Quadraturfehler bei Mittelpunktsregel

28.06.2013, 22:38	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadraturfehler bei Mittelpunktsregel Guten Abend, Im Skript steht: Wir ersetzen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ im Intervall $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ durch den Funktionswert im Mittelpunkt des Intervalls und erhalten: $\begin{eqnarray} I_{n}(f) = (b-a)f(\frac{a+b}{2}) \end{eqnarray}$ mit dem Gewicht $\begin{eqnarray} w_{0} = 1 \end{eqnarray}$ und der Stützstelle $\begin{eqnarray} x_{0} = \frac{a+b}{2} \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} f \in C^{2}[a,b] \end{eqnarray}$ genügt der Quadraturfehler der Beziehung $\begin{eqnarray} E_{0}(f)= \int_{a}^{b} f(x) dx - (b-a) f(\frac{a+b}{2}) = \frac{(b-a)^{3}}{24} f''(\xi) \end{eqnarray}$ Dies folgt aus der Taylorentwicklung: $\begin{eqnarray} f(x) = f(x_{0}) +f'(x_{0})(x-x_{0})+f''(x_{0}+\theta(x-x_{0})\frac{(x-x_{0})^{2}}{2} \end{eqnarray}$ So nun meine Frage: Der Quadraturfehler ist ja: $\begin{eqnarray} I(f)-I_{n}(f) \end{eqnarray}$ . Das ist mir auch klar. Aber wenn ich die Taylorentwicklung aufstelle erhalte ich: $\begin{eqnarray} f(x_{0})+\frac{f'(x_{0)}}{1!}(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2} = f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+f''(x_{0})\frac{(x-x_{0})^{2}}{2} \end{eqnarray}$ Was soll bitte dieses $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ sein? Und warum muss ich gerade dort die Taylorentwicklung benutzen?? Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte ... Liebe Grüße
29.06.2013, 00:17	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadraturfehler bei Mittelpunktsregel im Fehler $\begin{eqnarray} E_0f \end{eqnarray}$ ist ja auch ein unbekanntes $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ enthalten. Die Taylorentwicklung enthält dementsprechend ein unbekanntes $\begin{eqnarray} \theta (x,x_0) \end{eqnarray}$ da hier eine Gleichheit vorliegt. Und deine letzte Zeile sollte mit $\begin{eqnarray} f(x) \approx \end{eqnarray}$ beginnen. Das nur mal als Hinweis.
29.06.2013, 00:19	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadraturfehler bei Mittelpunktsregel Okay Dankeschön ! )
29.06.2013, 00:25	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
würde dir liebend gerne immer wieder richtig unter die Arme greifen wollen... , kann das aber nur noch sporadisch. ( Numerik ist schon soo lange her ... ) Ich denke du kommst damit klar, Dr.Dr.
29.06.2013, 00:28	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh das ist aber nett!!...Mit jeder Hilfe hilfst du mir ... Dafür bin ich dir sehr dankbar... Liebe Grüße vom Dr.Dr )))
29.06.2013, 00:48	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
danke ! Ich plaudere mal etwas off topic vor mich hin: Dein höflicher Stil ist sehr von Vorteil, er ermuntert auch in Grenzfällen zu einer Antwort, wobei Antworten immer besser sind als Keine. Gut sind auch kurze präzise Fragen, die nicht Teile von a.) bis h.) haben, das schreckt eher ab. Unsere Expertin in Numerik "tigerbine" ist zwar nicht mehr aktiv, dennoch hat Sie eine ganze Reihe von workshops in diesem Bereich geschrieben. Es lohnt sich immer, hier zuerst mal reinzuschauen.!! Dann bis zum nächsten mal ! Gruss Dopap
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