LR Zerlegung

28.06.2013, 08:41

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

LR Zerlegung

Guten Morgen Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Es geht um die LR- Zerlgung folgender Matrize:

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Vorgehensweise:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ -2 & 5 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ -2 & 5 & 3 \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ -2 & 5 & 3 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{3}{10} & \frac{13}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & \frac{13}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{10} & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

LG

28.06.2013, 10:56

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ist das richtig?

Das kannst Du leicht selbst prüfen in dem Du mal

$\begin{eqnarray*} LR = A \end{eqnarray*}$

überprüfst.

28.06.2013, 11:07

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und das stimmt nicht hihi .. Aber wo ist der Fehler?

28.06.2013, 11:25

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist nicht ganz klar was Du da machst. Normalwerweise pivotisiert man zunächst die Matrix, Eliminiert und dann wieder von vorne bis man R hat. Dann kann man L aus den Umformungsmatrizen bestimmen.

28.06.2013, 14:35

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: LR Zerlegung
Hey Mazze,

Dann werde ich mal nach deinen Ansatz vorgehen, danke.

28.06.2013, 14:42

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt mehrere Möglichkeiten. Ihr scheint ja auch eine behandelt zu haben nur seh ich das bei deinen Umformungen nicht genau, daher meine Nachfrage ob Du das erläutern könntest.

Anzeige

28.06.2013, 18:14

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Mazze! Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Vorgehensweise:
Ich wollte zuerst in der ersten Spalte die mittlere 2 eliminieren. Dies geschiet nur wenn ich $\begin{eqnarray*} z_{2} = z_{2} + 2(z_{1}) \end{eqnarray*}$ rechne. In einem Youtube-Video hab ich gesehen das man für "0" dann den Faktor (2) dort hinschreibt, jedoch das negative davon.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ -2 & 5 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ich wollte dann in der ersten Spalte die untere 1 eliminieren. Dies geschiet nur wenn ich $\begin{eqnarray*} z_{3} = z_{3} + \frac{1}{2}(z_{2}) \end{eqnarray*}$ rechne. Für "0" dann den Faktor $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$ , jedoch das negative davon also $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ -2 & 5 & 3 \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Zu letzt dann noch die $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ aus der zweiten Spalte eliminieren und das geht nur wenn ich rechne $\begin{eqnarray*} z_{3} = z_{3}-\frac{3}{10} (z_{2}) \end{eqnarray*}$

Und dann kann ich das aufstellen...
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ -2 & 5 & 3 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{3}{10} & \frac{13}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & \frac{13}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{10} & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.06.2013, 18:37

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Na, da haben wir doch den Fehler und dieser zeigt auch die Probleme deines Weges.

Der Fehler liegt bei

$\begin{eqnarray*} z_{3} = z_{3} + \frac{1}{2}(z_{2}) \end{eqnarray*}$

Das kannst du nicht tun. In Wirklichkeit ist nach dem ersten Umformungsschritt die Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die -2 nimmt man nur mit, um sich den Operationsfaktor zu merken, da diese in die L Matrix eingehen. Tatsächlich kannst Du also

$\begin{eqnarray*} z_{3} = z_{3} + \frac{1}{2}(z_{2}) \end{eqnarray*}$

gar nicht rechnen (da $\begin{eqnarray*} z_{21} = 0 \end{eqnarray*}$ ist). Besser wäre es also

$\begin{eqnarray*} z_{2} \mapsto z_{2} + 2(z_{1}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{3} \mapsto z_{3} + (z_{1}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{3} \mapsto z_{3} - \frac{1}{5}z_{2} \end{eqnarray*}$

zu rechnen, und sich die Faktoren für die L Matrix zu merken. Am Ende hast Du 3 Faktoren die Du dort an die entsprechenden Stellen schreibst und erhältst so die Matrizen.

edit:

Zitat:

Es geht um die LR- Zerlgung folgender Matrize:

Der Singular von Matrizen ist Matrix. Eine Matrize ist ein Objekt dass man beim Drucken/Plotten verwendet.

28.06.2013, 19:07

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Mazze! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielen Dank für deine Antwort - Das erscheint mir logisch. Ich muss also nur eine rechts-obere Dreiecksmatrix schaffen??

LG

28.06.2013, 19:10

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Jepp, die obere Dreiecksmatrix ist dann die R Matrix, die L Matrix setzt sich aus den Faktoren (mal -1) der Umformungsschritte zusammen.

28.06.2013, 19:17

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, wenn ich das nun mache habe ich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Rechnung: $\begin{eqnarray*} z_{3} = z_{3}+z_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Rechnung: $\begin{eqnarray*} z_{3} = z_{3}- \frac{1}{5} (z_{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 2.4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So richtig, Mazze?

28.06.2013, 19:28

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Da Mazze gerade offline ist: Wiso rechnest du es nicht selbst nach?

28.06.2013, 19:36

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

Sie stimmt nicht =( .. aber ich weis nicht was ich falsch mache ..

LG

29.06.2013, 12:01

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Die R Matrix stimmt, wie sieht denn deine L Matrix aus?

29.06.2013, 12:50

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, vielen Dank für Deine Antwort,

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Rechnung:
Zuerst: $\begin{eqnarray*} z_{3}= z_{3}-2z_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 3 \\ 3 & -5 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann: $\begin{eqnarray*} z_{2}=z_{2}-z_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & -5 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann: $\begin{eqnarray*} z_{2} = z_{2}-2z_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 0 \\ 3 & -5 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann: $\begin{eqnarray*} z_{3} = z_{3}-5(z_{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und dann hab ich als letztes noch die Zeilen vertauscht, sodass:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -12 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber wenn ich nun $\begin{eqnarray*} L \cdot R \end{eqnarray*}$ rechne, komme ich nicht auf A.

LG.. ich hoffe es finde(n) sich der(die) Fehler.

29.06.2013, 13:12

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Und dann hab ich als letztes noch die Zeilen vertauscht, sodass:

Bei Zeilen vertauschen musst Du aufpassen, dann müssen nämlich die entsprechenden Permutationsmatrizen mitgenommen werden. Insgesamt kann es dann passieren dass die LR Zerlegung nur bis auf Permutation stimmt.

Was die Rechnung in deinem letzten Post angeht: Was machst Du da? Mit

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 2.4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hast Du die R Matrix bereits bestimmt. Die L Matrix muss dann nur noch aus den 3 Faktoren der Zeilenumformungen konstruiert werden.

29.06.2013, 13:21

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mazze

Bei Zeilen vertauschen musst Du aufpassen, dann müssen nämlich die entsprechenden Permutationsmatrizen mitgenommen werden. Insgesamt kann es dann passieren dass die LR Zerlegung nur bis auf Permutation stimmt.

Danke! Jetzt weiß ich das schon mal hihi.

Zitat:

Original von Mazze

Die L Matrix muss dann nur noch aus den 3 Faktoren der Zeilenumformungen konstruiert werden.

Also die 3 Faktoren aus der Berechnung der R-Matrix sind ja:
$\begin{eqnarray*} 1, -\frac{1}{5},2 \end{eqnarray*}$

Und die schreib ich also jetzt für die 0-en Rein? an welcher Stelle dann welcher Faktor?

LG

29.06.2013, 16:14

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, man kann die Schritte beim Gaußalgorithmus durch Matrixmultiplikation darstellen. Nehmen wir uns die Matrix

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und addieren wir zur zweiten Zeile das doppelte der ersten Zeile. Dann kommt heraus:

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dieser Schritt kann auch durch folgende Multiplikation dargestellt werden, wähle dazu :

$\begin{eqnarray*} B_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} B_1A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Um das ganze etwas abzukürzen setze ich noch

$\begin{eqnarray*} B_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} B_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{5} & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann ist

$\begin{eqnarray*} B_3B_2B_1A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 2.4 \end{pmatrix} = R \end{eqnarray*}$

insgesamt also

$\begin{eqnarray*} B_3B_2B_1A = R \end{eqnarray*}$ umgestellt ergibt das

$\begin{eqnarray*} A = B_3^{-1}B_2^{-1}B_1^{-1}R \end{eqnarray*}$

es ist also

$\begin{eqnarray*} L = B_3^{-1}B_2^{-1}B_1^{-1} \end{eqnarray*}$

Und jetzt überleg dir mal wie die Matrizen $\begin{eqnarray*} B_3^{-1},B_2^{-1},B_1^{-1} \end{eqnarray*}$ aussehen, dann siehst Du am ende auch wie Du die Faktoren in die L Matrix einbringst.

30.06.2013, 11:21

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallooo

Augenzwinkern

Vielen Dank für deine komplexe Antwort ...
Ich habe mich dann mal an die Bestimmung von $\begin{eqnarray*} B_{1}^{-1},B_{2}^{-1},B_{3}^{-1} \end{eqnarray*}$ gemacht.
Und habe folgendes erhalten:

$\begin{eqnarray*} B_{1}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B_{2}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B_{3}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{5} & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und ich erhalte für $\begin{eqnarray*} B_{3}^{-1} \cdot B_{2}^{-1} \cdot B_{1}^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1.4 & 0.2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich dies jedoch jetzt multipliziere mit $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} LR = A \end{eqnarray*}$ erhalte ich nicht meine Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ..

LG

Edit: Du hast erwähnt, dass man bei Zeilenvertauschungen, die Permutationsmatrix mitnehmen muss. Also sagen wir ich vertausche 2 Zeilen und rechne weiter bis ich z.B die rechts-obere Dreiecksmatrix habe. Muss ich dann die LR Zerlegung aufstellen als $\begin{eqnarray*} L(PR) =A \end{eqnarray*}$ ?

30.06.2013, 13:17

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

Halt $\begin{eqnarray*} B_{i}^{-1} \end{eqnarray*}$ müsste ich ja bekommen, wenn ich einfach die Vorzeichen der Unterdiagonalenelemente wechsle.

Also einfach das Vorzeichen wechseln von $\begin{eqnarray*} B_{4} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} B_{4}=B_{3} \cdot B_{2} \cdot B_{1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_{4} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0.6 & -0.2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jetzt die Vorzeichen umdrehen und das ergibt das Links untere Dreiecksmatrix.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\- 2 & 1 & 0 \\ -0.6 & +0.2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

01.07.2013, 23:26

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach herje, das passiert wenn man nicht überprüft was einem vorgesetzt wird. Schau Dir mal dir Gleichung

$\begin{eqnarray*} B_3B_2B_1A = R \end{eqnarray*}$

an, die Korrekte umstellung ist

$\begin{eqnarray*} A = B_1^{-1}B_2^{-1}B_3^{-1}R \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} L = B_1^{-1}B_2^{-1}B_3^{-1} \end{eqnarray*}$

und nicht wie ich fälschlicher Weise geschrieben habe

$\begin{eqnarray*} L = B_3^{-1}B_2^{-1}B_1^{-1} \end{eqnarray*}$

und damit bekommst Du dann auch das richtige Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »