Komplexe Integralrechnung

05.07.2013, 08:16

Womanpower

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Komplexe Integralrechnung

Meine Frage:
Hallo seit gegrüßt.
Ich muss bei a) zeigen, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} z \mapsto \text{ Im(z)} \end{eqnarray*}$ keine Stammfunktion besitzt.

Bei der b) soll ich folgende Integrale berechnen:

i) $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma_k} ze^{iz^2}dz \end{eqnarray*}$

ii) $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma_k} \frac{1}{(z-k)^3}dz \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , wobei die Pfade gegeben sind durch

$\begin{eqnarray*} \gamma_k (t):=(5+\sin(kt))e^{it} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} t \in \left[\frac{\pi}{k}, \frac{\pi(k+1)}{k}\right]. \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich kämpfe irgendwie mit dem Verständnis bei der Aufgabe besonders bei der a). Bei der b) sieht es ein wenig besser aus. Ich verstehe nur nicht was mit den Pfaden gemeint ist. Bei dem ersten Integral könnte man ja mit Produktintegration integrieren? Bei dem zweiten Integral mit Substitution? Jedoch verstehe ich nicht was ich mit den Pfaden und dem t anstellen soll.
Ein danke für alle Helfer und Durchleser dieser Aufgabe

Zweiten Beitrag hier reinkopiert und gelöscht. Steffen

Guten Morgen. Ich nehme mal richtig an, dass dies hier meine Parametrisierung ist

für alle $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , wobei die Pfade gegeben sind durch

$\begin{eqnarray*} \gamma_k (t):=(5+\sin(kt))e^{it} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} t \in \left[\frac{\pi}{k}, \frac{\pi(k+1)}{k}\right]. \end{eqnarray*}$
?

06.07.2013, 09:17

Womanpower

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RE: Komplexe Integralrechnung
Also allgemein gilt ja: Ist $\begin{eqnarray*} f: D \rightarrow \mathbb C \end{eqnarray*}$ eine stetige Funktion und $\begin{eqnarray*} \gamma : [a,b] \rightarrow D \end{eqnarray*}$ eine stückweise stetig differenzierbare Kurve in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ , so heißt

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} f(z) dz:=\int_a^b f(\gamma (t)) \gamma' (t) dt \end{eqnarray*}$

das Kurvenintegral von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ längs $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ausführlich geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} f(z) dz:=\int_a^b \left(u(x(t),y(t)) \cdot x'(t)-v(x(t),y(t)) \cdot y'(t) \right) dt+i \int_a^b \left(u(x(t),y(t)) \cdot y'(t)-v(x(t),y(t)) \cdot x'(t) \right) dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i)\int_{\gamma_k} ze^{iz^2}dz \end{eqnarray*}$

Nehme ich jetzt richtig an, dass
$\begin{eqnarray*} x(t)=5e^{it} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(t)=\sin(kt)e^{it} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht was das $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ sein soll? Wie soll ich meine Parametrisierung dort einsetzen? verwirrt

verwirrt

06.07.2013, 09:43

Leopold

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Ist dir bekannt, daß holomorphe Funktionen beliebig oft differenzierbar sind? Wenn also $\begin{eqnarray*} f(z) = \operatorname{Im}(z) \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F(z) \end{eqnarray*}$ besäße, dann wäre $\begin{eqnarray*} f(z) = F'(z) \end{eqnarray*}$ differenzierbar: $\begin{eqnarray*} f'(z) = F''(z) \end{eqnarray*}$ . Wie sieht es aber bei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen aus?
Alternativ kannst du auch das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{|z|=1} \operatorname{Im}(z) ~ \dd z \end{eqnarray*}$ über den Einheitskreis berechnen. Das müßte $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein, wenn es bei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion gäbe.

Bei b) brauchst du nicht zu parametrisieren. Wenn $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F(z) \end{eqnarray*}$ besitzt, dann gilt $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} f(z) ~ \dd z = F(b) - F(a) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ Anfangs- bzw. Endpunkt von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ sind.

06.07.2013, 10:32

Womanpower

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Zitat:

Original von Leopold
Ist dir bekannt, daß holomorphe Funktionen beliebig oft differenzierbar sind? Wenn also $\begin{eqnarray*} f(z) = \operatorname{Im}(z) \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F(z) \end{eqnarray*}$ besäße, dann wäre $\begin{eqnarray*} f(z) = F'(z) \end{eqnarray*}$ differenzierbar: $\begin{eqnarray*} f'(z) = F''(z) \end{eqnarray*}$ . Wie sieht es aber bei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen aus?
Alternativ kannst du auch das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{|z|=1} \operatorname{Im}(z) ~ \dd z \end{eqnarray*}$ über den Einheitskreis berechnen. Das müßte $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein, wenn es bei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion gäbe.

Ja zu den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen weiß ich ja, wenn ich eine Funktion $\begin{eqnarray*} f=u+iv \end{eqnarray*}$ habe, ist diese genau dann holomorph, wenn die Funktionen $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ total differenzierbar sind und wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}. \end{eqnarray*}$

Ja mir ist bekannt, dass holomorphe Funktionen beliebig oft differenzierbar sind. Ja $\begin{eqnarray*} f(z) = F'(z) \end{eqnarray*}$ das macht Sinn. Aber ich soll ja zeigen, dass die Funktion keine Stammfunktion besitzt. verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von Leopold
Bei b) brauchst du nicht zu parametrisieren. Wenn $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F(z) \end{eqnarray*}$ besitzt, dann gilt $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} f(z) ~ \dd z = F(b) - F(a) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ Anfangs- bzw. Endpunkt von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ sind.

Okay. Hm kommt mir irgendwie komisch vor. Berechne ich dann $\begin{eqnarray*} i) \end{eqnarray*}$ mit partieller Integration? Ich bin mir nicht im Klaren, was das Integrationsgebiet bei den Integralen sein soll unglücklich

unglücklich

Danke für Deine Antwort Leopold Freude

Freude

06.07.2013, 10:38

Leopold

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Zitat:

Original von Womanpower
Aber ich soll ja zeigen, dass die Funktion keine Stammfunktion besitzt. verwirrt

verwirrt

Eben. Führe einen Beweis durch Widerspruch.

Zitat:

Original von Womanpower
Okay. Hm kommt mir irgendwie komisch vor. Berechne ich dann $\begin{eqnarray*} i) \end{eqnarray*}$ mit partieller Integration?

Nix berechnen. Nur scharf hinschauen. Die Stammfunktion kann man ablesen.

06.07.2013, 11:03

Womanpower

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Womanpower
Aber ich soll ja zeigen, dass die Funktion keine Stammfunktion besitzt. verwirrt

verwirrt

Eben. Führe einen Beweis durch Widerspruch.

Ich nehme also an, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} z \mapsto \text{ Im(z)} \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion besitzt und zeige in Wirklichkeit, dass sie keine besitzt. Weiß nur nicht so recht wie ich den Beweis durchführen soll. Die Idee ist ja eig klar.
Was ist eigentlich $\begin{eqnarray*} z \mapsto \text{ Im(z)} \end{eqnarray*}$ ? $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ bildet ab auf den Imaginärteil von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ? D.h.?

Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Womanpower
Okay. Hm kommt mir irgendwie komisch vor. Berechne ich dann $\begin{eqnarray*} i) \end{eqnarray*}$ mit partieller Integration?

Nix berechnen. Nur scharf hinschauen. Die Stammfunktion kann man ablesen.

Ja eig. schon. Also $\begin{eqnarray*} \int ze^{iz^2}=-\frac{1}{2}i e^{iz^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{(z-k)^3}=-\frac{1}{2(z-k)^2} \end{eqnarray*}$

Aber was hat es dann mit dem Pfad auf sich? Also $\begin{eqnarray*} \gamma_k (t) \end{eqnarray*}$ ? Dann blicke ich irgendwie nicht dahinter.

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06.07.2013, 11:09

Leopold

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Machen wir nicht zu viel auf einmal und bleiben wir bei a).

Gegeben ist die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(z) = \operatorname{Im}(z) = y \ \ \text{mit kanonisch} \ z = x + \operatorname{i}y \end{eqnarray*}$

Wenn man $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in Real- und Imaginärteil zerlegt: $\begin{eqnarray*} f = u + \operatorname{i}v \end{eqnarray*}$ , was sind hier $\begin{eqnarray*} u = u(x,y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v = v(x,y) \end{eqnarray*}$ ?

06.07.2013, 11:22

Womanpower

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} f(z) = \operatorname{Im}(z) = y \ \ \text{mit kanonisch} \ z = x + \operatorname{i}y \end{eqnarray*}$

Wenn man $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in Real- und Imaginärteil zerlegt: $\begin{eqnarray*} f = u + \operatorname{i}v \end{eqnarray*}$ , was sind hier $\begin{eqnarray*} u = u(x,y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v = v(x,y) \end{eqnarray*}$ ?

Oki. Ja $\begin{eqnarray*} u=x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=y=\operatorname{Im}(z) \end{eqnarray*}$

06.07.2013, 11:29

Leopold

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Zitat:

Original von Womanpower
Oki. Ja $\begin{eqnarray*} u =\color{red} x =0 \ \text{???} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=y=\operatorname{Im}(z) \end{eqnarray*}$

Sinn! $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist eine Variable und kein Wert!

Das ist nicht richtig. Etwas flapsig, aber hoffentlich verständlich: $\begin{eqnarray*} u(x,y) \end{eqnarray*}$ ist alles, was kein $\begin{eqnarray*} \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} v(x,y) \end{eqnarray*}$ alles, was ein $\begin{eqnarray*} \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ besitzt.

Die Probe stimmt ja auch gar nicht. Mit deinem $\begin{eqnarray*} u = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=y \end{eqnarray*}$ würde man

$\begin{eqnarray*} f(z) = u(x,y) + \operatorname{i} v(x,y) = 0 + \operatorname{i} y = \operatorname{i} y = \operatorname{i} \operatorname{Im}(z) \end{eqnarray*}$

erhalten.

06.07.2013, 11:37

Womanpower

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Hm. Also was der Realteil und was der Imaginärteil ist, weiß ich schon auch wenn es gerade vielleicht den Anschein gemacht hat, als wenn ich es nicht so wüsste Big Laugh

Big Laugh

Es muss doch gelten:

$\begin{eqnarray*} u(x,y)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v(x,y)=-i\operatorname{Im(z)} \end{eqnarray*}$

dann erhalte ich doch:

$\begin{eqnarray*} f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=0-i^2\operatorname{Im(z)}=\operatorname{Im(z)} \end{eqnarray*}$

06.07.2013, 11:42

Leopold

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Zitat:

Original von Womanpower
Hm. Also was der Realteil und was der Imaginärteil ist, weiß ich schon auch wenn es gerade vielleicht den Anschein gemacht hat, als wenn ich es nicht so wüsste Big Laugh

Big Laugh

Es muss doch gelten:

$\begin{eqnarray*} u(x,y)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \color{red} v(x,y)=-i\operatorname{Im(z)} \end{eqnarray*}$

dann erhalte ich doch:

$\begin{eqnarray*} f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=0-i^2\operatorname{Im(z)}=\operatorname{Im(z)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u(x,y), v(x,y) \end{eqnarray*}$ sind Real- und Imaginärteil von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und müssen daher reellwertig sein!

$\begin{eqnarray*} z = 4711 + \operatorname{i} \cdot 2013 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Re}(z) = 4711 \, , \ \operatorname{Im}(z) = 2013 \ \ \color{red} \text{und nicht} \ \operatorname{i} \cdot 2013 \end{eqnarray*}$

06.07.2013, 11:52

Womanpower

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} u(x,y), v(x,y) \end{eqnarray*}$ sind Real- und Imaginärteil von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und müssen daher reellwertig sein!

$\begin{eqnarray*} z = 4711 + \operatorname{i} \cdot 2013 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Re}(z) = 4711 \, , \ \operatorname{Im}(z) = 2013 \ \ \color{red} \text{und nicht} \ \operatorname{i} \cdot 2013 \end{eqnarray*}$

Ja.

verwirrt

Jetzt befinde ich mich glaube ich am Tiefpunkt. Ich bin verwirrt geschockt

geschockt

. Auf die ursprüngliche frage was $\begin{eqnarray*} u(x,y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(x,y) \end{eqnarray*}$ sein soll wüsste ich keine Idee mehr unglücklich

unglücklich

06.07.2013, 11:55

Leopold

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Du mußt nur ablesen:

$\begin{eqnarray*} f(z) = \operatorname{Im}(z) = y = y + \operatorname{i} \cdot 0 \end{eqnarray*}$

06.07.2013, 12:02

Womanpower

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Ok. Ja.

Hammer

Aber $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ besitzt doch eine Stammfunktion.

06.07.2013, 12:06

Leopold

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Nach allem, was ich bislang erlebt habe, glaube ich dir nicht, daß du weißt, was $\begin{eqnarray*} u(x,y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(x,y) \end{eqnarray*}$ sind, bevor ich es gesehen habe.

06.07.2013, 12:28

Womanpower

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Ja $\begin{eqnarray*} u(x,y)=\operatorname{Im(z)}=y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(x,y)=0 \end{eqnarray*}$

anders geht's wohl nicht

06.07.2013, 12:42

Leopold

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Zitat:

Original von Womanpower
Aber $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ besitzt doch eine Stammfunktion.

Jetzt beachte, daß es hier nicht um reelle Differenzierbarkeit geht (etwa der Funktion $\begin{eqnarray*} \varphi(y) = y \end{eqnarray*}$ , die natürlich $\begin{eqnarray*} \Phi(y) = \frac{1}{2} y^2 \end{eqnarray*}$ als Stammfunktion hätte), sondern um komplexe Differenzierbarkeit. Es müssen also insbesondere die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen gelten. Ist das hier der Fall?

06.07.2013, 12:58

Womanpower

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Die Cauchy Riemanschen DGLn
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}. \end{eqnarray*}$

Wir haben ja:

$\begin{eqnarray*} u(x,y)=\operatorname{Im(z)}=y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(x,y)=0 \end{eqnarray*}$

Man sieht, dass diese nicht erfüllt sind.

06.07.2013, 13:07

Leopold

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Halten wir also fest:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \, , \ \ z \mapsto \operatorname{Im}(z) \end{eqnarray*}$

ist nicht komplex differenzierbar. Da das Definitionsgebiet ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ist, kann man weiter sagen: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist nicht holomorph.
Jetzt greife meinen Vorschlag von vorhin auf und zeige, daß sich das nicht vertrüge mit der Tatsache, daß $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion besäße.

(Das ist ein bedeutender Unterschied zum Reellen. Dort gibt es nicht differenzierbare Funktionen, die Stammfunktionen besitzen. Ein einfaches Beispiel ist $\begin{eqnarray*} f(t) = 2 |t| \end{eqnarray*}$ , welches bei $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar ist. Dennoch ist $\begin{eqnarray*} F(t) = t \cdot |t| \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ .)

06.07.2013, 13:31

Womanpower

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Zitat:

Original von Leopold
Halten wir also fest:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \, , \ \ z \mapsto \operatorname{Im}(z) \end{eqnarray*}$

ist nicht komplex differenzierbar. Da das Definitionsgebiet ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ist, kann man weiter sagen: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist nicht holomorph.
Jetzt greife meinen Vorschlag von vorhin auf und zeige, daß sich das nicht vertrüge mit der Tatsache, daß $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion besäße.

Ich finde den Übergang nicht. Wir haben ja jetzt gezeigt, dass die Funktion nicht komplex differenzierbar ist. Wir sollen aber ja zeigen, dass die Funktion keine Stammfunktion hat. D.h. wir müssten doch komplexe Integrierbarkeit widerlegen? Ich komme gerade nicht wie man das anhand der komplexen Differenzierbarkeit zeigen soll verwirrt

verwirrt

Also ich finde die Überleitung gerade nicht bezüglich Stammfunktion<->komplexe Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von Leopold
(Das ist ein bedeutender Unterschied zum Reellen. Dort gibt es nicht differenzierbare Funktionen, die Stammfunktionen besitzen. Ein einfaches Beispiel ist $\begin{eqnarray*} f(t) = 2 |t| \end{eqnarray*}$ , welches bei $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar ist. Dennoch ist $\begin{eqnarray*} F(t) = t \cdot |t| \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ .)

Ich weiß zwar was gemeint ist, aber ich kann nicht nachvollziehen wieso es so ist.

06.07.2013, 13:39

Leopold

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Ein indirekter Beweis geht so, daß man eine Annahme zu einem Widerspruch führt. Dann ist das Gegenteil der Annahme wahr. Wir wollen zeigen, daß $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ keine Stammfunktion besitzt. Wir machen daher die

$\begin{eqnarray*} \text{Annahme}: \ f \ \text{besitzt eine Stammfunktion} \ F \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist also differenzierbar mit $\begin{eqnarray*} F' = f \end{eqnarray*}$ .

Jetzt erzeuge daraus durch nochmaliges Differenzieren den gewünschten Widerspruch.

Ich will noch einmal darauf hinweisen, daß dieses Vorgehen nur gestattet ist, wenn dir bekannt ist und du verwenden darfst, daß eine holomorphe Funktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ automatisch unendlich oft (insbesondere also zweimal) differenzierbar ist.

06.07.2013, 14:10

Womanpower

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Zitat:

Original von Leopold
Ich will noch einmal darauf hinweisen, daß dieses Vorgehen nur gestattet ist, wenn dir bekannt ist und du verwenden darfst, daß eine holomorphe Funktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ automatisch unendlich oft (insbesondere also zweimal) differenzierbar ist.

Ja das muss es wohl.

Zitat:

Original von Leopold
Ein indirekter Beweis geht so, daß man eine Annahme zu einem Widerspruch führt. Dann ist das Gegenteil der Annahme wahr. Wir wollen zeigen, daß $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ keine Stammfunktion besitzt. Wir machen daher die

$\begin{eqnarray*} \text{Annahme}: \ f \ \text{besitzt eine Stammfunktion} \ F \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist also differenzierbar mit $\begin{eqnarray*} F' = f \end{eqnarray*}$ .

Jetzt erzeuge daraus durch nochmaliges Differenzieren den gewünschten Widerspruch.

Aber dazu müssen wir doch die Stammfunktion kennen? Also $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ? Wir nehmen dann ja an, dass $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion besitzt, obwohl wir's ja gar nicht wissen. Ist das nicht schräg? Würden wir dann nicht aus der Behauptung heraus beweisen? Bzw. Etwas was nicht existiert (also unsere Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ) annehmen, dass sie existiert.

06.07.2013, 14:35

Leopold

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Was ist daran schräg? Wenn eine Behauptung falsch ist, muß das Gegenteil wahr sein.

Jetzt gehe einfach davon aus, es gäbe (Konjunktiv!) ein komplex differenzierbares und damit holomorphes $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F'=f \end{eqnarray*}$ .

Jetzt differenziere. Tu's einfach!

06.07.2013, 14:46

Womanpower

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Ich weiß gerade nicht wie verwirrt

verwirrt

(habe etwas komplexes noch nie differenziert.)

06.07.2013, 14:58

Leopold

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Wir unterstellen, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ besäße eine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} F'=f \end{eqnarray*}$ . Da das holomorphe $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ aber beliebig oft differenzierbar ist, existiert auch $\begin{eqnarray*} F'' = f' \end{eqnarray*}$ , es wäre mit anderen Worten $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ holomorph. Das ist es aber nicht, wie wir bereits sahen (Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen waren nicht erfüllt). Unsere Annahme muß daher falsch sein, und das Gegenteil richtig: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ besitzt keine Stammfunktion.

Jetzt probiere auch die Alternative aus und berechne $\begin{eqnarray*} \int_{|z|=1} \operatorname{Im}(z) ~ \dd z \end{eqnarray*}$ über den positiv orientierten Einheitskreis. (Wenn ich es richtig in mein CAS eingegeben habe, ergibt sich $\begin{eqnarray*} - \pi \end{eqnarray*}$ als Wert, bei Existenz einer Stammfunktion hätte sich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ergeben müssen.)

06.07.2013, 15:57

Womanpower

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Zitat:

Original von Leopold
Wir unterstellen, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ besäße eine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} F'=f \end{eqnarray*}$ . Da das holomorphe $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ aber beliebig oft differenzierbar ist, existiert auch $\begin{eqnarray*} F'' = f' \end{eqnarray*}$ , es wäre mit anderen Worten $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ holomorph. Das ist es aber nicht, wie wir bereits sahen (Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen waren nicht erfüllt). Unsere Annahme muß daher falsch sein, und das Gegenteil richtig: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ besitzt keine Stammfunktion.

Ich glaube ich habe es jetzt halbwegs nachvollzogen, was diesen Teil angeht.

Zitat:

Original von Leopold
Jetzt probiere auch die Alternative aus und berechne $\begin{eqnarray*} \int_{|z|=1} \operatorname{Im}(z) ~ \dd z \end{eqnarray*}$ über den positiv orientierten Einheitskreis. (Wenn ich es richtig in mein CAS eingegeben habe, ergibt sich $\begin{eqnarray*} - \pi \end{eqnarray*}$ als Wert, bei Existenz einer Stammfunktion hätte sich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ergeben müssen.)

Da happert's jetzt wieder. Ohje tut mir leid unglücklich

unglücklich

06.07.2013, 16:18

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \int_{|z|=1} \operatorname{Im}(z) ~ \dd z = \frac{1}{2 \operatorname{i}} \int_{|z|=1} \left( z - \overline{z} \right) ~ \dd z = \frac{1}{2 \operatorname{i}} \left( \int_{|z|=1} z ~ \dd z - \int_{|z|=1} \overline{z} ~ \dd z \right) = - \frac{1}{2 \operatorname{i}} \int_{|z|=1} \overline{z} ~ \dd z \end{eqnarray*}$

Das erste Integral verschwindet nach dem Cauchyschen Integralsatz. Jetzt nur noch $\begin{eqnarray*} z = \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t \in [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ substituieren: $\begin{eqnarray*} \overline{z} ~ \dd z = \operatorname{e}^{- \operatorname{i}t} \cdot \operatorname{i} \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} ~ \dd t = \operatorname{i} ~ \dd t \end{eqnarray*}$ . Und die Rechnung zu Ende führen ...

06.07.2013, 17:14

Womanpower

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} \int_{|z|=1} \operatorname{Im}(z) ~ \dd z = \frac{1}{2 \operatorname{i}} \int_{|z|=1} \left( z - \overline{z} \right) ~ \dd z \end{eqnarray*}$

Der erste Schritt ist mir unklar. Ist das so definiert, oder wocher kommt's, dass die Gleichheit gilt? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} \int_{|z|=1} \operatorname{Im}(z) ~ \dd z = \frac{1}{2 \operatorname{i}} \int_{|z|=1} \left( z - \overline{z} \right) ~ \dd z = \frac{1}{2 \operatorname{i}} \left( \int_{|z|=1} z ~ \dd z - \int_{|z|=1} \overline{z} ~ \dd z \right) = - \frac{1}{2 \operatorname{i}} \int_{|z|=1} \overline{z} ~ \dd z \end{eqnarray*}$

Das erste Integral verschwindet nach dem Cauchyschen Integralsatz. Jetzt nur noch $\begin{eqnarray*} z = \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t \in [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ substituieren: $\begin{eqnarray*} \overline{z} ~ \dd z = \operatorname{e}^{- \operatorname{i}t} \cdot \operatorname{i} \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} ~ \dd t = \operatorname{i} ~ \dd t \end{eqnarray*}$ . Und die Rechnung zu Ende führen ...

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2 \operatorname{i}} \int_{|z|=1} \overline{z} ~ \dd z=\int_?^{?}itdt \end{eqnarray*}$

Ich tu mir gleich was an böse

böse

... Wir haben ja die Grenze $\begin{eqnarray*} |z|=1 \end{eqnarray*}$ Was soll das für ein Intervall sein? Und wie ändere ich dann die Grenze?

06.07.2013, 17:28

Leopold

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Zitat:

Original von Womanpower
$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2 \operatorname{i}} \int_{|z|=1} \overline{z} ~ \dd z=\int_?^{?}\color{red} itdt \end{eqnarray*}$

Das widerspricht dem, was ich dir vorgerechnet habe.

Zitat:

Original von Womanpower
Wir haben ja die Grenze $\begin{eqnarray*} |z|=1 \end{eqnarray*}$ Was soll das für ein Intervall sein?

$\begin{eqnarray*} |z| = 1 \end{eqnarray*}$ steht symbolisch für den positiv orientierten Einheitskreis. Diese etwas oberfläche Schreibweise ist in diesem Zusammenhang üblich. Es handelt sich also hier um ein Kurvenintegral. Bei der Berechnung substituiere $\begin{eqnarray*} z = \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t \in [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ . Da siehst du auch zugleich das Integrationsintervall. Diese Parametrisierung des Einheitskreises sollte dir geläufig sein. Im übrigen habe ich einen Großteil der Rechnung in meinem vorigen Beitrag schon vorweggenommen.

Zitat:

Original von Womanpower
Ich tu mir gleich was an böse

böse

Aber erst, wenn du die Aufgabe zu Ende gerechnet hast ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.07.2013, 17:57

Womanpower

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Ja allerdings, die ganze Arbeit wird eigentlich von dir geleistet Gott

Gott

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2 \operatorname{i}} \int_{|z|=1} \overline{z} ~ \dd z=- \frac{1}{2 \operatorname{i}}\int_0^{2\pi}idt=- \frac{1}{2 \operatorname{i}} it |_0^{2\pi}=-\pi \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Womanpower
Ich tu mir gleich was an böse

böse

Aber erst, wenn du die Aufgabe zu Ende gerechnet hast ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das hängt ganz von meiner "grandiosen" Tagesform ab. Heute wieder "1+" Lehrer

Lehrer

06.07.2013, 18:07

Leopold

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Mache dir noch einmal klar, warum diese Rechnung die Aufgabe a) löst. Es gilt: Wenn eine Funktion eine Stammfunktion besitzt, dann ist das Kurvenintegral wegunabhängig, d.h. Null für jede geschlossene Kurve im Definitionsgebiet der Funktion. Wir haben nun eine geschlossene Kurve, nämlich den Einheitskreis, gefunden, für den das Kurvenintegral nicht Null ist. Also kann die Funktion keine Stammfunktion besitzen.

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Original von Womanpower

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Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} \int_{|z|=1} \operatorname{Im}(z) ~ \dd z = \frac{1}{2 \operatorname{i}} \int_{|z|=1} \left( z - \overline{z} \right) ~ \dd z \end{eqnarray*}$

Der erste Schritt ist mir unklar. Ist das so definiert, oder wocher kommt's, dass die Gleichheit gilt? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} z = x + \operatorname{i}y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{z} = x - \operatorname{i}y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z - \overline{z} = 2 \operatorname{i}y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2 \operatorname{i}} \left( z - \overline{z} \right) = y = \operatorname{Im}(z) \end{eqnarray*}$

Das sollte man sich merken. Diese Regel kann man oft verwenden.
Wie lautet die entsprechende Regel für den Realteil?

06.07.2013, 18:26

Womanpower

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Original von Leopold
Mache dir noch einmal klar, warum diese Rechnung die Aufgabe a) löst. Es gilt: Wenn eine Funktion eine Stammfunktion besitzt, dann ist das Kurvenintegral wegunabhängig, d.h. Null für jede geschlossene Kurve im Definitionsgebiet der Funktion. Wir haben nun eine geschlossene Kurve, nämlich den Einheitskreis, gefunden, für den das Kurvenintegral nicht Null ist. Also kann die Funktion keine Stammfunktion besitzen.

Ich bemühe mich.. Aber naja hm.

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Original von Leopold

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Original von Womanpower

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Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} \int_{|z|=1} \operatorname{Im}(z) ~ \dd z = \frac{1}{2 \operatorname{i}} \int_{|z|=1} \left( z - \overline{z} \right) ~ \dd z \end{eqnarray*}$

Der erste Schritt ist mir unklar. Ist das so definiert, oder wocher kommt's, dass die Gleichheit gilt? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} z = x + \operatorname{i}y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{z} = x - \operatorname{i}y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z - \overline{z} = 2 \operatorname{i}y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2 \operatorname{i}} \left( z - \overline{z} \right) = y = \operatorname{Im}(z) \end{eqnarray*}$

Das sollte man sich merken. Diese Regel kann man oft verwenden.Wie lautet die entsprechende Regel für den Realteil?

Bis auf: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2 \operatorname{i}} \left( z - \overline{z} \right) = y = \operatorname{Im}(z) \end{eqnarray*}$ ist mir das auch bekannt. Aber wie das für den Realteil lauten soll verwirrt

verwirrt

06.07.2013, 18:33

Leopold

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Du hast zwei Gleichungen, eine für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ und eine für $\begin{eqnarray*} \overline{z} \end{eqnarray*}$ , beide in den Variablen $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ . Löse die Gleichungen wie bei einem linearen Gleichungssystem nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auf (Gaußscher Algorithmus).

06.07.2013, 18:54

Womanpower

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$\begin{eqnarray*} z = x + \operatorname{i}y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{z} = x - \operatorname{i}y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z + \overline{z} = 2 x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{z + \overline{z} }{2} = x = \operatorname{Re}(z) \end{eqnarray*}$

Hm. So stimmt es. Ich kann nur noch nicht den Nutzen daraus ziehen.

06.07.2013, 19:12

Leopold

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Da gibt's im Moment auch keinen. Aber wer weiß, was später mal so alles auf dich zukommt ...

Den Nutzen der andern Formel hast du ja bei der Integralberechnung gesehen.

06.07.2013, 19:16

Womanpower

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Ja stimmt, da konnte man es dann sehr gut einfügen. Freude

Freude

Das Mathewissen - Man lernt nie aus. Jetzt müsste ich das noch irgendwie zusammenfassen.

Ich würde aber gerne die Integrale berechnen. Eigentlich habe ich das ja schon gemacht, aber was hat mir da gefehlt?

06.07.2013, 23:51

Leopold

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Vielleicht tut ihr euch einmal zusammen?

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