Unterring wieder noethersch

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28.06.2013, 12:03

mathinitus

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Unterring wieder noethersch

Hallo Leute!

Ist jeder Unterring eines noetherschen Rings wieder noethersch?

29.06.2013, 00:11

watcher

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Hallo,

nein das gilt nicht.

Nimm als Gegenbsp. einen nicht-noetherschen Int.ring deiner Wahl und betrachte ihn als Unterring seines Quotientenkörpers.

29.06.2013, 15:40

mathinitus

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Danke. Da hätte ich auch selbst drauf kommen können, das ärgert mich jetzt.

Sei K ein Körper, dann ist ja nach dem Hilbertschen Basissatz $\begin{eqnarray*} K[X_1,\dots,X_n] \end{eqnarray*}$ noethersch. Ist denn davon jeder Unterring wieder noethersch? Vom Gefühl her würde ich "ja" sagen. Gerne erarbeite ich mir die Antwort dieser Frage auch mit jemandem, falls jemand Lust hat, mich in die richtige Richtung zu lenken.

30.06.2013, 11:33

tmo

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Du kannst doch einfach dasselbe Gegenbeispiel wieder benutzen.

Interessanter ist die Frage wohl, wenn man einen Zwischenring $\begin{eqnarray*} K \subset R \subset K[X_1, \dotsc, X_n] \end{eqnarray*}$ betrachtet.

30.06.2013, 12:07

mathinitus

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Zitat:

Original von tmo
Du kannst doch einfach dasselbe Gegenbeispiel wieder benutzen.

Interessanter ist die Frage wohl, wenn man einen Zwischenring $\begin{eqnarray*} K \subset R \subset K[X_1, \dotsc, X_n] \end{eqnarray*}$ betrachtet.

Da hast du natürlich recht. Was ich eigentlich meint, war tatsächlich $\begin{eqnarray*} K \subset R \subset K[X_1, \dotsc, X_n] \end{eqnarray*}$ . Aber auch der muss nicht noethersch sein, denke ich, denn wenn wir für R den Unterring von $\begin{eqnarray*} K[X,Y] \end{eqnarray*}$ nehmen, der von $\begin{eqnarray*} XK[Y] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ erzeugt wird, dann sollte das von $\begin{eqnarray*} XK[Y] \end{eqnarray*}$ erzeugte Ideal nicht endlich erzeugt sein.

30.06.2013, 16:34

tmo

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Ja das sollte passen.

Wir nehmen den Ring $\begin{eqnarray*} R = \{ f \in K[X,Y] | f(0,Y) \in K \} \end{eqnarray*}$ .

Der Kern von $\begin{eqnarray*} f \mapsto f(0,Y) \end{eqnarray*}$ ist dann nicht endlich erzeugt bzw die Kette

$\begin{eqnarray*} (X) \subset (X,XY) \subset (X,XY,XY^2) \subset ... \end{eqnarray*}$

wird nicht stationär.

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