Kongruenzen in den p-adischen Zahlen (Qp) lösen |
| 04.07.2013, 18:26 | The_Flash | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Kongruenzen in den p-adischen Zahlen (Qp) lösen Hallo, ich bin verzweifelt nach einem Beispiel am suchen um Kongruenzen in Qp (p-adische Zahlen; NICHT zu verwechseln mit den ganze p-adischen Zahlen Zp)zu lösen. Ich habe hier eine Aufgabe und hab keine Ahnung wie man das machen würde. In Zp ist es mir klar wie es funktioniert (Zuerst in Z lösen und dann mit dem Hensel Lemma). Es wäre toll wenn mir das jemand erklären könnte. "Bestimme alle Primzahlen p>7, für die die Gleichung x² + 4x+ 11 = 0 eine Lösung in Qp hat" Meine Ideen: Ich hab mir gedacht, dass wenn es eine Lösung in Qp hat, hat es auch eine Lösung in Zp. Von daher wäre meine Idee, das ganze in Zp zuerst zu lösen mit Hensel. Vielleicht ist auch der Satz von Hasse-Minkowski ein Hilfsmittel?? |
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| 04.07.2013, 18:37 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du hast doch bestimmt eine genau Aussage darüber, welche Elemente in Quadrate sind und welche nicht. Was die quadratische Gleichung angeht, ist eine solche genau dann lösbar, wenn die Diskriminante ein Quadrat in dem entsprechenden Körper ist. |
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| 04.07.2013, 18:50 | The_Flash | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi tmo, danke für die schnelle Antwort. Ehrlich gesagt muss ich sagen, ich weiß nicht welche Elemente Quadrate in Qp sind. Kannst du mir da helfen? Der Tipp mit der Diskriminante hilft mir ehrlich gesagt nicht weiter, ich hatte (wie oben geschrieben) anscheinend einen ganz anderen und einen falschen Ansatz an die Aufgabe ran zu gehen. Vielleicht kannst du mir deinen Tipp mit der Diskriminante etwas ausführlicher erläutern? |
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| 05.07.2013, 08:12 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dann machen wir die Aufgabe mal ad hoc. Aber bei einem bleibt es: Als aller erstes solltest du dir klar machen, dass die Gleichung genau dann lösbar ist, wenn -7 ein Quadrat in Q_p ist. Überspitzt gesagt lernt man das in der neunten Klasse. Die Frage reduziert sich dann in der Tat mit dem Henselschen Lemma darauf für welche p > 7 das Legendre-Symbol -7 über p gleich 1 ist. |
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| 05.07.2013, 11:28 | The_Flash | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für deine Antwort. Nach quadratischer Ergänzung kam ich auf (x+2)² = - 7 Anschließend bin ich deinem Tipp nachgegangen und hab geschaut wann "-7 über p" 1 ist. Nach meiner Rechnung komm ich da auf p = 1 mod 28, also zb. 29 wäre ein solches p. Hast du das auch raus? |
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| 05.07.2013, 11:41 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
29 ist in der Tat eine solche Primzahl, aber die Gesamtheit aller solchen Primzahlen sind nach meiner Rechnung diejenigen mit Also die ersten Beispiele sind |
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| 05.07.2013, 11:43 | The_Flash | Auf diesen Beitrag antworten » |
OK. Wie hast du das denn gemacht ? Wie bist du auf deine Lösungen gekommen? Ich hab, wie du gesagt hast, dass Legendre Symbol ausgerechnet und kam daher nur auf das eine Ergebnis mit p = 1 mod 28 |
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| 05.07.2013, 11:46 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich habe natürlich auch das Legendresymbol ausgerechnet: Und die Quadrate mod 7 sind ja gerade 1,2 und 4 |
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| 05.07.2013, 11:54 | The_Flash | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ach ja klar, das ist schon so offensichtlich das ich das übersehen hab zu betrachten. Cool danke. Dann ist also -7 eine Quadratwurzel in Q11, Q23 usw... und somit ist die Funktion x²+4x+11 = 0 in den eben erwähnten p-adischen Zahlen lösbar. |
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| 05.07.2013, 11:57 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ist dir denn auch nun klar, warum es reicht zu überprüfen, ob es eine Lösung in gibt? Am Anfang warst du ja noch skeptisch, ob man das darf. |
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| 05.07.2013, 12:54 | The_Flash | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hm, ich vermute mal weil Zp in Qp eingebettet ist? Es heißt ja auch das Qp der Quotientenkörper von Zp ist. Oder gibts eine andere Begründung? |
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| 05.07.2013, 13:08 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Naja eine Begründung ist das noch lange nicht. Interessant ist ja vor allem folgender Schluss: Es gibt eine Lösung in Q_p (bzw. äquivalent: -7 ist Quadrat in Q_p) ===> Es gibt eine Lösung in Z_p (bzw. äquivalent: -7 ist Quadrat in Z_p) Der ist im ersten Moment nichttrivial, ist aber für unsere Argumentation sehr wichtig. Denn wir haben bis jetzt ja nur gezeigt, dass Primzahlen, die bei Division durch 7 eben nicht die Rest 1,2 oder 4 lassen, keine Lösung in Z_p zulassen. Dass es auch keine Lösung in Q_p gibt, sagt uns dann obige Implikation. Man kann dazu auf mehrere Arten argumentieren, ich schlage dir mal 2 vor. a) -7 ist ja eine Einheit in Z_p. Man kann ganz einfach zeigen: Wenn man die Wurzel einer Einheit in zieht (und zwar erstmal nur in Q_p), dann liegt die Wurzel auch schon in Z_p (und ist auch eine Einheit). b) Oder man geht etwas allgemeiner an die Sache ran: Du kennst doch bestimmt die Tatsache, dass bei einem normierten Polynom mit Koeffizienten aus Z alle rationalen Nullstellen schon in Z liegen. Genau dasselbe gilt auch bei Z_p und Q_p (und allgemein bei jedem faktoriellen Ring und seinem Quotientenkörper). Hat man ein normiertes Polynom mit Koeffizienten aus Z_p, so liegt jede Lösung, die in Q_p existiert, schon in Z_p. Man sagt auch: Faktorielle Ringe sind normal (ganzabgeschlossen in ihrem Quotientenkörper). |
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| 05.07.2013, 13:22 | The_Flash | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für deine ausführliche Antwort. Ich werde das mal sacken lassen und drüber nachdenken. Dein 1) Vorschlag war mir nicht bekannt. Der 2) hingegen schon eher. Man spricht ja auch dann von "ganz" bzw "ganz in Z", wenn ich ein x habe, welches die Nullstelle eines normierten Polynoms ist. Wie gesagt, ich lass das mal sacken und denk drüber nach und wenn ich dann nochmal eine Frage dazu hab, schreibe ich nochmal. Danke bis dahin |
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