Lösung von Gleichungssystem ist eine Hyperebene.

28.06.2013, 18:23

p123p

Lösung von Gleichungssystem ist eine Hyperebene.

Meine Frage:
Hallo,

ich habe gerade einen Beweis geführt, von dem ich glaube das er stimmt. Aber ich verstehe die Aussage nicht.
Die Lösungsmenge von Gleichungssystemen der Gestalt
A*x=b

mit A Matrix und b Vektor ist eine Hyperebene der Dimension n-1. Wenn a, b Element R^n
Außerdem A Diagnoalmatrix mit ||A||!=0

Doch wieso ist das so? Bzw. wie ist die Aussage genau zu interpretieren? Dies ist eigentlich mein Hauptproblem.

Meine Ideen:
Ich verstehe es so, dass damit alle theoretisch möglichen Lösungen für A und b beliebig wobei ||A|| nicht Null. Nur einen Raum der größe n-1 aufspannen. Habe ich das so richtig verstanden?

28.06.2013, 19:03

Dopap

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ich versteh es auch nicht.

1.) $\begin{eqnarray*} A\in \mathbb R^{n \times n} \end{eqnarray*}$ ?

2.) was ist "a"

3.) ||A|| !=0 was bedeutet das "!"

also: Voraussetzungen definieren, dann Behauptung formulieren!

28.06.2013, 20:48

p123p

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Hallo,

$\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R ^{n x n} \end{eqnarray*}$
A ist eine Diagonalmatrix mit Einträgen $\begin{eqnarray*} a_{1} ,...,a_{n} \end{eqnarray*}$
auf der Hauptdiagonalen.

Für den Vektor
$\begin{eqnarray*} a=a_{1} ,...,a_{n} \end{eqnarray*}$

soll gelten:
$\begin{eqnarray*} | | a | |= 1 \end{eqnarray*}$

Für A*x=b
(Wobei $\begin{eqnarray*} b\in \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ )
Die Lösungsmenge ist gerade eine Hyperebene der Dimension n-1
Genauer: Hyperebene=:H mit b+H ist der Lösungsraum.
Die Doppelstriche symbolisieren die euklidische Norm.

29.06.2013, 10:03

Leopold

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$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & 0 \\ 0 & \frac{4}{5} \end{pmatrix} \, , \ \ b = \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix} \, , \ \ x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Im Beispiel sind alle Voraussetzungen erfüllt. Die Gleichung $\begin{eqnarray*} Ax=b \end{eqnarray*}$ hat als einzige Lösung $\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Von Hyperebene keine Spur.

Eine Hyperebene ensteht allerdings mit dem Skalarprodukt

$\begin{eqnarray*} \langle a,x \rangle = \beta \end{eqnarray*}$

Wenn der Vektor $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die Länge $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ besitzt, spricht man von der Hesseschen Normalform. $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ist ein Skalar.
Das Standardskalarprodukt kann auch als Matrizenprodukt geschrieben werden. Sind $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Spaltenvektoren, so bekommt die Gleichung die Form

$\begin{eqnarray*} a^{\top} x = \beta \end{eqnarray*}$

Irgendwie verwechselst du da etwas.

29.06.2013, 11:05

p123p

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Zitat:

Original von Leopold

Wenn der Vektor $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die Länge $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ besitzt, spricht man von der Hesseschen Normalform. $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ist ein Skalar.
Das Standardskalarprodukt kann auch als Matrizenprodukt geschrieben werden. Sind $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Spaltenvektoren, so bekommt die Gleichung die Form

Irgendwie verwechselst du da etwas.

Ja, mit mit a normiert gleich 1 meinte ich das ja.
Und wieso ist es dann eine Hyperebene? Kann ich dann annehmen, a durchläuft alle Möglichkeiten? Denn es könnte ja auch sein, das a*Id dann so aussieht:

A= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 & \end{pmatrix}

29.06.2013, 12:07

Leopold

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Ich weiß immer noch nicht, ob du verstanden hast, worum es geht.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} a = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ - \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} \, , \ \ \beta = 5 \, , \ \ x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es hat $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ den Betrag $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \langle a,x \rangle = a^{\top} \cdot x = \beta \end{eqnarray*}$ wird zu

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} x_1 - \frac{2}{3} x_2 + \frac{1}{3} x_ 3 = 5 \end{eqnarray*}$

Das kennt man von der Schule her als HNF einer Ebene.

29.06.2013, 12:47

p123p

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Ah ja stimmt, ich habe die Länge des Vektors a falsch interpretiert.

Bei dieser HNF, ist doch die Lösungsmenge immer eine Hyperebene. Wieso ist dies so?

Wenn man gegeben hat: $\begin{eqnarray*} <a,x>=\beta \end{eqnarray*}$
Und a hat den Betrag 1. Wieso hat man dann eine Hyperebene als Lösungsmenge gegeben? Wie kann man das zeigen?

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