Zerlegung in irreduzible Elemente in Körpern

04.07.2013, 19:41

L.L.

Zerlegung in irreduzible Elemente in Körpern

Hallo,

ich habe heute über Körper nachgedacht. Offensichtlich ist jeder Körper K ein Hauptidealring (es gibt ja in einem Körper nur das Nullideal und das Ideal K selbst.
Nun ist aber jeder Hauptidealring faktoriell. Das haben wir in der Vorlesung gezeigt.
Folglich müsste jedes a aus K\{0} eine eindeutige Darstellung als Produkt von irreduziblen Elementen besitzen.
Da nun aber jedes Element aus K\{0} reduzibel ist (sie sind ja alle invertierbar), erhalte ich keine solche Darstellung.

Könnt ihr mir helfen?

Liebe Grüße,
Leon

PS: ich habe versucht, mit Latex zu arbeiten. Als ich die Tags [latex] [\latex] gesetzt habe, ist aber einfach gar nichts passiert, als ich mir das in der Vorschau angesehen habe.

04.07.2013, 20:04

lgrizu

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RE: Zerlegung in irreduzible Elemente in Körpern
Die Zerlegung ist bis auf eine Einheit und bis auf Assoziiertheit eindeutig. Augenzwinkern

04.07.2013, 21:12

L.L.

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Hallo,

das weiß ich bereits. Mir geht es auch nicht um die Eindeutigkeit, sondern um die Existenz einer Zerlegung.

Sei also a aus K\{0}. Dann müsste man ja a = v * q_1 * ... * q_r
schreiben können mit ireduziblen Elementen q_1, ..., q_r und einer Einheit v. Die Einheit v kann ich finden, die irreduziblen Elemente q_1, ..., q_r jedoch nicht. Denn es sind ja alle Elemente aus K/{o} invertierbar und somit per Definition reduzibel.

Mich interessiert übrigens immernoch, wie ich Latex einbinden kann. Wie gesagt hat es vorhin mit dem Befehl nicht funktioniert. Das Tutorial hat mir nicht geholfen, da dort auch nur erwähnt wurde, dass ich den Befehl [latex] [\latex] verwenden soll.

04.07.2013, 21:15

Mulder

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Nicht [\latex] sondern [/latex] . Augenzwinkern

wieder weg

04.07.2013, 21:23

L.L.

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$\begin{eqnarray*} Hallo, das weiß ich bereits. Mir geht es auch nicht um die Eindeutigkeit, sondern um die Existenz einer Zerlegung. Sei also $a \in K \setminus {0}$. Dann müsste man ja $a = v * q_{1} \cdot ... \cdot q_{r}$ schreiben können mit irreduziblen Elementen $q_{1} ... q_{r}$ und einer Einheit $v$. Die Einheit $v$ kann ich finden, die irreduziblen Elemente $q_{1} ... q_{r}$ jedoch nicht. Denn es sind ja alle Elemente aus $K \setminus {o}$ invertierbar und somit per Definition reduzibel. \end{eqnarray*}$

04.07.2013, 21:29

L.L.

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Hhm. Vielen Dank für den Hinweis. Leider bekomme ich jetzt nur die Meldung "missing } inserted" und auch nach vollständigem Neuschreiben des ganzen Textes (zusätzlich damit, dass ich Umbrüche durch \\ eingefügtz habe) erhalte ich bei der Vorschau noch die Gleiche Meldung.
Könnt ihr mir mitteilen, was ich falsch mache?

04.07.2013, 21:51

Mulder

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Anstatt einfach den kompletten Post in latex zu packen, solltest du dich darauf konzentrieren, nur die tatsächlichen Formeln in latex zu packen. Zwar kann man auch alles in latex darstellen, aber dann musst du die entsprechenden Tags setzen. Machs erstmal nach dem Schema

code:
1:	Sei [latex]a[/latex] eine natürliche Zahl und [latex]b>0[/latex]

Dann ist das einfacher. man braucht ja hier im Forum auch (erstmal) keine übertriebene Kosmetik.

04.07.2013, 22:00

L.L.

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Ah, verstehe, der Befehl gibt also eine Formelumgebung. Ich dachte, der Befehl würde dazu führen, dass ich alle Latexbefehle verwenden kann, die es gibt und zusätzlich noch den Mathematikmodus im Text aktivieren muss. Ich hab's nun nochmal versucht:

Hallo,

das weiß ich bereits. Mir geht es auch nicht um die Eindeutigkeit, sondern um die Existenz einer Zerlegung.

Sei also $\begin{eqnarray*} a \in K \setminus {\{0\}} \end{eqnarray*}$ . Dann müsste man ja $\begin{eqnarray*} a = v \cdot q_{1} \cdot ... \cdot q_{r} \end{eqnarray*}$ schreiben können mit ireduziblen Elementen $\begin{eqnarray*} q_{1}, ..., q_{r} \end{eqnarray*}$ und einer Einheit $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ . Die Einheit $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ kann ich finden, die irreduziblen Elemente $\begin{eqnarray*} q_{1}, ..., q_{r} \end{eqnarray*}$ jedoch nicht. Denn es sind ja alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} K \setminus {\{0\}} \end{eqnarray*}$ invertierbar und somit per Definition reduzibel.

04.07.2013, 22:08

watcher

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Hallo,

das leere Produkt ist auch ein Produkt, sprich r=0 ist zugelassen.
Was sollte man sonst bei Einheiten auch machen?

05.07.2013, 17:11

L.L.

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Hhm. Das klingt einerseits einleuchtend, andererseits stört es mich, da ich jetzt bei allen Beweisen, die von einer eindeutigen Zerlegung in irreduzible Elemente ausgehen, nachprüfen muss, dass sie auch dann noch funktionieren, wenn das Element nur in sich selbst zerlegt wird (Weil dieser wahrscheinlich triviale Fall bei uns in der Vorlesung einfach immer ausgelassen wurde). Aber gut, das könnt ihr ja eh nicht leisten. Damit betrachte ich die Frage als beantwortet ;-)

05.07.2013, 17:16

watcher

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Alle Beweise damit funktionieren, da das die übliche Konvention ist.

Und es sind ja auch nur die Einheiten die keinerlei irreduziblen Teiler haben.
(manche nehmen die von vornherein aus teilbarkeitsüberlegungen raus.)

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