selbstadjungiert, positiv definit

02.07.2013, 11:28	zewa-softis	Auf diesen Beitrag antworten »
selbstadjungiert, positiv definit Hallo! Kann mir jemand bitte bei der folgenden Fragestellung helfen? Sei D eine selbstadjungierte, positiv definite Matrix. Zu zeigen: Es gibt eine eine selbstadjungierte, positiv definite Matrix K mit D = K² Wäre über Hilfestellungen sehr dankbar! lg
02.07.2013, 14:38	watcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, erste Frage: Über welchem Grundkörper sind wir hier? Reelle Zahlen oder komplexe? Weist du wie man eine Wurzel aus einer Matrix zieht? Oder wie man Matrizen geschickt potenziert?
03.07.2013, 07:33	zewa-softis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme mal in den Reellen (steht leider nichts genaueres in der Angabe) In diesem Fall ist die Wurzel aus eindeutig bestimmt, da wir eine selbstadjungierte positiv definite Matrix haben. Wurzel ziehen kann ich mit Hilfe von Jordanblöcken. hmm
03.07.2013, 10:59	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Existenz der Matrix K mit $\begin{eqnarray} K^2 = D \end{eqnarray}$ ist recht leicht zu zeigen. Schwieriger wird dass K ebenfalls selbstadjungiert und positiv definit ist. Nehmen wir an dass wir in $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ rechnen, dann ist also $\begin{eqnarray} D^H = D \end{eqnarray}$ das heißt, dass D unitär diagonalisierbar ist. Es gibt also eine Diagonalmatrix X und eine unitäre Matrix U mit: $\begin{eqnarray} UXU^H = D \end{eqnarray}$ dann ist zum Beispiel $\begin{eqnarray} D^2 = UXU^HUXU^H = UX^2U^H \end{eqnarray}$ Schau dir mal $\begin{eqnarray} D^2 \end{eqnarray}$ genau an, wie könnte man auf einem ähnlichen Weg die Matrix K finden?

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