Isomorphismus zu einem Quotientenraum |
01.07.2013, 16:18 | Spitzname: | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Isomorphismus zu einem Quotientenraum Hallo, wir haben gerade das Thema Quotientenräume angebrochen und direkt eine Aufgabe dazu bekommen. Gegeben ist ein nichtleeres Intervall , der Vektorraum der reelen Funktionen auf sowie zu festem der Unterraum . Nun soll durch Angabe eins expliziten Isomorphismus gezeigt werden, dass zu isomorph ist. Meine Ideen: Nun, zu finden ist ein Isomomorphismus, d.h., ein bijektiver Homomorphismus. Doch ich habe um ehrlich zu sein keine Ahnung wie dieser Aussehen könnte. Ich kann mir überhaupt nicht vorstellen. Könnt ihr mir weiterhelfen? Liebe Grüße |
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01.07.2013, 16:47 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum Zwei Funktionen und aus liegen genau dann in in derselben Äquivalenzklasse, wenn in liegt – wenn also . Eine Äquivalenzklasse ist dabei eindeutig durch bestimmt. Hilft dir das? |
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01.07.2013, 16:59 | Spitzname: | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum Ja, ich konnte es inzwischen mit Hilfe des Homomorphiesatzes und unter Angabe einer linearen Abbildung , lösen. Man beachte dazu . Nun stellt sich die Frage, wie das ganze bei modifiziertem , bei festen mit aussieht. Dieses ist ja der Schnitt zweier Mengen ... hilft mir das? |
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01.07.2013, 17:02 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum
Das ist aber streng genommen keine explizite Angabe des Isomorphismus.
Wobei? Was willst du mit diesem machen? |
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01.07.2013, 18:19 | Spitzname: | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum
Das sollte auch gar keine Angabe des Isomorphismus sein Dieser lautet ,
Ich soll auch noch ein Statement für dieses modifizierte abgeben. Also sagen, wie es sich für dieses verhält ... |
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01.07.2013, 18:42 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum
Nun könntest du aber direkt schreiben und kurz begründen, wieso die Abbildung wohldefiniert ist.
Und hast du auch schon eine Vermutung? |
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01.07.2013, 19:13 | Spitzname: | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum
Die Begründung habe ich kurzer Hand auf den Homomorphiesatz abgeschoben. Der sagt nämlich, dass diese Abbildung existieren muss
Ehrlich gesagt nein. ist der Schnitt der Mengen und . Sowohl als auch sind isomorph zu . Weiter komme ich aber nicht ... |
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01.07.2013, 20:07 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum Achte auf die Mengenklammern. Kannst du denn angeben, wodurch Elemente von nun bestimmt sind? Analog zur vorigen Aufgabe, wo sie eindeutig durch ihren Wert in bestimmt waren? |
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02.07.2013, 11:50 | Spitzname: | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum
Die Elemente aus sind von der Form , wobei . Ich würde sagen, dass sie immer noch eindeutig bestimmt sind und zwar durch ihre Werte in und , oder? |
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02.07.2013, 13:19 | Spitzname: | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum Hat jemand eine Idee? |
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02.07.2013, 14:17 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum
Ja, ist durch die beiden reellen Zahlen und bestimmt. Bzw. durch das Tupel . Hilft dir das? |
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02.07.2013, 18:43 | Spitzname: | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum
Hi, leider nein, wärest du so nett und würdest mich aufklären. Irgendwie habe ich diesbezüglich ein Brett vorm Kopf ... |
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02.07.2013, 19:02 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum Elemente aus dem Quotientenraum der letzten Aufgabe kann man eindeutig durch eine Zahl bestimmen. Und der Raum ist dann isomorph zu . Elemente aus dem Quotientenraum der jetzigen Aufgabe kann man eindeutig durch ein Tupel bestimmen. |
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02.07.2013, 19:39 | Spitzname: | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum
Also sind sie isomorph zum ?! |
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02.07.2013, 20:05 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum Kannst du auch einen Isomorphismus angeben? |
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02.07.2013, 20:54 | Spitzname: | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum
Das fällt mir deutlich schwerer, schließlich kann ich nicht mehr so einfach eine (lineare) Abbildung angeben, deren Kern mein ist ... |
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02.07.2013, 21:49 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum Denk lieber nicht zu sehr an den Kern. Wie sah denn der Isomorphismus aus der vorigen Aufgabe aus? |
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03.07.2013, 20:53 | Spitzname: | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum
Er hatte die Form |
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04.07.2013, 21:29 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum Und kannst du für das neue eine ganz ähnlich aussehende Abbildung erraten? |
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