Matrixdarstellung linearer Abbildungen

01.07.2013, 18:49

Martin1

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Matrixdarstellung linearer Abbildungen

Hallo liebe Community, ich ,,schlage" mich gerade mit einer Aufgabe herum und weiss gar nicht weiter. Deshalb brauch ich ein Ratschlag bzw. eine Bestätigung. Es geht um folgende Aufgabe:

Sei Id_3:IR^3 -> IR^3, die Identität in IR^3, d.h. für alle x element IR^3, Id_3(x)=x

Seien X=(x1,x2,x3) und Y=(y1,y2,y3) zwei Basen des IR^3 (Die Vektoren lass ich mal weg, da ich denke das sie nicht zwingend gebraucht werden um die Aufgabe zu verstehen, jeder Vektor hat drei Elemente, so nebenbei erwähnt).

Aufgabe 1) Berechne für j=1,2,3 die Koeffizienten von xj in der Basis Y
Aufgabe 2) Schreibe die Matrixdarstellung My,x[Id_3] der Identität bzgl. der Basen Y und Y
Aufgabe 3) Schreibe die Matrixdarstellung M[Id_3] der Identität bzgl. der Standardbasis E3.

Meine Idee:

Zuerst Aufgabe 1) Hier muss ich glaube ich nur die einzelnen drei Vektoren der Basis X als Linearkombination von der Basis Y darstellen oder? Die Koeffizienten sind dann die Lösungsmengen des LGS, also die skalare.

Also so:

1. x1=ay1+by2+cy3
x2=dy1+ey2+fy3
x3=gy1+hy2+iy3

Oder kann es sein das ich die einzelnen elemente der einzelnen Vektoren der Basis X als Skalare für die Linearkombination der Basis Y darstellen soll und drei neue Vektoren herauskommen.

Ich bin mir hier sehr unsicher und es wäre super nett von euch mir weiterhelfen zu können.

Ich bedanke mich im voraus.

02.07.2013, 13:03

Martin1

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Niemand eine Idee ob meine Idee bzgl Aufgabe 1 korrekt ist? unglücklich

unglücklich

03.07.2013, 15:58

Martin12

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niemand ein Tipp ?

03.07.2013, 16:01

lgrizu

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Vielleicht ist es hilfreicher, wenn du die Aufgabe, auch wenn du es nicht für nötig hälst, einmal vollständig postest, inklusive der gegebenen Basen und dann deine rechnung konkret vormachst.

Ansonstan zur a): richtig, man stellt die Basiselemente $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ aus X als Linearkombination der Vektoren aus Y dar, die Koeffizienten, also die Skalare sind dann der Koordinatenvektor von $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ zur Basis Y

03.07.2013, 16:34

Martin1

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Also

Sei $\begin{eqnarray*} Id_{3}: \mathbb R^{3} \rightarrow \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ , die Identität in IR^3, d.h.

$\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb R^{3}, Id_{3} (x)=x \end{eqnarray*}$

Seien X={x1,x2,x3} und Y={y1,y2,y3} zwei Basen von IR^3, wobei

$\begin{eqnarray*} \vec{x_{1} } :=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{x_{2} } :=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{x_{3} } :=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \vec{y_{1} } :=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{y_{2} } :=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{y_{3} } :=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aufgabe 1) Berechne für j=1,2,3 die Koeffizienten von xj in der Basis Y
Aufgabe 2) Schreibe die Matrixdarstellung My,x[Id_3] der Identität bzgl. der Basen X und Y
Aufgabe 3) Schreibe die Matrixdarstellung M[Id_3] der Identität bzgl. der Standardbasis E3.

Meine Ideen: Zu 1) Hier berechne ich die Koeffizienten der drei Vektoren der Basis X in der Basis Y indem ich einfach jeden einzelnen Vektor von X (x1,x2,x3), als die Linearkombination der kompletten Basis Y darstelle, also berechne ich die Koeffizienten a,b,c,d,e,f,g,h,i wie folgt:

x1=ay1+by2+cy3

x2=dy1+ey2+fy3

x3=gy1+hy2+iy3

Diese drei Linearkombinationen überführe ich dann in eine Mattix und löse sie dann mit Gauß.
Korrekt? Wenn das stimmen sollte, würde mich interessieren ob man das hier irgendwie schneller lösen kann als drei Matrizen aufzustellen und Gauß anzuwenden.

Zu 2) Hier hab ich bereits Probleme was überhaupt mit der Identität gemeint wird. Im Internet steht das die Abbildung irgendwie auf sich selbst zeigt, was ich jedoch nicht verstehe. Kann mir das jemand eventuell leicht erklären in ein paar kurzen Sätzen? Die Matrixdarstellung wird ansonsten auch mithilfe Linearkombinationen berechnet und eigentlich so berechnet wie in Aufgabe 1, wobei dann die berechneten Skalare die Spalten der Matrix jeweils sind.

03.07.2013, 17:08

lgrizu

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Also zunächst mal richtig.

Es ist möglich, alle drei LGS simultan zu lösen:

Stelle dazu die Matrix $\begin{eqnarray*} (Y|X) =\begin{pmatrix}0&0&1&| 0&1&1\\2&1&0&| 1&0&1\\0&1&0&| 1&1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auf und bringe Y auf Zeilenstufenform.

Die Identität ist nichts anderes, als die Abbildung, die ein Element aus dem Definitionsbereich auf sich selbst abbildet.

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03.07.2013, 18:11

Martin1

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Interessant. Ist das zufällig der Gauß Jordan Algorithmus? Wenn nicht nach welcher Regel wird hier die Matrix bestimmt?

Meine Frage:

Darf ich bei dieser Koeffizientenmatrix auch beliebig Zeilen vertauschen, multiplizieren etc. ebend wie nach Gauß ?

Das mit der Identität habe ich leider noch nicht ganz begriffen. Es ist also eine Abbildung, die ein Element aus dem Definitionsbereich .... Bis hier hin habe ich es verstanden. Meinst du mit ,,auf sich selbst" abbildet den Wertebereich ? Also das immer Definitionsbereich=Wertebereich ist oder wie kann ich das verstehen ?

03.07.2013, 21:03

lgrizu

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Zitat:

Original von Martin1
Interessant. Ist das zufällig der Gauß Jordan Algorithmus? Wenn nicht nach welcher Regel wird hier die Matrix bestimmt?

Die Zeilen der Matrix Y sind die Basivektoren von Y,, und dann halt die drei Lösungsvektoren, die Lösung ist dann am Ende für jede Spalte von Y einzeln zu bestimmen.

Zitat:

Darf ich bei dieser Koeffizientenmatrix auch beliebig Zeilen vertauschen, multiplizieren etc. ebend wie nach Gauß ?

Selbstverständlich.

Zitat:

Original von Martin1
Das mit der Identität habe ich leider noch nicht ganz begriffen. Es ist also eine Abbildung, die ein Element aus dem Definitionsbereich .... Bis hier hin habe ich es verstanden. Meinst du mit ,,auf sich selbst" abbildet den Wertebereich ? Also das immer Definitionsbereich=Wertebereich ist oder wie kann ich das verstehen ?

Bei der Menge der Funktionen von IR nach IR ist die Identität f(x)=x.

03.07.2013, 21:15

Martin1

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Was wäre denn die Identität vom IR^2 -> IR^2 ? Bin da noch recht unsicher.

Folgende Koeffizienten habe ich heraus:

Für x1: 0,1,0
Für x2: -1/2,1,1
Für x3: 1/2,0,1

Wenn das richtig sein sollte wäre es schön noch 2 und 3 zu lösen.

Zu Aufgabe 2) Schreibe die Matrixdarstellung My,x[Id_3] der Identität bzgl. der Basen X und Y

Meine Idee: Ich weiss das ich wieder Vektoren einer Basis als Linearkombination der Vektoren der anderen Basis darstellen soll. Die Lösungsmengen eines LGS ist dann eine Spalte der Darstellungsmatrix. Aber ich weiss nicht, was ich genau zu wählen hab.

03.07.2013, 21:25

lgrizu

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Zitat:

Original von Martin1

Folgende Koeffizienten habe ich heraus:

Für x1: 0,1,0
Für x2: -1/2,1,1
Für x3: 1/2,0,1

Wenn das richtig sein sollte wäre es schön noch 2 und 3 zu lösen.

Ist richtig.

Zitat:

Was wäre denn die Identität vom IR^2 -> IR^2 ? Bin da noch recht unsicher.

Hast du denn eine Idee, was es sein könnte?

vorher brauchen wir nicht weiter machen....

03.07.2013, 21:31

Martin1

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Nein leider nicht. Oder eventuell:

f(x,y)=(x,y)

?

03.07.2013, 21:50

lgrizu

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Ja, das ist richtig.

Nun benötigen wir noch eine Matrix, die jeden Vektor auf sich selbst abbildet, also eine Matrix für die gilt $\begin{eqnarray*} A \cdot \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Welche Matrix könnte das sein?

03.07.2013, 21:59

Martin1

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Zitat:

Original von lgrizu
Ja, das ist richtig.

Nun benötigen wir noch eine Matrix, die jeden Vektor auf sich selbst abbildet, also eine Matrix für die gilt $\begin{eqnarray*} A \cdot \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Welche Matrix könnte das sein?

Wie kommst du auf darauf ? Sicher hiervon:

Id_3:IR^3 -> IR^3, die Identität in IR^3, d.h. für alle x element IR^3, Id_3(x)=x

Wie kommst du auf diese Darstellung und weshalb (x.y) wenn wir im IR^3 sind ?

03.07.2013, 22:01

lgrizu

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Weil du mit dem zweidimensionalen angefangen hast dachte ich, dass wir es erst mal damit versuchen, aber bitte, dann eben die allgemeinere Frage, welche Matrix A erfüllt die Bedingung $\begin{eqnarray*} A \cdot \vec{x}=\vec{x} \end{eqnarray*}$ ?

03.07.2013, 22:11

Martin1

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Sicher die Einheitsmatrix, da sie das Neutrale Element darstellt.

03.07.2013, 23:09

Martin1

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Kann es sein das die Matrix einfach dann wie folgt aussieht:

Für x1: 0,1,0
Für x2: -1/2,1,1
Für x3: 1/2,0,1

0 -1/2 1/2
1 1 0
0 1 1

04.07.2013, 10:09

lgrizu

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Jap, ist richtig, zur grundsätzlichen Herangehensweise:

Wir sollen die Matrix $\begin{eqnarray*} M_Y^X( \varphi (\vec{x})) \end{eqnarray*}$ bestimmen.

In diesem Fall ist $\begin{eqnarray*} \varphi (\vec{x} ) \end{eqnarray*}$ die identische Abbildung, also $\begin{eqnarray*} \varphi (x_i)=x_i \end{eqnarray*}$

Zuerst bilden wir die Vektoren $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ mittels $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ab.

Dann stellen wir die Bilder der $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ mittels der Basis Y dar, also $\begin{eqnarray*} \varphi (x_i) = \sum\limits_{k=1}^n a_k \cdot y_k \end{eqnarray*}$

Die Koordinaten von $\begin{eqnarray*} \varphi (x_i) \end{eqnarray*}$ sind die Spalten der gesuchten Matrix, also $\begin{eqnarray*} M_Y^X( \varphi (\vec{x}))=(a_{ik} ) \end{eqnarray*}$

05.07.2013, 21:03

Martin111

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Hallo, danke für deine Hilfe. Ich habe mich seit gestern Abend mit den Abbildungsmatrizen wieder beschäftigt.

Ich bin auf folgenden 4-Schritte Plan gestoßen, der deine Vorgehensweise widerspiegelt.

1. Erkenne von welcher Basis, zu welcher Basis ,,abgebildet" werden soll
2. Bilde die Basis des Definitionsbereiches ab (Also jeden Vektor in die vorgegebene Funktion einsetzen und den Wertebereich berechnen)
3. Die neuen Vektoren, also die abgebildete Basis, die ich ebend berechnet habe als die andere Basis darstellen(Sprich Vektor x=Linearkombination Y.
4. Die Koeffizienten spaltenweise in die Matrix eintragen

Auch habe ich nun verstanden was den die Identität wirklich ist. Davor war es mir nicht so im klaren. Die Identität sagt doch einfach nur, dass was ich in die Funktion einsetze, kommt auch wieder exakt heraus. Also es gilt f(x)=x.

Nun wäre es noch klasse Aufgabe 3) ,,Schreibe die Matrixdarstellung M[Id_3] der Identität bzgl. der Standardbasis E3." verstehen zu können. Ich weiss nicht wie ich hier vorangehen soll, denn ich habe nur eine Basis, nämlich die Standardbasis. Also kann ich hier nicht wirklich so vorrangehen wie bei b.

06.07.2013, 17:24

Martin11

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Also ich probiere es noch einmal die letzte Aufgabe lösen zu können. Die Identität ist ja gegeben durch Id3(x)=x für alle x element IR^3. Nun soll ich die Matrixdarstellung M[Id3] der Identität bzgl. der Standardbasis E3 bestimmen.

Nun, ich brauche ja zunächst Bilder, die ich dann als Linearkombination der Standadbasis E3={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} darstelle. Diese Bilder sind Allgemein oder? Kann es sein das die gesuchte Matrixdarstellung

a d g
b e h
cf f i

lautet. Hmm klingt nicht wirklich korrekt.

08.07.2013, 10:27

Martin1

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/push bräuchte wirklich noch diese letzte Teilaufgabe.

08.07.2013, 10:45

lgrizu

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Du solltest für eine neue Aufgabe stets einen neuen Thread eröffnen, viele Helfer schauen gar nicht erst in einen Thread, der schon etliche Antworten hat welil sie denken, es ist bereits ein Helfer am Werk. Ich gebe mir Mühe, eine Aufgabe auch durchzuziehen, wenn aber später noch ne Nachfrage kommt, verpasse ich das schon mal, da ich nicht kontinuierlich online sein kann. Es ist also hilfreicher, eine neue Aufgabe noch mal ausführlich zu stellen in einem neuen Thread.
Des weiteren ist es gut, dass du dir jetzt einen Account eingerichtet hast, so sieht man, ob du online bist oder nicht.

So, nun aber zu der Aufgabe selbt

Zitat:

Schreibe die Matrixdarstellung M[Id_3] der Identität bzgl. der Standardbasis E3.

Ist das wirklich die Aufgabenstellung? verwirrt

verwirrt

Die Herangehensweise ist eigentlich ganz ähnlich, du bildest die Basis mittels $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ab, die Matrix ist dann $\begin{eqnarray*} M_{\varphi}=( \varphi(x_1)~\varphi(x_2)~\varphi(x_3)~) \end{eqnarray*}$ , wobei die $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ die gegebenen Basivektoren sind. Aufgrund der Offensichtlichkeit der Lösung kann ich mir das jedoch schwer vorstellen.

08.07.2013, 11:55

Martin1

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Guten tag!

Ja, die Aufgabenstellung ist vollkommen richtig.

Woher weisst du, welche Basis ich abbilden soll? Es ja ja nur gesagt, dass ich die Matrixdarstellung der Identität bzgl. der Standardbasis E3 berechnen soll.

Also, ich weiss das ich hier die Vektoren einer Basis (Aber welche und warum?) abbilden soll mit meiner vorgegebenen Abbildung (Die du als Phi bezeichnest, die eigentlich die Identität Id_3(x)=x ist.) Diese neuen Bilder setze ich dann jeweils gleich mit der Linearkombination der Standardbasis E3. Alles eigentlich sehr klar. Mir fehlt einfach die Basis die ich überhaupt Abbilden soll. Du sagst das ich die Vektoren von der Basis X abbilden soll. Wie kommst du denn darauf, da kein einziges Wort davon gesagt wird bei der Aufgabe.

08.07.2013, 12:02

lgrizu

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Du hast die Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi (x)=Id \end{eqnarray*}$ und die Basis $\begin{eqnarray*} \left\{\ e_1,e_2,e_3 \right\} \end{eqnarray*}$

Nun bildest du die Basis ab und die Spalten der gesuchten Matrix sind die Bilder deiner Basis.

Eigentlich schon fast trivial, aber wenn nichts anderes gegeben ist.....

08.07.2013, 12:10

Martin1

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Funktioniert das nach folgenden Plan?

1. Erkenne von welcher Basis, zu welcher Basis ,,abgebildet" werden soll
2. Bilde die Basis des Definitionsbereiches ab (Also jeden Vektor in die vorgegebene Funktion einsetzen und den Wertebereich berechnen)
3. Die neuen Vektoren, also die abgebildete Basis, die ich ebend berechnet habe als die andere Basis darstellen(Sprich Vektor x=Linearkombination Y.
4. Die Koeffizienten spaltenweise in die Matrix eintragen

Also ich bin mir immer noch unsicher woher du phi(x)=Id herhast. Also ich verstehe schon was du meinst. Das ich die Einheitsvektoren der Standardbasis E3 abbilden soll mit phi(x)=Id, wobei das jeder einzelne Einheitsvektor selbst ist. Somit wäre die gesuchte Matrixdarstellung

1 0 0
0 1 0
0 0 1

Aber hier wird nichts mit Linearkombination gemacht wieso ? Hier wird nur abgebildet und sofort als Matrixdarstellung geschrieben.

08.07.2013, 12:17

lgrizu

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Bezüglich der Sztandardbasis gibt dir der Vektor selbst die Linearkombination an, also bezüglich der Standardbasis ist jeder Vektor gleich seinem Koordinatenvektor.

Es ist so, da wir keine Basis gegeben haben wählen wir eine, die Standardbasis (sollte die Aufgabe doch anders lauten und du sollst eine andere Basis abbilden, dann musst du das sagen).

Also: Wir bilden die Standardbasis mit der Identität bezüglich der Standardbasis ab (reichlich dämlich, aber was soll man machen).

Man könnte das ganze auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} M_{E}^{E}(Id(x)) \end{eqnarray*}$ Wobei E die Standardbasis ist, also die Einheitsbasis.
Und das ist die Einheitsmatrix.....

Aber vielleicht postest du die Aufgabe auch mal wort-wörtlich, man kann schnell auch mal was überlesen.

08.07.2013, 12:30

Martin1

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Es ist wirklich so wie ich gesagt hatte

"Sei $\begin{eqnarray*} Id_{3}: \mathbb R^{3} \rightarrow \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ , die Identität in IR^3, d.h.

$\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb R^{3}, Id_{3} (x)=x \end{eqnarray*}$

Seien X={x1,x2,x3} und Y={y1,y2,y3} zwei Basen von IR^3, wobei

$\begin{eqnarray*} \vec{x_{1} } :=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{x_{2} } :=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{x_{3} } :=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \vec{y_{1} } :=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{y_{2} } :=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{y_{3} } :=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aufgabe 1) Berechne für j=1,2,3 die Koeffizienten von xj in der Basis Y
Aufgabe 2) Schreibe die Matrixdarstellung My,x[Id_3] der Identität bzgl. der Basen X und Y
Aufgabe 3) Schreibe die Matrixdarstellung M[Id_3] der Identität bzgl. der Standardbasis E3."

Du hast einen sehr wichtigen Punkt genannt. Wir haben ja keine Basis gegeben, dessen Bilder wir berechnen sollen mithilfe der vorgegebenen Abbildung und welche wir dann bezüglich der Standardbasis darstellen sollen als Matrix. Das einzige was gesagt wird ist die Identität, wobei die Matrixdarstellung M[Id3] lauten soll.

Die Identität ist gegeben durch Id3(x)=x. Da nun nichts weiter gesagt wird, kann ich davon immer ausgehen die Standardbasis zu nehmen? Also die Standardbasis in die Abbildung einzusetzen und dessen Bilder dann als Linearkombination der anderen Basis darzustellen (Hier ebenfalls Standardbasis) Also nun auch bezogen auf andere Aufgaben. In diesem Fall wären die Bilder wieder die Standardbasis, da ja die Abbildung die Identität ist. Diese Standardbasis gleichgesetzt mit der Linearkombination der ,,anderen" Standardbasis bringt mich auf folgende Matrixdarstellung:

1 0 0
0 1 0
0 0 1

08.07.2013, 13:04

lgrizu

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Wie gesagt, etwas trivial, aber wenn es denn so sein soll....

Einheitsmatrix st dann als Ergebnis richtig.

08.07.2013, 13:12

Martin1

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Vielen dank, kannst du aber nochmal das von mir aufgeführte bzgl das wenn keine Basis vorhanden ist man die Einheitsmatrix nutzt als Basis, dessen Bilder mithilfe der vorgegebenen Abbildung berechnet wird und diese dann gleichgesetzt werden mit der anderen vorgegebenen Basis (Hier Standardbasis E3).

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