IJ echt kleiner als I

03.07.2013, 11:57

mathinitus

IJ echt kleiner als I

Hallo,

ich habe mir ein paar Gedanken gemacht. Sei R ein Integritätsbereich und $\begin{eqnarray*} I,J\subseteq R \end{eqnarray*}$ zwei Ideale in R.
Trivialerweise gilt $\begin{eqnarray*} IJ\subseteq I \end{eqnarray*}$ . Meistens gilt sogar $\begin{eqnarray*} IJ\subsetneq I \end{eqnarray*}$ . Ich wollte mir nun einmal überlegen, unter welchen Voraussetzungen $\begin{eqnarray*} IJ\subsetneq I \end{eqnarray*}$ gilt, also IJ echt kleiner als I ist. Das Problem konnte ich meiner Meinung nach vollständig lösen falls I endlich erzeugt ist, denn in diesem Fall habe ich bewiesen:

$\begin{eqnarray*} IJ=I \Leftrightarrow (I=0 \lor J=R) \end{eqnarray*}$

Die einzige interessante Richtung ist in meinen Augen " $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ", also mal schnell mein Beweis:

Wir können I als endlich erzeugten R-Modul und die Identität auf I als R-Modulhomomorphismus $\begin{eqnarray*} I\to I \end{eqnarray*}$ auffassen. Nach einem bekannten Satz lässt sich nun ein normiertes Polynom mit Koeffizienten in J (außerhalb der führenden 1) finden, das die Identität zur Nullabbildung macht. Also gibt es ein $\begin{eqnarray*} b\in J \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (1+b)a=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a\in I \end{eqnarray*}$ . Da R Integritätsbereich ist, ist entweder b=-1, das impliziert J=R oder jedes $\begin{eqnarray*} a\in I \end{eqnarray*}$ bereits 0, also $\begin{eqnarray*} I=0 \end{eqnarray*}$ .
Stimmt der Beweis?

Und wie schaut die Sache aus, wenn I nicht endlich erzeugt ist?

03.07.2013, 18:21

tmo

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Ja, das stimmt. Warum du den "bekannten Satz" nicht beim Namen (Cayley-Hamilton) nennst, ist mir jedoch schleiferhaft Big Laugh

03.07.2013, 18:52

mathinitus

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Zitat:

Original von tmo
Ja, das stimmt.

Meinst du meinen Beweis? Geht es noch einfacher? Braucht man wirklich Cayley-Hamilton?

Zitat:

Original von tmo
Ja, das stimmt. Warum du den "bekannten Satz" nicht beim Namen (Cayley-Hamilton) nennst, ist mir jedoch schleiferhaft Big Laugh

Unter Cayley-Hamilton war mir nur der Spezialfall mit dem charakteristischen Polynom eines Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums bekannt.

Wie schaut die Sache nun aus, wenn I nicht endlich erzeugt ist?

03.07.2013, 19:55

tmo

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Es geht auch ohne Cayley-Hamilton, ist dann aber (zumindest das, woran ich denke) wohl etwas mehr Aufwand. Allerdings ist Cayley-Hamilton doch jetzt gar nicht mal so stark, da muss man kein schlechtes Gewissen haben, wenn man es verwendet.

Wenn I nicht endlich erzeugt ist, dann findet man Gegenbeispiele.

Zumindest habe ich hoffentlich eins gefunden und zwar in

$\begin{eqnarray*} R = \mathbb Q[X^{2^{\frac{1}{n}}}, n \in \mathbb N]= \mathbb Q[X,\sqrt{X},\sqrt[4]{X},\sqrt[8]{X}, \dotsc ] \end{eqnarray*}$ (Also ein Ring mit einer formalen Variable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und alle deren iterierte Wurzeln).

Du kannst es ja mal suchen. Wenn man den Ring erstmal hat, ist das Angeben eines geeigneten $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ eigentlich recht intuitiv.

03.07.2013, 23:51

mathinitus

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Ich glaube, es sollte $\begin{eqnarray*} R = \mathbb Q[X^{2^{-n}}, n \in \mathbb N] \end{eqnarray*}$ heißen.

Ja, wenn der Ring einmal da ist, ist der Rest nicht mehr so schwierig, da hast du recht:

Wenn wir für I das Ideal nehmen, welches von den $\begin{eqnarray*} X^{2^{-n}} \end{eqnarray*}$ erzeugt wird, dann ist I weder das Nullideal noch der ganze Ring, weil $\begin{eqnarray*} 1990-04-01\in R\setminus I \end{eqnarray*}$ . Jedoch sollte $\begin{eqnarray*} I^2=I \end{eqnarray*}$ gelten, denn jeder Erzeuger von I ist klar in $\begin{eqnarray*} I^2 \end{eqnarray*}$ enthalten:
$\begin{eqnarray*} X^{2^{-n}} = X^{2^{-(n+1)}} \cdot X^{2^{-(n+1)}} \end{eqnarray*}$

04.07.2013, 17:28

tmo

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Ja, ich wollte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ im Exponent schreiben und habs irgendwie verdaddelt Big Laugh

Dasselbe Beispiel hatte ich mir auch rausgepickt.

04.07.2013, 17:32

mathinitus

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Zitat:

Original von tmo
Ja, ich wollte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ im Exponent schreiben und habs irgendwie verdaddelt Big Laugh

Dachte ich mir, so wollte ich es dann auch zuerst schreiben, jedoch sieht das hier sehr komisch aus: $\begin{eqnarray*} X^\frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$
Liegt wohl an der Umsetzung des Forums von LaTeX in die Grafiken.

Vielen Dank auf jeden Fall für den netten Ring!

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