: Schneidet man den Körper beim Niveau parallel zur -Ebene durch, erhält man einen Kreis vom Radius , dessen Mittelpunkt auf der -Achse liegt. Das erklärt, warum es sich bei um eine Rotationsfläche handelt. Die -Achse ist die Rotationsachse.

Um sich nun diese Rotationsfläche vorstellen zu können, zeichnet man ihren Schnitt mit der -Ebene (oder -Ebene). Sind wir in der -Ebene, so ist , die Gleichung wird zu



In der -Ebene ist das die Standardparabel. Wenn diese Parabel um die -Achse rotiert, entsteht der Rotationskörper. Hier handelt es sich also um ein Paraboloid zwischen den Niveaus und . Und ist die Oberfläche dieses Rotationskörpers.

Auf dieser Oberfläche ist jetzt eine Funktion definiert.

Beispiele:


ist nicht erfüllt, der Punkt liegt nicht auf und damit nicht im Definitionsbereich von .


ist erfüllt, der Punkt liegt daher auf und der Funktionswert ist .

Und jetzt sollst du das Integral berechnen. Dazu brauchst du eine Parametrisierung der Fläche. Ich vermute, daß a) so gemeint ist, daß du für jedes zulässige den entsprechenden Kreis parametrisieren sollst. Für führen wir den Parameter ein: . Er variiert also im Intervall . Wie wir schon sahen, ergibt sich dann in der -Ebene ein Kreis vom Radius . Den kann man bekanntermaßen durch parametrisieren, wobei etwa das Intervall durchläuft. Für hat man also den Parameterbereich



Alles schön aufgeschrieben, ist



die gesuchte Parametrisierung von . Und das Oberflächenintegral ist durch



definiert.
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Alles schön aufgeschrieben, ist



die gesuchte Parametrisierung von . Und das Oberflächenintegral ist durch



definiert.


Oh danke Himmel Donner Wetter das ist ein Geschenk deinerseits. Gott Ich verstehe jedoch nicht wieso

noch das als dritte Komponente bzw. Achse auftaucht. Eig sollte das doch auf eine Funktion des nach
Dann müsste man doch auch die dritte Achse in die Funktion einsetzen?

Eig verstehe ich wie man das jetzt berechnen müsste, die Parametrisierung in die Funktion einsgesetzt skalarmäßig multipliziert mit dem Kreuzprodukt des Betrages halt, der partiellen Ableitung.

Das verstehe ich aber richtig:

Eig noch von , aber das ist ja Null, oder?



Die Grenzen verstehe ich noch nicht ganz also einerseits für beide Integrale? Also wir haben es ja mit einem Doppelintegral zu tun.

verwirrt Danke vielmals für deine Hilfe.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Parameterdarstellungen von Flächen enthalten zwei Parameter . Die Punkte der Fläche liegen jedoch im -dimensionalen Raum, in unserem Fall im dreidimensionalen Raum. Deswegen hängt von zwei Variablen ab (den Parametern), während die Bilder von drei Koordinaten besitzen. Wie man auf die Parameterdarstellung kommt, habe ich im Text davor ausführlich erläutert.

Zitat:
Original von Pauline21
Die Grenzen verstehe ich noch nicht ganz also einerseits für beide Integrale?


Das steht nirgendwo. Lies genau.
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »













Könnte jemand überprüfen ob das stimmt? Das wäre super. Das mit den Grenzen ist mir noch unklar verwirrt

Mfg die dankende Paula
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pauline21




Stimmt. (EDIT: Stimmt doch nicht, siehe die folgenden Beiträge)

Zitat:
Original von Pauline21



Stimmt nicht. Das Kreuzprodukt ergibt .

Zitat:
Original von Pauline21
Das mit den Grenzen ist mir noch unklar verwirrt


Die Grenzen stehen da:

Zitat:
Original von Leopold
Für führen wir den Parameter ein: . Er variiert also im Intervall ... wobei etwa das Intervall durchläuft.


Und auch hier nochmal:
Zitat:
Original von Leopold
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Stimmt nicht. Das Kreuzprodukt ergibt


Also ich weiß nicht wie man auf das Kreuzprodukt kommt, also das Kreuzprodukt bzw. Vektorprodukt ist ja definiert als:




Unser in unserem Fall also sind die Terme alle Null. Somit bleibt doch nur die z-Komponente die ungleich Null ist geschockt
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »



Da ja
müsste doch



ergeben?

Also insgesamt ergibt das dann doch für das Kreuzprodukt

Oder bin ich irgendwie geistig umnachtet geschockt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pauline21
Oder bin ich irgendwie geistig umnachtet geschockt


Vielleicht. Aber dann bist du zumindest nicht allein. War doch nicht alles richtig.

Zitat:
Original von Pauline21
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »





Jetzt habe ich Probleme bei der letzten Integration. Substituieren, wüsste ich nicht was, Produktregel, damit geht's irgendwie auch nicht unglücklich
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pauline21


Jetzt habe ich Probleme bei der letzten Integration. Substituieren, wüsste ich nicht was, Produktregel ...


Und das Offensichtliche siehst du nicht unglücklich : Die Radikanden sind Vielfache voneinander.
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielfache d.h. verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold

Ich hab mir schon gedacht das man da bisschen trixt aber sowas habe ich echt noch nie gesehen, oder ich erinnere mich einfach nicht mehr an sowas. Aus der Schulzeit ist mir das jedenfalls nicht bekannt.

Im ersten Schritt wurde ausgeklammert. Wieso kommt aber dann insgesamt ein vor ? das ist mir klar.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Verträglichkeit des Wurzelziehens mit den Punktrechenarten
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei den Wurzelgesetzen gibt es aber nirgends eins, welches besagt, dass man etwas aus der Wurzel hervorziehen darf verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Produktregel für n=2, a=1/4, b=1+4v
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

I go crazy geschockt . Ich verstehe es einfach nicht, das macht mich einfach fertig...

Nach der Produktregel: wäre doch:



Und wieso soll man jetzt von da auf kommen. Ich schmeiß gleich alles aus dem Fenster Kotzen
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Da die vorsichtigen Versuche Leopolds, dich an die Wurzelgesetze zu erinnern, die du noch aus der Schulzeit kennen solltest, nichts gefruchtet haben, mache ich es mal ganz brutal:

Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar Huggy, jetzt leuchtet's ein Hammer danke, danke danke. Freude









Stimmt das jetzt so verwirrt ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt so. An einer Stelle wäre ich anders vorgegangen. Die Faktoren, die nur von abhängen, kannst du aus dem -Integral herausziehen. Dann bleibt nur noch übrig. Und das ist natürlich (Flächeninhalt unter der konstanten Funktion über einem Intervall der Länge , anschaulich eine Rechtecksfläche). Die Vereinfachung der Wurzeln hätte ich vorweggenommen:



Man kann sich das allgemein merken: Wenn sich 1. der Integrand in Faktoren nach und trennen läßt und 2. die Integrationsgrenzen konstant sind, folgt:



Bei Aufgabenteil b) sollst du ausnützen, daß als Funktionsgraph einer Funktion aufgefaßt werden kann (da von zwei Variablen abhängt, ist der Funktionsgraph hier eine Fläche, eben die Fläche ). Man nimmt jetzt sozusagen selbst als Parameter. Um den Vergleich zu a) besser herauszustellen, führe ich formal als Parameter ein: und . Dann ist und



eine Parameterdarstellung von . Was ist hier der Integrationsbereich ?
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Da ja laut Aufgabenstellung ein Graph auf dem Einheitskreis aufgefasst werden soll, sollte man doch von integrieren ? Ueber unsere Funktion .
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast das so schwammig formuliert, daß es unverständlich ist. Du kannst da nicht einfach ein Integral ohne Integranden hinklatschen und auf eine Funktion verweisen, von der niemand weiß, was darunter zu verstehen ist. Wenn das die Funktion von oben sein soll, ist es jedenfalls falsch.
Du sollst wieder dasselbe Integral berechnen wie eben, nur mit einem anderen Ansatz:



Darum geht es, und um nichts anderes. Wie man so ein Integral berechnet, habe ich in meinem ersten Beitrag erläutert. Wir haben dieselbe Fläche , nur eine andere Parametrisierung: statt . Jetzt schreibe erst einmal das mittels transformierte Integral ordentlich auf. Etwas Mühe mußt du dir dabei schon geben. Und überlege dabei noch einmal genau, was sein muß. Eigentlich steht das schon in der Aufgabenstellung. Beachte, daß kartesische Koordinaten sind (letztlich sind das ja nur Umbenennungen für und ). Die haben also nicht mehr dieselbe Bedeutung wie bei .
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Das selbe Integral also wieder:

Diesmal mit Parametrisierung

Was heisst genau offener Einheitskreis? Ok Einheitkreis also der Radius muss 1 sein. Das "offen" wird dann wohl Einfluss auf meine Integrationsgrenzen haben mhm? verwirrt Am besten ist es mit Polarkoordinaten aufzufassen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du hättest dir zumindest die Mühe machen können, in der Formel durch und durch zu ersetzen. unglücklich

Ja, ist die offene, in gelochte Einheitskreisscheibe (wobei offen oder abgeschlossen für die Integration keine Rolle spielt, da der Rand eine Nullmenge ist). Über ihr erhebt sich das Paraboloid.

Wie wird in kartesischen Koordinaten beschrieben?
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Wie wird in kartesischen Koordinaten beschrieben?


müsste dann doch die Punkte






erfüllen. In kartesischen Koordinaten, aber wie soll und kann man das beschreiben ich reiße mir gerade echt die Haare vom Kopf unglücklich
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind nur Beispielpunkte auf dem Rand des Einheitskreises. Zum Einheitskreis gehören auch alle Punkte im Innern.
Wann liegt ein Punkt im Einheitskreis? Was muß für gelten?
Du hast es ja selbst in deinem Eröffnungsbeitrag geschrieben.
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja es muss gelten bzw. das beschreibt mir ja quasi den Einheintskreis, was auch in "M" in der Aufgabenstellung stand.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist das falsche Zeichen. Richtig wäre:



Genau genommen ist das der abgeschlossene Einheitskreis. In der Aufgabe steht eigentlich , was dem in gelochten offenen Einheitskreis entspricht. Aber wie bereits gesagt: Für die Integration ist das ohne Belang. Auch bei Aufgabenteil a) haben wir darauf ja nicht näher Rücksicht genommen.

Du mußt dir Folgendes vor Augen halten. Mittels einer Parameterdarstellung wird ein Oberflächenintegral in ein Bereichsintegral übersetzt:



Und für dieses Bereichsintegral kannst du die üblichen Methoden verwenden: Zurückführung auf ein Doppelintegral mittels Fubini, Integrationsregeln wie etwa die mehrdimensionale Substitutionsregel und so weiter.

Jetzt solltest du zunächst einmal den Integranden des Bereichsintegrals berechnen und ihm eine möglichst einfache Gestalt geben. Mit den Wurzeln klappt das jetzt hoffentlich besser. Danach bietet sich zur Berechnung eine "klassische" Variablentransformation an.
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »



----------------------------------------------

Meine Funktion setze ich ja wieder wie bei in die obige Formel ein?



in kartesischen Koordinaten jetzt?

in Polarkoordinaten wäre es ja:



Man müsste dann nur noch übersetzen halt:




Ja? Hoffentlich...
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Weiß vielleicht jemand um Rat? Ich verzweifle gerade unglücklich
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Das Doppelintegral rechts kann als Bereichsintegral über das Quadrat



aufgefaßt werden. Das ist aber etwas anderes als das Integral über den Kreis



Damit die Ungleichung erfüllt ist, muß gelten. Wäre nämlich dem Betrage nach größer als , so wäre allein schon größer als , womit niemals sein könnte. Wenn nun ein fest gewählt ist, dann ist . Du mußt die Ungleichung also letztlich nach auflösen. Die Umwandlung des Bereichsintegrals über den Kreis in ein Doppelintegral ergibt daher nach Fubini



Ich wundere mich etwas darüber, daß du solch komplizierte Dinge wie ein Flächenintegral berechnen sollst, die ja die Kenntnis von Bereichsintegralen voraussetzen, die Bereichsintegrale aber nicht richtig zu kennen scheinst.

Jetzt habe ich erklärt, wie du das nach Fubini richtig umformen müßtest. Auf einem anderen Blatt steht, ob das rechentechnisch geschickt ist. Das ist es nämlich nicht, was man aber richtig erst sieht, wenn man den Integranden einmal wirklich ausrechnet. Das hast du immer noch nicht getan. Der Integrand:



Und warum du immer noch auf beharrst, obwohl wir doch zur Unterscheidung von a) bei sind, weiß ich nicht. Von mir aus kannst du auch sagen, mußt dir aber klar machen, daß das mit dem aus a) nichts zu tun hat.

Es wird sich herausstellen, daß die von dir vorgesehenen Polarkoordinaten tatsächlich die rechentechnisch geschickte Variablentransformation sind. Aber auch da kannst du nicht einfach etwas aus der Formelsammlung abschreiben, sondern mußt die Daten der aktuellen Situation anpassen. Was soll das ? Wir haben ja den Einheitskreis. Und wenn du für die Parametertransformation schreibst, darfst du nicht auch als Variable für den Winkel bei den Polarkoordinaten verwenden. So etwas geht halt einfach nicht. Vorschlag: Nimm für den Winkel. Dieser Bezeichner scheint im Moment noch frei zu sein.
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Ich wundere mich etwas darüber, daß du solch komplizierte Dinge wie ein Flächenintegral berechnen sollst, die ja die Kenntnis von Bereichsintegralen voraussetzen, die Bereichsintegrale aber nicht richtig zu kennen scheinst.

Jetzt habe ich erklärt, wie du das nach Fubini richtig umformen müßtest. Auf einem anderen Blatt steht, ob das rechentechnisch geschickt ist. Das ist es nämlich nicht, was man aber richtig erst sieht, wenn man den Integranden einmal wirklich ausrechnet. Das hast du immer noch nicht getan. Der Integrand:



Joa es ist ziemlich viel Stoff ich und komme halt nur schwer mit. Ich bemühe mich wirklich aber nunja unglücklich Ich habe immer Probleme bei der Bestimmung des Integrationsgebietes, da reime ich mir immer was falsches zusammen... ich glaube da hilft nur Übung Übung Übung.

Noch eine Frage wieso habe ich



das berechnet? Das muss ich doch noch berechnen. Bei ist doch eine andere Parametrisierung als bei , oder was meinst du mit "hast du berechnet" ?

Danke dankee dankeee sehr Gott

PS: Auf einem anderen Blatt?
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »



mit Parametrisierung









Ist es denn dringend erforderlich jetzt die Übersezung in Polarkoordinaten zu tätigen? Es würde doch auch gut so klappen zu integrieren.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pauline21
Noch eine Frage wieso habe ich



das berechnet?


Ich habe dieses hier
Zitat:
Original von Pauline21
Meine Funktion setze ich ja wieder wie bei in die obige Formel ein?

als Berechnung von aufgefaßt. Es ist allerdings sehr oberflächlich und mißverständlich, da einfach hinzuschreiben.

Das hier jedoch
Zitat:
Original von Pauline21

ist ganz falsch. Wo sind geblieben?

Zitat:
Original von Pauline21




Jetzt starte einen letzten Versuch, den Integranden zu berechnen.

Zitat:
Original von Pauline21
Ist es denn dringend erforderlich jetzt die Übersezung in Polarkoordinaten zu tätigen? Es würde doch auch gut so klappen zu integrieren.


Der Term lädt auf jeden Fall zu Polarkoordinaten ein, einfach weil daraus (ohne den Winkel ) wird.
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Was habe ich da bloß angestellt ich bitte um Entschuldigung. Ich glaube ich war wohl noch im Schlaf...



mit Parametrisierung









Setze in Polarkoordinaten um und erhalte:







Bis hier hin richtig?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

kleine Formsache: Bitte um Integranden, die Summen sind, eine Klammer setzen:
Zitat:
Original von Pauline21


Auch hier fehlen teilweise Klammern:
Zitat:
Original von Pauline21






Bis hier hin richtig?


Der Integrand stimmt, die Integrationsgrenzen jedoch nicht. Schau dir die Sache mit den Polarkoordinaten noch einmal an.
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »



Dann werden doch meine INtegrationsgrenzen so wie ich sie doch geschrieben habe verwirrt

Ich erkenne den Fehler nicht.

Oder ist mein oder wie? verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt im Integral



die Variablentransformation durchführen. Für solche Bereichsintegrale gibt es die mehrdimensionale Substitutionsregel, von der die Polarkoordinaten ein wichtiger Spezialfall sind.

Du hast dagegen versucht, diese Polarkoordinaten beim Doppelintegral, das wir mit Fubini erhalten haben, einzuführen. Das ist aber nicht möglich.

Für Polarkoordinaten gelten die folgenden Beziehungen:



Das -Intervall darf durch jedes andere -Intervall der Länge ersetzt werden, zum Beispiel .
Bei der Substitution muß nun der Bereich der Variablen in den Bereich der Variablen übersetzt werden. Die obigen Bedingungen für und sind also passend einzuschränken.

Du mußt daher in (das ist die Bedingung, die charakterisiert) die obigen Gleichungen für Polarkoordinaten einsetzen. Was ergibt das für eine Bedingung an und ?

Mit Sicherheit hast du solche Aufgaben zu Polarkoordinaten schon gelöst. Nimm dir die Herangehensweise noch einmal gründlich vor.
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