Permutationsgruppe

02.07.2013, 00:53

Brückenbauergesuch

Permutationsgruppe

Meine Frage:
Aufgabenstellung: Sei $\begin{eqnarray*} G = (M,*) \end{eqnarray*}$ eine endliche Gruppe. Zeigen Sie, dass für jedes $\begin{eqnarray*} a \in M \end{eqnarray*}$ die Abbildung $\begin{eqnarray*} f_{a}: M \to M \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f_{a}(x) = a * x \end{eqnarray*}$ eine Permutation von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist, d.h. eine bijektive Abbildung von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich weiß mittlerweile, dass ich hier die Bijektivität der Abbildung $\begin{eqnarray*} f_{a} \end{eqnarray*}$ zeigen muss. Mir erschließt sich aber überhaupt nicht, wie ich von $\begin{eqnarray*} f_{a}(x) = a * x \end{eqnarray*}$ darauf komme, dass $\begin{eqnarray*} f_{a} \end{eqnarray*}$ eine Permutation ist. Nehme ich z.B. $\begin{eqnarray*} f_{e}(x) = e*x = x \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} f_{a}(x) = a*x \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} f_{a^2} = a^{2}*x \end{eqnarray*}$
usw. dann könnte ich die Eigenschaften der endlichen Gruppe auf das erzeugende Element $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ übertragen, wobei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine zweielementige Transposition wäre. Oder geht es gar nicht darum, sondern darum, dass die Permutation abstrakt gesehen das gleiche ist, wie die Hintereinanderausführung mit einem erzeugenden Element in einer endlichen zyklischen Gruppe?

Also meine Frage nochmal formuliert: Wieso muss ich lediglich zeigen, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f_{a} \end{eqnarray*}$ eine bijektive Abbildung ist, damit es eine Permutation ist?

Wäre für eine Brücke sehr dankbar.

02.07.2013, 02:31

Itachi123

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Hallo,
ich habe zwar selbst nicht viel Ahnung, aber ich würde vielleicht versuchen zu zeigen, dass durch die Injektivität gilt, dass zwei Elemente nie auf das selbe Element abgebildet werden. Somit wird z.B a auf b abgebildet, b auf c, c auf d. Da die Gruppe endlich ist, muss also z.B d auf a abgebildet werden und du erhälst eine Permutation.
Ich weiß nicht ob das stimmt, es ist auch schon spät, aber vielleicht gibt dir das ja einen Denkanstoß Big Laugh

02.07.2013, 13:51

Brückenbauergesuch

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Es ist auf jeden Fall die richtige Richtung. Zum Beweis, dass es sich um eine bijektive Abbildung handelt muss man die Abgeschossenheit (dass f total ist), Injektivität und Surjektivität zeigen. Das ist auch nicht das Problem. Ich wusste nur nicht, wie ich von einer Definition der Funktion auf die Funktionsvorschrift der Permutation komme. Aber das muss ich gar nicht, denn abstrakt gesehen sind es Gruppen die ja durch ein erzeugendes Element erzeugt werden und so für jedes $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ verschieden sind, analog zum erzeugenden Element 1 in $\begin{eqnarray*} Z / m \end{eqnarray*}$ .

02.07.2013, 14:01

watcher

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Hallo,

eine Permutation per Def. eine bijektive Selbstabbildung, sprich eine bijektive Abb. deren Quelle und Ziel gleich sind.
Wie man ja eigentlich auch durch das erklärende d.h. der Aufgabenstellung sehen kann.

Zitat:

Aber das muss ich gar nicht, denn abstrakt gesehen sind es Gruppen die ja durch ein erzeugendes Element erzeugt werden und so für jedes $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ verschieden sind, analog zum erzeugenden Element 1 in $\begin{eqnarray*} Z / m \end{eqnarray*}$ .

Keine Ahnung was das bedeuten soll. Hört sich eher nach zyklisch an.

02.07.2013, 14:43

Brückenbauergesuch

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Ja genau. Und die Menge aller n-Permutationen mit der Konkatenation bildet eine (vollständige symmetrische) Gruppe der Ordnung n. Das sind also alle Möglichkeiten (alle bijektiven Abbildungen) n Elemente anzuordnen. Eine Untergruppe davon heißt Permutationsgruppe. Jede endliche Gruppe ist aber auch isomorph zu einer Permutationsgruppe (Satz von Cayley). Also gibt es bspw. einen Isomorphismus von Z/m zu einer Permutationsgruppe also einer Gruppe der in der Aufgabestellung beschriebenen bijektiven Abbildungen. Ich dachte halt, dass man von einer Gruppe irgendwie auf die Funktionsvorschrift der Permutationen kommen kann, das ist aber natürlich falsch, weil wir uns in einer anderen Abstraktionsebene befinden, wo es nur um die "Verschiedenheitsrelation", bzw. "Nachfolgerbeziehung" einer zyklischen Gruppe geht, die die Permutationsgruppe erfüllt.

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